626925.com:安徽省淮南市第二中学2013届高三第三次月考数学试卷(理科)

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安徽省淮南市第二中学 2013 届高三第三次月考 数学试卷(理科)
注意事项: 1. 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 考生务必在答题卷上答题,考试结束后交回答题卷。

第I卷

(选择题

共 50 分)

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题只有一个正确答案,每小题 5 分)

1 ? ? 1. 已知集合 A ? ? y | y ? x 2 ? 2 x ? 1, x ? R? , B ? ? y | y ? x ? , x ? R且x ? 0? ,则 x ? ?

(CR B) ? A ? (
A. (?2, 2]

) B. [?2, 2) C. [?2, ??) D. (?2, 2) )

2.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和是 S n ,则 ? am ? a1 ? ?am?1 是 S m ? 0, S m?1 ? 0 的(
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件 )

3.已知函数 f (x) 为 R 上周期为 4 的奇函数,,又 f (1) ? ?4 ,则 f (2011 ? f (2012 ? ( ) )
A

?4

B

4

C

?8

D

8

4. 已知函数 y ? sin x ? a cos x 的图象关于 x ?
称轴是 ( ) B. x ?

5? 对称,则函数 y ? a sin x ? cos x 的图象的一条对 3
C. x ?

11? A. x ? 6

2? 3

?
3

D.

x ??

5. 函 数 y ? f '( x) 是 函 数 y ? f ( x) 的 导 函 数 , 且 函 数 y ? f ( x) 在 点 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线为

l : y ? g ( x) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ), F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的
图象如图所示,且 a ? x0 ? b ,那么正确的是( A. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 是 F ( x) 的极大值点 B. F '( x0 ) = 0, x ? x0 是 F ( x) 的极小值点 C. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 不是 F ( x) 极值点 D. F '( x0 ) ? 0, x ? x0 是 F ( x) 极值点
·1·



6. 已知函数 f ( x) ? cos x sin x( x ? R) ,给出下列四个命题:
①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ),则x1 ? ? x2 ; ③ f (x) 在区间 [ ? ⑤当 x ? ? ? A.①②④ ② f (x) 的最小正周期是 2? ; ④ f (x) 的图象关于直线 x ?

? ?

, ] 上是增函数; 4 4

3? 对称; 4


? ? ? ? 时, f (x) 的值域为 ? 3 3 ? 其中正确的命题为( , ? , ?? ?. 4 ? ? 6 3? ? 4
B.③④⑤ C.②③ D.③④

7. 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° D 点测得塔顶 A 的仰 ,在
角是 30° ,并测得水平面上的∠ BCD=120° ,CD=40m,则电视塔的高度为
A





A.10 2 m C.20 3 m

B.20m D.40m
B D

C ?| log3 x |, 0 ? x ? 3 ? 8. 已知函数 f ( x) ? ? 1 , 又互不相同的 ? , ? , ? 满足:f (? ) ? f ( ? ) ? f (? ) , ?? 则? ? x ? 2, x ? 3 ? 3 ?

的取值范围是(



A

(0,1)

B

(1,3)

C

(3,6)

D

(1,6)

9. 若关于 x 的方程 a x ? 2 x ? 4 ? 0 ( a ? 0, a ? 1 )的所有根为 u1 , u 2 ,?, u k , k ? N * ) ( ,关于 x
的方程 loga 2 x ? 2 ? x 的所有根为 v1 , v2 ,?, vl , l ? N ) ( ,则
*

u1 ? u 2 ? ? ? u k ? v1 ? v 2 ? ? vl 的 k ?l

值为( A.1

) B.

1 2

C.

1 4

D. 2

? 2 x3 1 , x ? ( ,1] ? 2 ? ? x ?1 10. 已 知 函 数 f ( x) ? ? , 函 数 g ( x) ? a sin( x) ? 2a ? 2(a ? 0) , 若 存 在 6 ? 1 1 1 ?? x ? , x ? [0, ] 6 2 ? 3
x1、x2 ?[0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 (
A. [ , ] ) D. [ ,1]

1 4 2 3

B. (0, ]

1 2

C. [ , ]
·2·

2 4 3 3

1 2

第 II 卷

(非选择题

共 100 分)

二. 填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11. 函数 f M ( x) 的定义域为 R,且定义如下: f M ( x) ? ?

?1,( x ? M ) (其中 M 是实数集 R 的非空真子 0,( x ? M ) ?

