浙江省杭州市长河2011学年高三二模(数学文)

长河高中 2011 届高三市二测模拟考试

数学试题(文)问卷
命题人 杨永平 审题人 来国平
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时间为 120 分 钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A, B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好 发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn p k (1 ? p)n ?k (k ? 0,1, 2,?, n)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.复数 z ? A. 1

3?i 的虚部为 2?i
B. ? 1
2

( C. i
2



D. ? i

2.已知条件 p: | x ? 4 | ? 6 ;条件 q: x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必 要条件,则 m 的取值范围是 A.[21,+∞] C.[19,+∞] ( B.[9,+∞] D. (0,+∞) ( ) )

3.已知图 1 是函数 y ? f ( x) 的图象,则图 2 中的图象对应的函数可能是 y y

O O 图1 A. y ? f (| x |) B. y ?| f ( x) | C. y ? f (? | x |) x 图2 D. y ? ? f (? | x |) ( D.15 ) x

4.若等差数列 {an } 的前 5 项之和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? A.12 B.13 C.14

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5.已知 cos(? ?

?
6

) ? sin ? ?

2 3 7? ,则 sin(? ? ) 的值是 3 6
开 始





A. ? C. ?

2 3 3

B.

2 3 3

2 3
( B. 31

D.

2 3

A=1,B=1 A=A+1 A≤5? D. 7 否 输出 B 是 B=2B+1

6.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输 出的 B 等于 A. 63 ) C. 15

7.如图,在棱长相等的四面体 S-ABC 中, E、F 分别是 SC、AB 的中点, 则直线 EF 与 SA 所成的角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30°

结 束 缚 ( ) ;④

8.已知 l , m 表示直线, ? , ? , ? 表示平面,下列条件中能推出结论的正确的是 条件:① l ? m ,

l ?? ,

m ? ? ; ②? ∥ ? , ? ∥ ? ; ③ l ? ? ,
b:

? ∥?
d:

l ? ? , m ⊥ ? 。结论:a: l ? ?
A.① ? a,② ? b,③ ? c,④ ? d C.① ? c,② ? d,③ ? a,④ ? b

?

⊥?

c:

l ∥m

? ∥?

B.① ? b,② ? d,③ ? a,④ ? c D.① ? d,② ? b,③ ? a,④ ? c

9.已知非零向量 AB, AC 和 BC 满足 ( AB ? AC ) ? BC ? 0 ,且 AC ? BC ? 1 , 2 AB AC AC BC 则△ABC 为 A.等边三角形 C.非等腰三角形 10.曲线 围是 ( B.等腰非直角三角形 D.等腰直角三角形 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个交点时,实数 k 的取值范 ( ) )

y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? 2)

? 5 3? ? , ? A. ? 12 4 ?

?5 ? ? ,?? ? ? B. ? 12
?

?1 3? ? , ? C. ? 3 4 ?

? 5? ? 0, ? D. ? 12 ?

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知 ?a n ?是等比数列,对 ?n ? N , a n ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2 a5 ? a4 a6 ? 36 , 则 a2 ? a5 等于 .

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12.若 x1 满足 x ? 2 x ? 5 , x2 满足 x ? log 2 x ? 5 ,则 x1 + x2 =



13. 在正方体的顶点中任选 3 个顶点连成的所有三角形中, 所得的三角形是直角三角形但非 等腰直角三角形的概率是 14.已知 P 为双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上一点, F1 , F2 为双曲线的左右焦点,且 a 2 b2
5 则此双曲线离心率是 5


cos ?PF1 F2 ? sin ?PF2 F1 ?
x

15.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为



16. 设直角三角形的两直角边的长分别为 a, b , 斜边长为 c , 斜边上的高为 h , 则有 a ? b ? c ? h 成 立,某同学通过类比得到如下四个结论: ① a 2 ? b2 ? c2 ? h2 ; a3 ?b3 ?c3 ?h3 ; a 4 ? b4 ? c4 ? h4 ; a5 ?b5 ?c5 ?h5 . ② ③ ④ 其中正确结论的序号是 ;进一步得到的一般结论是
2



17. 设奇函数 f ( x)在[?1,1] 上是增函数,且 f (?1) ? ?1, 若函数f ( x) ? t ? 2at ? 1 对

所有的 a ? [?1,1] , x ? [?1,1] 都成立,则 t 的取值范围是________________.
三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 18. (本小题满分 14 分)在△ABC 中, a, b, c 分别为角 A、B、C 的对边,

8 sin 2 A ? sin 2 C ? sin 2 B ? sin B sin C , 5
⑴ 角 A 的正弦值; 19. (本小题满分 14 分)

a =3, △ABC 的面积为 6.

