900671.com:北京市昌平区高三第二次(5月)统一练习数学文试题 Word版含答案

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流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。
昌平区

2016 年高三年级第二次统一练习

数学试卷(文科)

考生须知:

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)2016.5

1. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填
写。 3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹
的签字笔作答,作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答, 未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。 4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不 要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项.)
(1)若集合 Α ? ??2, ?1, 0,1, 2? , Β ? ?x || x |? 1? ,则 Α Β =

A.??1, 0,1?
C.{x | ?1 ? x ? 1}

B.?0,1?
D.{x | 0 ? x ? 1}

(2)下列函数中,在 (0, ??) 上为减函数的是

A. y ? x B. y ? 1 x ?1

C. y ? log0.5 x

D. y ? ex

(3)过圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 4 的圆心,且与直线 l : 3x ? 2 y ?1 ? 0 垂直的直线方程是

A. 2x ? 3y ? 3 ? 0

B. 2x ? 3y ? 3 ? 0

C. 2x ? 3y ? 3 ? 0

D. 2x ? 3y ? 3 ? 0

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

A. 3

B. 4

C.5

D.6

(5)如图,在正方形 ABCD 中, AD ? 4, E 为 DC 上一点,且 DE ? 3EC ,则 AB ?AE ?

A.20

B. 16

D

EC

C. 15

D. 12

(6) 设? ?R, “ cos2? ? 0 ” 是 “ sin? ? cos? ”的

A.充分不必要条件 C.充要条件

B. 必要不充分条件

A

B

D.既不充分也不必要条件

(7)已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f (x) ? (1)x?1 . 则不等式 f (x) ? x2 ? 0
2 的解集是

A.[0,1]

B. [?1,1]

C. [1, ??)

D. (??, ?1] [1, ??)

(8)小王的手机使用的是每月 300M 流量套餐,下图记录了小王在 4 月 1 日至 4 月 10 日这 十天 的流量使用情况, 下列叙述中正确的是 A. 1 日-10 日这 10 天的平均流量小于 9.0M/日 B. 11 日-30 日这 20 天,如果每天的平均流量不超过 11 M,这个月总流量就不会超过套餐

流量 C.从 1 日-10 日这 10 天的流量中任选连续 3 天的流量,则 3 日,4 日,5 日这三天的流量的 方差最大 D.从日 1-10 日这 10 天中的流量中任选连续 3 天的流量,则 8 日,9 日,10 日这三天的流量 的方差最小

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(9)复数 1 ? i 的虚部是_______. 1?i
(10)在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, BC ? 5 3,cos B ? 4 ,则 ?ABC 的面积是_______. 5

?x ? 2,

(11)



x,

y

满足

? ?

x

?

y ?1 ? 0,

则z

? 2x ?

y 的最大值为____________.

??x ? y ? 2 ? 0,

( 12 ) 已 知 抛 物 线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的 准 线 方 程 为 x ? ?2 , 则 抛 物 线 C 的 方 程 为

_____________; 若 某 双 曲 线 的 一 个 焦 点 与 抛 物 线 C 的 焦 点 重 合 , 且 渐 近 线 方 程 为 y ? ? 3x ,则此双曲线的方程为_______________.
2

(13)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积是_________.

3 正(主)视图

2 侧(左)视图

俯视图

(14)为了促进公民通过“走步”健身,中国平安公司推出的“平安好医生”软件,最近开 展了 “步步夺金”活动.活动规则:①使用平安好医生 APP 计步器,每天走路前 1000 步奖 励 0.3 元红包,之后每 2000 步奖励 0.1 元红包,每天最高奖励不超过 3 元红包. ②活动期间, 连续 3 天领钱成功,从第 4 天起走路奖金翻 1 倍(乘以 2),每天最高奖励不超过 6 元红包. 某 人连续使用此软件五天,并且每天领钱成功.这五天他走的步数统计如下:

时间

第一天

第二天

第三天

第四天

第五天

步数

13980

15456

17890

19012

21009

则他第二天获得的奖励红包为________元,这五天累计获得的奖励红包为________元.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
(15)(本小题满分 13 分) 已知函数
f (x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,|? |? ?) 的部分图象如 2
图所示.
(Ⅰ)写出函数 f (x) 的最小正周期 T 及? 、? 的
值; (Ⅱ)求函数 f (x) 在区间[? π , π ] 上的最大值与最小值.
44

(16)(本小题满分 13 分) 在等比数列{an}中, a1 = 1, a4 = 8.
(I)求数列 {an } 的通项公式; ( II ) 若 a3 , a5 分 别 为 等 差 数 列 {bn} 的 第 6 项 和 第 8 项 , 求 | b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃? | bn | (n ? N*) .