集) ,在实数集 R 上有两个非空真子集 A、B 满足 A ? B ? ? ,则函数 F ( x) ? 的值域为 。

f A? B ( x) ? 1 f A ( x) ? f B ( x) ? 1

f ( x ? 4), x ? 0 ? ? ? , 则f (2012) ? _______; 12. 已知函数f ( x) ? ? x ?2 ? ?06 cos 3tdt , x ? 0 ?
13. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,AH 为 BC 边上的高,给出以下四个结论: ① AH ? BC ? 0 ;② AH ? ( AB ? BC) ? AH ? AB ;③若 AB ? AC ? 0 ,则 ?ABC 为锐角三角

???? ??? ?

???? ??? ??? ? ?

???? ??? ?

??? ??? ? ?

???? ??? AH ? 形;④ AC ? ???? ? c sin B 。其中所有正确结论的序号是 | AH |
14. 我们把形如 y ?



b ?a ? 0, b ? 0? 的函数因其图像类似于汉字“囧”字,故生动地称为“囧函 x ?a

数” ,并把其与 y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点” ,以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有 公共点的圆,皆称之为“囧圆” 则当 a ? 1 , b ? 1 时,所有的“囧圆”中,面积的最小值 , 为 . 15. 下列命题:①幂函数都具有奇偶性; ②命题 P :?x0 ? ?? 1,1?,满足 x0 ? x0 ? 1 ? a ,使命题 P
2

为真的实数 a 的取值范围为 a ? 3 ;③代数式 sin ? ? sin( ④将函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

) 的图象向左平移

? 个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数; 3

2? 4? ? ? ) ? sin( ? ? ) 的值与角 ? 有关; 3 3

⑤已知数列 {an } 满足: 1 ? m, a2 ? n, an?2 ? an?1 ? an (n ? N ) , Sn ? a1 ? a2 ?…an , S2011 ? m ; 记 则 a 其中正确的命题的序号是 (请把正确命题的序号全部写出来)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)
16. 若集合 A ? {x |

? x 2 ? 10x ? 21 ? 0} , B ? {x | x 2 ? 12x ? 20 ? 0}, C ? {x | x ? a} 2 ( x ? 7)

求: (1) A ? B ; (2) (C R A) ? B ; (3)若 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围。
·3·

17.(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B , C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a, b, c 成等比数列,且

3 cos B ? . 4 ??? ??? 3 ? ? cos A cos C (1)若 BA ? BC ? ,求 a ? c 的值; (2)求 的值. ? 2 sin A sin C 18. (本题满分 12 分)(1) 如图, D 是 Rt?ABC 的斜边 AB 上的中点, E 和 F 分别在边 AC 和 BC
2 2 2 上 , 且 ED ? FD , 求 证 : EF ? AE ? BF

( EF

2

表 示 线 段 EF 长 度 的 平 方 )

(尝试用向量法证明) (2)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 图像上一点 P(1,?2) , 过点 P 作直线与 y ? f (x) 图像相切,但切点异于 点 P ,求直线的方程。 E A D B C F

19. (本题满分 12 分) 某企业为打入国际市场, 决定从 A、 两种产品中只选择一种进行投资生产. B 已 知投资生产这两种产品的有关数据如下表: (单位:万美元) 项 目 类 别 A 20 产品 B 40 产品 其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价格决定,预计 8 18 120 m 10 200 年 固定 成 本 每件 产品 成本 每件 产品 销售 价 每年最 多可 生产的 件数

m ? [6,8] .另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x 2 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能
在当年销售出去. (1) 写出该厂分别投资生产 A、 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系 B 并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划. 20. (本题满分 13 分)已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足:

S1 ? 1, 且6S n ? (an ? 1)(an ? 2), n ? N * .
·4·

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {bn }满足an (2bn ? 1) ? 1, 记Tn 为数列 {bn } 的 前 n 项和,求证: 2Tn ? 1 ? log2 (an ? 3).

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 图象上一点 P(2, f (2)) 处的切线方程为

y ? ?3x ? 2ln 2 ? 2 .
(1)求 a , b 的值; (2)若方程 f ( x) ? m ? 0 在 [ , e ] 内有两个不等实根,求 m 的取值范围( e 为自 然对数的底数) ; (3)令 g ( x) ? f ( x) ? kx ,若 g ( x) 的图象与 x 轴交于 A( x1 ,0) , B( x2 ,0) (其中 x1 ? x2 ), AB 的中 点为 C ( x0 ,0) ,求证: g ( x) 在 x0 处的导数 g ?( x0 ) ? 0 .