⑵求边 b、c.

已知单调递增的等比数列 {an } 满足: a2 ? a4 ? 20, a3 ? 8 ; (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) bn ?an o 1 n , 若 数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,求 Sn ? n ? 2 lg a
2
n ?1

? 50 成立的正整数 n

的最小值.

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20. (本小题满分 14 分)如图所示, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为菱形,

?ABC ? 60? , PA ? AB ? 2, N 为 PC 的中点.
(1)求证: BD ? 平面 PAC ; (2)求证: PA //平面 NBD ; (3) 求二面角 B ? AN ? C 的平面角的大小.

21 . 本 小 题 满 分 15 分 ) 设 函 数 f ( x) ? x ? a ln x 与 (
2

g ( x) ? x ? a x 的图像分别交直线 x ? 1 于点 A, B ,且曲线

y ? f ( x) 在点 A 处的切线与曲线 y ? g ( x) 在点 B 处的
切线平行. (1)求函数 f ( x) , g ( x) 的表达式; (2)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的最小值; (3)若不等式 f ( x) ? m ? g ( x) 在 x ? (0, 4) 上恒成立,求实数 m 的取值范围.

22、 (本小题满分 15 分) 如图所示,已知直线 l 的斜率为 k 且过点 Q(?3,0) ,抛物线
C : y 2 ? 16 x , 直线与抛物线 l 有两个不同的交点, F 是抛物线的焦
点,点 A(4,2) 为抛物线内一定点,点 P 为抛物线上一动点. (1)求 PA ? PF 的最小值; (2)求 k 的取值范围; (3)若 O 为坐标原点,问是否存在点 M ,使过点 M 的动直线与 抛物线交于 B, C 两点,且以 BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若 存在,求出动点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. F y P A(4,2) x

O

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2011 届高三市二测模拟考试(文)

参考答案
一、选择题: 1.A 2.B 二、填空题: 11. 6 12. 5 3.C 4. B 5.D 6. A 7.C 8. .B 9. A 10.A

13.

3 7

14. 5 17. t ? 2或t ? ?2或t ? 0

15.y=3x+1. 16.② ④; a n ? bn ? c n ? hn (n ? N ? ) 三、解答题:

3 4 ? sin A ? 5 5 2 2 2 1 1 3 b ?c ?a 4 (2)? S?ABC ? bc sin A ? bc ? ? 6 ,?bc ? 20,由 ? 及 bc ? 20 与 a =3 解 2bc 5 2 2 5 得 b=4,c=5 或 b=5,c= 4 .

18.解:(1) a2 ? c2 ? b2 ?

8bc 5

?b

2

? c2 ? a2 4 ? 2bc 5

? cos A ?

19. 【解】(1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q,

1 ? ?a1q ? a1q 3 ? 20 ?q ? 2 ? q ? ? 依题意,有 ? ,解之得 ? 或? 2 ; 2 ?a3 ? a1q ? 8 ?a1 ? 2 ? a ? 32 ? ? 1
又 {an } 单调递增,∴ ?

(…………4 分)

?q ? 2 n ,∴ an ? 2 . a1 ? 2 ?
2

(…………6 分) (…………8 分) ①,
n n ?1

(2)依题意, bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n , ∴ ? sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? n ? 2
2 3 2 3 4 n

∴ ?2sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ... ? ( n ? 1) ? 2 ? n2 ∴①-②得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

②,

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 = 2n?1 ? n ? 2n?1 ? 2 ; 1? 2
(……12 分)

∴ Sn ? n ? 2

n ?1

? 50 即为 2n ?1 ? 2 ? 50,? 2n ?1 ? 52 ,
n?1

∵当 n≤4 时, 2 ∴使 Sn ? n ? 2
n ?1

? 25 ? 32 ? 52 ;当 n≥5 时, 2n?1 ? 26 ? 64 ? 52 .
(…………14 分)

? 50 成立的正整数 n 的最小值为 5.