(17) (本小题满分 13 分)

2015 年秋季开始,本市初一学生开始进行开放性科学实践活动,学生可以在全市范

围内进行自主选课类型活动,选课数目、选课课程不限.为了了解学生的选课情况,某区有

关部门随机抽取本区 600 名初一学生,统计了他们对于五类课程的选课情况,用“+”表示

选,“—”表示不选. 结果如下表所示:

人数 课程

课程一

课程二

课程三

课程四

课程五

50

+

+



+



80

+

+







125

+



+



+

150



+

+

+



94

+





+

+

76





+

+



25





+



+

(I) 估计学生既选了课程三,又选了课程四的概率;

(II) 估计学生在五项课程中,选了三项课程的概率;

(III) 如果这个区的某学生已经选了课程二,那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最

大?

(18) (本小题满分 14 分)
如图, P 是菱形 ABCD所在平面外一点,?BAD ? 60? , ?PCD 是等边三角形,AB ? 2 ,

PA ? 2 2 , M 是 PC 的中点,点 G 为线段 DM 上一点(端点除外),平面 APG 与 BD 交于点 H .

(I)求证: PA / /GH ;

P

(II)求证:平面 PAC ? 平面 BDM ;

(III)求几何体 M ? BDC 的体积.

M G

DH

C

A

O B

(19)(本小题满分 13 分)
已知函数 f (x) ? ax3 ? 3x2 ?1 (a ? 0) , g(x) ? ln x (I)求函数 f (x) 的极值;
(II)用 max?m, n? 表示 m, n 中的最大值.设函数 h(x) ? max? f (x), g(x)}(x ? 0) ,讨论
h(x) 零点的个数.

(20)(本小题满分 14 分)

? ? 已知椭圆

M

:x2 a2

?

y2 b2

?1?a ? b ? 0? 的焦距为 2 ,点 D

0,

3

在椭圆 M 上,过原点 O 作

直线交椭圆 M 于 A 、B 两点,且点 A 不是椭圆 M 的顶点,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H ,

点 C 是线段 AH 的中点,直线 BC 交椭圆 M 于点 P ,连接 AP .

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程及离心率;

(Ⅱ)求证: AB ? AP;

(III)设 ?ABC 的面积与 ?APC 的面积之比为 q ,求 q 的取值范围.

昌平区 2016 年高三年级第二次统一练习 数学试卷参考答案及评分标准 (文科) 2016.5

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符

合题目要求的一项.)

题号

1

2

3

答案

A

C

A

4

5

6

7

8

B

D

B

B

C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(9)1

(10) 3 3

(11)7

(12) y2 ? 8x; x2 ? y2 ? 1 3

(13)16 ? 6 2

(14)1 ;8

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

(15)(本小题满分 13 分)

解:(I)T ? ??? ? 2,? ? ?. 3

………………..6 分

(II) f (x) ? sin(2x ? ?) 3

由 x ?[? π , π ],2x ? π ?[? π , 5π ] ,

44

3 66

………………..9 分

当 2x ?

π 3

?

?? 6

时,即

x

?

?

?, 4

f

( x)min

?

f

(?

? )

4

?

? 1; 2

当 2x

?

? 3

?

? 2

时,即

x

?? 12



f

( x)max

?

f

(?) 12

? 1.

………………13 分

(16)(本小题满分 13 分)
解:(I)设等比数列{an}的公比为 q .
由 a1 = 1, a4 = 8, 所以 a4 = a1q3 = q3 = 8.
所以 q = 2.

所以等比数列{an} 的通项公式 an = a1qn- 1 = 2n- 1(n ? N* ). ………………..4 分 (II) 因为 a3 , a5 分别为等差数列{bn}的第 6 项和第 8 项, 所以 b6 = a3 = 4, b8 = a5 = 16.

设等差数列{bn}的公差为 d ,

ì??í???

b8 b6

= =

b1 + b1 +

7d 5d

= =

16, 4.

解得,

ì??í???

b1 = d=

?26, 6.

所以等差数列{bn}的通项公式 bn = b1 + (n - 1)d = - 26 + 6(n - 1) = 6n - 32.

因为当 bn ? 0 时, n ? 5 .

(1)当 n ? 5 时,| b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃? | bn |= - (b1 + b2 + b3 + + 鬃? bn )

= - n(b1 + bn ) = - 3n2 + 29n . 2

(2)当 n ? 6 时,

| b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃? | bn |= - (b1 + b2 + b3 + b4 + b5 ) + b6 + 鬃? bn ,

= - 5(b1 + b5 ) + (n - 5)(b6 + bn )

2

2

= 70 + (3n2 - 29n + 70) = 3n2 - 29n + 140.

综上所述: | b1 | + | b2 | + | b3 | + 鬃?

| bn

|=

ì??í???

- 3n2 3n2 -

+ 29n, n ? 5, 29n + 140,n

n ?

