2019年-一阶微分方程的平衡点及其稳定性-PPT精选文档_图文

一阶微分方程的平衡点及其稳定性

x??F(x) (1) 一阶非线性(自治)方程

F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点

x? ?0?x?x

x?x0

0

设x(t)是方程的解,若从x0 某邻域的任一初值出发,

都有 lt? i? mx(t)?x0, 称x0是方程(1)的稳定平衡点

不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法

(1)的近似线性方程 x ?? F ?(x 0 )x ( ? x 0 )(2 )

F ?(x 0 )? 0 ? x 0 稳 (对 (2 定 )( 1 ,))

F ?(x)? 0? x不(稳 对 (2 )(1 ,) 定 )

0

0

6.1 捕鱼业的持续收获

背景

? 再生资源(渔业、林业等)与 非再生资源(矿业等)
? 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。

问题 及分


? 在捕捞量稳定的条件下,如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。
? 如果使捕捞量等于自然增长量,渔 场鱼量将保持不变,则捕捞量稳定。

产量模型

x(t) ~ 渔场鱼量

假设

? 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
x ?(t)?f(x)?rx (1?x) N
r~固有增长率, N~最大鱼量

? 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比

建模

h(x)=Ex, E~捕捞强度
记 F (x)?f(x)? h (x)

捕捞情况下 渔场鱼量满足

x ?(t)?F(x)?r(x1?x)?Ex N

? 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件

产量模型 x ?(t)?F(x)?r(x1?x)?Ex N

F(x)?0

x ?N(1?E),x?0

平衡点

0

r1

稳定性判断 F ?(x 0 )? E ? r , F ?(x 1 )? r? E

E ? r? F ?(x 0 )? 0 ,F ?(x 1 )? 0 x0稳定,x1不稳定

E ? r? F ?(x 0 )? 0 ,F ?(x 1 )? 0 x0不稳,定 x1稳定

E~捕捞强度

r~固有增长率

x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯

产量模型

在捕捞量稳定的条件下, 控制捕捞强度使产量最大 图解法

F (x)?f(x)? h (x)

y

f(x)?rx(1? x)

N

hm

h(x)?Ex

h

F(x)?0 f 与h交点P

y=rx y=E*x y=h(x)=Ex
? P* P
y=f(x)

E?r?x0稳定 0

x0*=N/2 x0

Nx

P的横坐标 x0~平衡点

P的纵坐标 h~产量

产量最大 P *(x 0 *? N /2 ,h m? rN /4 ) E*?hm/x0*?r/2

控制渔场鱼量为最大鱼量的一半

效益模型 在捕捞量稳定的条件下,控制捕捞
强度使效益最大.

假设 ? 鱼销售价格p ? 单位捕捞强度费用c

收入 T = ph(x) = pEx

支出 S = cE

单位时间利润 R?T?S?pE ?cxE

稳定平衡点 x0?N (1?E/r)

R (E )? T (E )? S (E )?pN (1 ? E E )? cE r

求E使R(E)最大

ER

? r (1? 2

c )?
pN

E*

?

r 2

渔场 鱼量

xR

?

N(1?ER r

)

?

N 2

?

c 2p

hR

?rN(1? 4

c2 p2N2

)

捕捞 过度

? 封闭式捕捞追求利润R(E)最大

ER

?

r (1? 2

c) pN

? 开放式捕捞只求利润R(E) > 0

R (E )? T (E )? S (E )?pN (1 ?E r E )? cE 令=0

c

Es

? r(1?

) pN

R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER

临界强度下的渔场鱼量

xs

? N(1? Es r

)

?

c p

S(E)

p ?,c ? Es ?,xs ?
捕捞过度

T(E)

0

ER E*

Es r

E


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