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ABCD是菱形 ? BD ? AC ? ? PA ? 平面ABCD ? ? 20.解:(1) ? ? BD ? PA? ? BD ? 平面PAC BD ? 平面ABCD ? ? PA ? AC ? A ? ?
(2) 连结 NO,证明 PA//NO 即可………5 分 (3)由(l)可知, BO⊥平面 PAC, 故在平面 PAC 内, OM⊥A, 作 连结 BM(如图) ,则∠BMO 为二面角 B ? AN ? C 的平 面角.在 Rt?BMO 中,易知 AO ?

………5 分

3, OM ?

2 2

? tan ?BMO ? 6,
即二面角 B ? AN ? C 的正切值为 6. …………14 分

建 立 空 间 直 角 坐 标 系 解 答 此 题 ,相 应 给 分 .
21. ( 1 ) 由

f ( x? )

2

? x

a n x f '( x) ? l 得

2 x2 ? a , 由 g ( x) ? x ? a x 得 x

g '( x) ?

2 x ?a .又由题意可得 f '(1) ? g '(1) , 2 x

即2?a ?

2?a 2 ,故 a ? 2 ,所以 f ( x) ? x ? 2 ln x , g ( x) ? x ? 2 x . 2

(2) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? x ? 2ln x ? 2 x 得

2 1 ( x ? 1)[2( x ? 1)( x ? 1) ? x ] h '( x) ? 2 x ? 1 ? ? ? x x x



( ? 0 由 x ? 0 可 知 2 ( x ? 1) x ? 1) x ? . 故 当 x ? ( 0, 1) h '( x) ? 0 , h( x ) 递 减 , 当 时

x ? (1, ??) 时 h '( x) ? 0 ,

h( x) 递增,所以函数 h( x) 的最小值为 hmin ( x) ? h(1) ? 12 ? 1 ? 2ln1 ? 2 1 ? 2 .
(3)当 x ? (0, 4) 时, g ( x) ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1 ? 0 ,而 f ( x) ? x ? 2ln x ? 1 ,故:
2

2

当 m ? 0 时,不等式 f ( x) ? m ? g ( x) 在 x ? (0, 4) 均成立. 当 m ? 0 时, m ? g ( x) 的最大值为 m ? g (1) ? ?m ,故要使 f ( x) ? m ? g ( x) 恒成立,则必需

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?m ? 1 ,即 m ? ?1 .事实上,当 x ? 1 时, m ? ?1 .故可知此时 ?1 ? m ? 0 .
综上可知当 m ? ?1 时,不等式 f ( x) ? m ? g ( x) 在 x ? (0, 4) 均成立. 22.(本小题满分 15 分)解:如图,设抛物线的准线为 l , AC ? l 于 C , (1)由抛物线定义知 PF ? PB 过 P 作 PB ? l 于 B ,过 A 作

y P A(4,2) x

? PA ? PF ? PA ? PB ? AC (折线段大于垂线段),当且仅
当 A, P, C 三点共线取等号.由题意知 AC ? 8 ,即 O F

? PA ? PF 的最小值是 8………...4 分
(2) k ?
2

4 2 3 2 3 ? k ? (? ,0) ? (0, ) ……...5 分 3 3 3

(3)假设存在点 M ,设过点 M 的直线方程为 y ? kx ? b , 显然 k ? 0 , b ? 0 ,设 B( x1 , y1 ) , C ( x2 , y 2 ) ,由以 BC 为直径的圆恰过坐标 原点有 OB ? OC ? 0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ………… ……………………...①……9 分 把 y ? kx ? b 代人 y ? 16 x 得 k x ? 2(bk ? 8) x ? b ? 0
2 2 2 2

2(bk ? 8) ? ? x1 ? x2 ? ? ? k2 由韦达定理 ? 2 ?x x ? b ? 1 2 k2 ?


………………②

y1 y 2 ? (kx1 ? b)( kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? bk( x1 ? x2 ) ? b 2
②代人③得 y1 y 2 ? ②④代人①得

….③ ……… .④

16b k

16b b 2 ? 2 ? 0 ? b ? ?16 k … k k

…12 分

? 动直线方程为 y ? kx ? 16k ? k ( x ? 16) 必过定点 (16,0)
当 k BC 不存在时, 直线 x ? 16 交抛物线于 B(16,?16), C (16,16) ,仍然有 OB ? OC ? 0 , 综上:存在点 M (16,0) 满足条件……………15 分

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