? N*, 6,n ?

N

*

.

………………..13



(17) (本小题满分 13 分) 解:(I)学生既选了课程三,又选了课程四的概率为

150 ? 76 ? 113 . 600 300

……………….4 分

(II)学生在五项课程中,选了三项课程的概率为

50 ?125 ?150 ? 94 ? 419 .

600

600

………………..9 分

(III)某学生已经选了课程二,再选课程一的概率为 50 ? 80 ? 13 ; 50 ? 80 ?150 28

再选课程三的概率为

150

? 15 ;

50 ? 80 ?150 28

再选课程四的概率为 50 ?150 ? 5 ; 50 ? 80 ?150 7

所以,某学生已经选了课程二,那么该学生选择课程四的可能性最大. ……………….13 分

(18) (本小题满分 14 分)
(I) 证明:连接 MO . 在菱形 ABCD 中, O 为 AC 中点, 且点 M 为 PC 中点,

P
M G

DH

C

A

O B

所以 MO / /PA ,且 MO ? 1 PA ? 2 . 2
又 MO ? 平面BDM , PA ? 平面BDM , 所以 PA / /平面BDM .……………….2 分 由已知,平面 APG 与 BD 交于点 H ,
所以 H ?平面APG,从而 HG ? 平面APGH , 又 HG ? 平面BDM ,
所以 平面BDM 平面APGH ? GH ,
所以 PA / /GH .……………….4 分
(II) 证明:在等边三角形 ?PCD 中,
DC ? AB ? 2 , M 是 PC 的中点.

所以 DM ? 3 .

在菱形 ABCD中, ?BAD ? 60? , AB ? 2 ,所以 DO ? 1 BD ? 1.
2

又 MO ? 2 ,所以 DO2 ? MO2 ? DM 2 ,所以 BD ? MO. ……….6 分

在菱形 ABCD中, BD ? AC , 又 AC MO ? O ,
所以 BD ? 平面PAC . 又 BD ? 平面BDM , 所以 平面PAC ? 平面BDM .

………….8 分 ………………9 分

(III) 在 ?PAC 中, PA ? 2 2, PC ? 2, AC ? 2 3, 所以 PA2 ? PC2 ? AC2 ,

所以 PA ? PC ,即 PC ? MO . 又 平面PAC ? 平面BDM . 平面PAC 平面BDM ? MO, 所以 PC ? 平面BDM .

………….12 分

所以VM ?BDC

? VC? BDM

?

1 3

S?BDM

? CM

?

2
.
3

(19)(本小题满分 13 分)

……………….14 分

解:(I)因为函数 f (x) ? ax3 ? 3x2 ?1 ,

所以 f '(x) ? 3ax2 ? 6x ? 3x(ax ? 2) .

令 f '(x) ? 0 ,得

x1

?

0

,或

x2

?

2 a

.

因为 a ? 0 ,所以 x1 ? x2 ,

所以 f '(x) 及 f (x) 符号变化如下,

x
f '(x) f (x)

(??, 0)
? ↗

0
0
极大值

(0, 2) a
? ↘

2
a 0
极小值

( 2 , ??) a
? ↗

所以

f

(x)

的极大值为

f

(0)

? 1,极小值为

f

(2) a

?

8 a2

? 12 a2

?1?

?

4 a2

?1 .……….6



(II)令 g(x) ? ln x ? 0 ,则 x ?1 .

当 0 ? x ? 1时, g(x) ? 0; x ?1时, g(x) ? 0 ;当 x ?1时, g(x) ? 0 .

(1)当 x ?1 时, g(x) ? 0 , g(x) 在 (1, ??) 上无零点.

所以 h(x) ? max? f (x), g(x)}在 (1, ??) 上无零点.

(2)当 x ?1 时, g(1) ? 0 ,
所以 1 为 g(x) 的一个零点. f (1) ? a ? 2 ,
①当 a ? 2 时,1 是 f (x) 的一个零点.

所以当 a ? 2 时, h(x) ? max? f (x), g(x)}有一个零点.

②当 0 ? a ? 2 时, h(x) ? max? f (x), g(x)}有一个零点.

③当 a ? 2 时, h(x) ? max? f (x), g(x)}无零点.

(3)当 0 ? x ? 1时, g(x) ? 0, g(x) 在 (0,1) 上无零点.

所以 h(x) ? max? f (x), g(x)}在 (0,1) 上的零点个数就是 f (x) 在 (0,1) 上的零点个数.

当 a ? 0 时,由(I)可知 f (x) 在 (0, 2) 上为减函数,在 ( 2 , ??) 上为增函数,

a

a



f

(0)

?1,

f

(1)

?

a

?

2,

f

(2) a

?

?

4 a2

?1?

a2 ? a2

4

.