1 e

2012 届高三第三次月考数学参考答案(理科)
一.选择题
题 号 答 案 D C B A B D D C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 A 1

二.填空题:
11. 1? ; 三.解答题: 16. 解:由题意得: A ? x 3 ? x ? 7 , B ? x 2 ? x ? 10 (1) A ? B ? {x | 2 ? x ? 10} ; (2) (CR A) ? B ? {x | 2 ? x ? 3,7 ? x ? 10} (3) a ? 3

?

12.;

4 3

13. ①②④;

14. 3? ;

15. ② ⑤.

?

?

?

?

2分 5分 8分 12 分 2分 4分

??? ??? 3 ? ? 3 17. 解: (1)由 BA ? BC ? ,得 ac cos B ? . 2 2 3 因为 cos B ? ,所以 b 2 ? ac ? 2 . 4
·5·

由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 a 2 ? c 2 ? b2 ? 2ac cos B ? 5 , 则 (a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 9 ,故 a ? c ? 3 .

6分

3 7 ,得 sin B ? . 4 4 由 b2 ? ac 及正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C , cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) sin B 1 4 7 ? ? ? ? ? ? 于是 2 2 sin A sin C sin A sin C sin B sin B sin B 7
(2)由 cos B ? 18. 解: (1)连接 EF,取 EF 的中点为 G,易得 AE ? BF ? 2DG ,又 EF ? 2 DG , 故 EF
2

9分 12 分

? (2 DG ) 2 , 即 EF ? (2 DG ) 2 ? ( AE ? BF ) 2
6分

2

又 AC ? BC ,展开上式即得证。 (其他方法也给分,向量的代数运算要引起学生的关注) (2)设为 ( x0 , y0 ) 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 图象上任一点, 易得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 3 ,则 f ( x0 ) ? 3x0 ? 3 ,
' 2

故 ( x0 , y0 ) 处切线为 y ? y0 ? (3x0 ? 3)(x ? x0 )
2

又知过 P(1,?2) 点,代入解方程得: x0 ? 1 (舍) x 0 ? ? , 故所求直线的斜率 k ? ?

1 2
12 分

9 ,从而切线方程为: 9 x ? 4 y ? 1 ? 0 4

19. 解: (1)由年销售量为 x 件,按利润的计算公式,有生产 A、B 两产品的年利润 y1 , y2 分别为

y1 ? 10 ? x ? ? 20 ? mx ? ? ?10 ? m? x ? 20(0 ? x ? 200 且 x ? N ) y2 ? 18? x ? ? 40 ? 8x ? ? 0.05x2 ? ?0.05x2 ?10x ? 40
= ?0.05 ? x ? 100 ? ? 460(0 ? x ? 120, x ? N ).
2

2分

4分

(2)? 6 ? m ? 8 , ?10 ? m ? 0 ,? y1 ? (10 ? m) x ? 20 为增函数. ,
又0 ? x ? 200, x ? N ? x ? 200 时,生产 A 产品有最大利润为

?10 ? m? ? 200 ? 20 ? 1980 ? 200m (万
6分

美元) 。 又 y2 ? ?0.05 ? x ? 100 ? ? 460, 0 ? x ? 120, x ? N .
2

?当x ? 100 时,生产 B 产品有最大利润为 460(万美元)
·6·

8分

6? ?? 0,    m ? 7.6 因为 ( y1 ) max ? ( y 2 ) max ? (1980? 200m) ? 460 ? 1520? 200m?? 0,   m ? 7.6 ? ?? 0,    ? m ? 8 7.6 ?
所以,当 6 ? m ? 7.6 时,可投资生产 A 产品 200 件; 当 m ? 7.6 时,生产 A 产品与生产 B 产品均可; 当 7.6 ? m ? 8 时,可投资生产 B 产品 100 件. 20. 解: (1)当 n=1 时,有 6a1 ? (a1 ? 1)(a1 ? 2). 解得 a1 ? 1(与a1 ? S1 ? 1矛盾, 舍去),或a1 ? 2. 当 n ? 2 时,有 ?

10 分

12 分

1分

?6S n ? (a n ? 1)(a n ? 2), 两式相减得 ?6S n ?1 ? (a n ?1 ? 1)(a n?1 ? 2)
3分

2 2 6an ? an ? an?1 ? 3(an ? an?1 ),即(an ? an?1 )(an ? an?1 ? 3) ? 0.

由题设 an ? an?1 ? 0, 从而an ? an?1 ? 3 ? 0,即an ? an?1 ? 3. 故数列 {an } 是首项为 2,公差为 3 的等差数列 an ? 2 ? (n ? 1) ? 3 ? 3n ? 1. (2)由 a n (2
bn

6分 7分

? 1) ? 1, 得(3n ? 1)( 2 bn ? 1) ? 1, bn ? log 2

3n . 3n ? 1

3 6 9 3n Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log 2 ( ? ? ? ? ? ). 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n ) ? 1 ? log 2 (3n ? 2) 而 2Tn ? 1 ? log 2 (a n ? 3) ? 2 log 2 ( ? ? ? ? ? 2 5 8 3n ? 1 3 6 9 3n 2 3n ? 2 ? ( ? ? ??? ) ? 2 5 8 3n ? 1 2 3 6 9 3n 2 2( ? ? ? ? ? ) 2 5 8 3n ? 1 ? 1 9分 ? 3n ? 2 3 6 9 3n 2 2( ? ? ? ? ? ) 2 5 8 3n ? 1 . 令 cn ? 3n ? 2



c n ?1 cn

3n ? 3 2 ) (3n ? 2) (3n ? 3) 2 9n 2 ? 18n ? 9 3n ? 2 ? ? ? 2 ? 1. 3(n ? 1) ? 2 (3n ? 5)(3n ? 2) 9n ? 21n ? 10 (
11 分

而 cn ? 0, 所以cn?1 ? cn ,{cn } 是单调递减数列.
·7·

3 6 9 3n 2 3 2( ? ? ? ? ? ) 2( ) 2 9 2 5 8 3n ? 1 ? 1. 2 所以, cn ? c1 ? ? ? 1.所以cn ? 3 ? 1 ? 2 10 3n ? 2
从而 2Tn ? 1 ? log2 (an ? 3) 成立. 21. 解: (1) f ? ? x ? ? ∴
a a ? 2bx , f ? ? 2? ? ? 4b , f ? 2? ? a ln 2 ? 4b . x 2

13 分

a ? 4b ? ?3 ,且 a ln 2 ? 4b ? ?6 ? 2 ln 2 ? 2 . 2

2分 3分

解得 a ? 2, b ? 1 . (2) f ? x ? ? 2ln x ? x2 ,令 h ? x ? ? f ( x) ? m ? 2ln x ? x2 ? m ,
2 2(1 ? x 2 ) ? 2x ? ,令 h/ ? x ? ? 0 ,得 x ? 1 ( x ? ?1 舍去) . x x 1 1 在 [ , e] 内,当 x ? [ , 1) 时, h/ ( x) ? 0 , ∴ h( x) 是增函数; e e

则 h/ ? x ? ?

当 x ? [1, e] 时, h / ( x) ? 0 ,



h( x) 是减函数

5分

? 1 ? h ( e ) ? 0, ? 1 ? 则方程 h( x) ? 0 在 [ , e] 内有两个不等实根的充要条件是 ? h (1) ? 0, e ? h ( e ) ? 0. ? ? ?
即1 ? m ? 2 ?

6分

1 . e2 2 ? 2x ? k . x
① ② ③ ④
x1 x2 ∴k ? 2 ? 2 x0 . x1 ? x2 ln

8分

/ 2 (3) g ( x) ? 2ln x ? x ? kx , g ( x) ?

?2ln x1 ? x12 ? kx1 ? 0, ? 2 ?2ln x2 ? x2 ? kx2 ? 0, ? 假设结论成立,则有 ? x1 ? x2 ? 2 x0 , ? ? 2 ? 2 x ? k ? 0. 0 ? x0 ?
x ①-②,得 2 ln 1 ? ( x12 ? x2 2 ) ? k ( x1 ? x2 ) ? 0 . x2

9分

10 分

x1 2 x2 1 由④得 k ? ? 2 x0 ,∴ ? x0 x1 ? x2 x0 ln
·8·

11 分

x x1 2 1 ?2 x x x2 2 即 ,即 ln 1 ? 2 .⑤ ? x1 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 ?1 x2

ln

令t ?

x1 2t ? 2 , u(t ) ? ln t ? ( 0 ? t ? 1 ), x2 t ?1

12 分

则 u ?(t ) ?

(t ? 1)2 >0.∴ u (t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, ∴ u (t ) ? u (1) ? 0 , t (t ? 1)2

13 分

∴⑤式不成立,与假设矛盾. ∴ g ? ? x0 ? ? 0 . 14 分

(水平有限,定有不当之处望乞海涵)

·9·


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