① 当 2 ? 1 ,即 0 ? a ? 2 时, f (x) 在 (0,1) 上为减函数,且 f (1) ? a ? 2 ? 0, f (0) ? 1 ? 0. a
所以 f (x) 在 (0,1) 上有 1 个零点,即 h(x) 有 1 个零点.

② 当 2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f (x) 在 (0,1) 上为减函数,且 f (1) ? a ? 2 ? 0. a
所以 f (x) 在 (0,1) 上无零点,即 h(x) 无零点.

③ 当 2 ? 1 ,即 a ? 2 时, f (x) 在 (0, 2) 上为减函数,在 ( 2 ,1) 上为增函数,

a

a

a

f

(2) a

?

?

4 a2

?1?

a2 ? a2

4

?

0

,所以

f

(x)

在 (0,1)

上无零点.即 h(x)

无零点.

综上,当 0 ? a ? 2 时,h(x) 有 2 个零点,当 a ? 2 时,h(x) 有 1 个零点,当 a ? 2 时,h(x)

无零点.

………….13 分

(20)(本小题满分 14 分)

解: (I)由题意知 c ? 1, b ? 3 ,则 a2 ? b2 ? c2 ? 4 ,

所以椭圆 M 的方程为 x2 ? y2 ? 1,椭圆 M 的离心率为 1 . ………….5 分

43

2

(II)设

A(x0 ,

y0

),

P( x1 ,

y1 )

,则

B(? x0 ,

? y0

), C ( x0 ,

y0 2

).

由点 A, P 在椭圆上,所以 x02 ? y02 ? 1 ① x12 ? y12 ? 1 ②

43

43



A 不是椭圆 M

的顶点,②-①得,

y12 x12

? y02 ? x02

??3 4

.

法一:又 kPB

?

y1 ? y0 x1 ? x0

, kBC

?

3 2

y0

2x0

?

3 y0 4x0

, 且点 B,C, P 三点共线,

所以 y1 ? y0 ? 3y0 , 即 y0 ? 4( y1 ? y0 ) .

x1 ? x0 4x0

x0 3(x1 ? x0 )

所以, kAB

kPA

?

y0 x0

y1 ? y0 ? 4( y1 ? y0 ) x1 ? x0 3(x1 ? x0 )

y1 x1

? y0 ? x0

?

4( y12 3( x12

? y02 ) ? x02 )

?

4 ? (? 3) ? ?1, 34

即 AB ? AP. 法二: 由已知 AB 与 AP 的斜率都存在,

……………9 分

kPA

kPB

?

y1 ? y0 x1 ? x0

y1 ? y0 x1 ? x0

?

y12 ? y02 x12 ? x02

?

?

3 4

(

x12

x12 ?

? x02 ) x02

??3. 4

又 kPB

? kBC

?

3 y0 4x0

, 得 kPA

??

x0 y0

,

则 kAB

kPA ?

y0 x0

( ?x0 ) ? ?1 , y0

即 AB ? AP.

(III)法一:

……………9 分



kAB

?

k

,由(II)知 kAP

?

?

1 k

, kBP

?

3k 4

,联立直线

AP



BP 方程:

? ?? ? ? ??

y y

? ?

y0 y0

? ?

?

1 k

(

x

?

x0

),

3k 4

(x

?

x0

),



x1

?

2 y0

?

(3k 4

?

1 k

)

x0

3k ? 1

,将 k

?

y0 x0

代入得

4k

x1

?

2 y0

? (3y0 4x0

?

x0 y0

) x0

3y0 ? x0

?

x0 (4x02 ? 5y02 ) 4x02 ? 3y02

.

4x0 y0

q ? S?ABC ? 2 x0 S?APC x1 ? x0

?

2 x0

x0 (4x02 ? 5 y02 4x02 ? 3y02

)

?

x0

?

4x02 ? 3y02 y02

?

3

?

16 3

(

3 y02

?1) ,

因为 y02 ? (0,3) ,所以 q ?(3, ??) .

法二:



kAB

?

k

,由(II)知 kAP

?

?

1 k

, kBP

?

3k 4

,联立直线

AP



BP 方程:

? ??

y

?

? ??

y

? ?

y0 y0

? ?

?

1 k

(

x

?

x0

)

3k 4 (x ? x0 )



x1

?

2 y0

?

(3k 4

?

1 k

)

x0

3k ? 1

?

x0

(

5k 4

?

1) k

3k ? 1

?

x0 (1 ?

k
2 3k ?

), 1

4k

4k

4k

q ? S?ABC ? 2 x0 S?APC x1 ? x0

?

2 x0

k

x0 (1 ?

3k

2 ?

1

)

?

x0

4k

?3?

4 k2

,

因为 k 2 ? (0, ??) ,所以 q ?(3, ??) .

……………14 分


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