高二数学类比推理_图文

合情推理
——类比推理
楚水实验学校高二数学备课组

知识回顾:
1、什么是归纳推理? 由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推 理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理, 称为归纳推理.(简称归纳) 2、归纳推理的一般模式:
S1具有P,

S2具有P, ……
Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象)

所以A类事物具有P

3、归纳推理的步骤:

实验观察

大胆猜想

检验猜想

1,3,5,7,…,由此你猜想出第 n 个数是_______. 2n ? 1

例.观察下图发现: 1=12 1+3=4=22 1+3+5=9=32 1+3+5+7=16=42 1+3+5+7+9=25=52


1

2

3

4

5

6

7

你能得出什么结论? 解:将上述事实分别叙述如下 1等于1的平方; 前2个正奇数的和等于2的平方; 前3个正奇数的和等于3的平方; 前4个正奇数的和等于4的平方; 前5个正奇数的和等于5的平方; 由此猜想:前n(n∈N﹡)个连续正奇数的和等于n的平方,即:

1+3+5+7+...+(2n-1)=n2

已知数列{an}的第一项 a1=1, an 且 an ?1 ? ( n =1,2,3,· · · ), 1 ? an
请先计算前四项
1 an ? 归纳出这个数列的通项公式为________. n

课堂练习

1根据下列条件,写出数列中的前 四项,并归纳猜想它的通项公式:

an=1

1 ( 1 )、 a1 ? 1, an ? an ?1 ? 2
(2)、a1=3,an+1=2an+1
解:a1=3=22-1

?

1 an?1

??n ? 2?

a2=2a1+1=7=23-1
a3=2a2+1=15=24-1 a4 =2a3+1=31=25-1 … 猜想an=2n+1-1

2、观察下列等式

13+23=9
13+23+33=36 13+23+33+43=100 13+23+33+43+53=225…

2 ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ? 1? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n ?n ? 1,2,3,? ? ?? 3 3 3 3

想一想,等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系?猜一 猜有什么规律,并把这些规律用等式表示出来。 3、根据下图中图形及相应的点的个数,找出其中的一种规律画 …… ……. n个 出第4个、第5个图形,并写出相应的点的个数,然后猜测第 ……. …… 图形的点的个数。 ……. …… … …. ….. ……. …… ……. …. …..
….. (1) (2) (3) ____ (4) _____ (5)

an=n2+2n

二、情景引入:
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯; 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇; 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征: 1)火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.

科学家猜想:火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.

三、新课讲授: 1、类比推理: 由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理(简 称类比). 2、类比推理的几个特点:
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却有 发现的功能.

注意:
由于类比推理的前提是两类对象之间具 有某些可以清楚定义的类似特征,所以类比 推理的关键是明确地指出两类对象在某些方 面的类似特征。

1、据说春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠 业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这 桩倒霉事却使他发明了锯子.

鲁班的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的.

2、人们仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理, 发明了潜水艇.

利用平面向量的性质类比得 空间向量的性质
? ? 若 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 )则
? ? ① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 )

平面向量

空间向量
? ? 若a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 )


? ? ① a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? ? ? ② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ) ② a ? b ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ? ? ③ ? a ? (?a1 , ?a2 )(? ? R) ③ ? a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 )(? ? R)

? ? ? ? ⑤ a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 (? ? R) ⑤ a // b ? a ? ? b , a ? ? b , a ? ? b (? ? R) 1 1 2 2 3 3

? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2

? ? ④ a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

? ? ? ? ⑥ a ? b ? a b ? a b ? 0 ⑥a ? b ? a b ? a b ? a b ? 0 1 1 2 2 1 1 2 2 3 3

? ⑦ | a |? a12 ? a22

? ⑦ | a |? a12 ? a22 ? a32

在形状上和概念上,都有类似的地方,即具有完美的对称性 都是到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的性质
圆的周长 C ? 2?R

球的性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积 不相等,距球心较近的面积较大
4

圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相 等,距圆心较近的弦较长

以点(x0,y0)为圆心, r为半径的 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2 径的球的方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2

3、进行类比推理的步骤:
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想; (3)检验这个猜想.

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

4、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同) ’ 所以B类事物可能具有性质d .

运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象 基本原则是:要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象。

思考:平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象

构成几何体的元素数目:三角形 平面图形(二维) 点

四面体

立体图形(三维) 点或线

线
平面直角坐标系

线或面
空间直角坐标系

四、问题讲解: 例1:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.
A B

c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3

b



B

C

2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC

例2:(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢16进1的计算制,采用数字09和字母A-F共16个计数符号,这些符 号与十进制的数的对应关系如下表;
十六进位 十进位

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

十六进位
十进位

8 8

9 9

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

例如用16进位制表示E+D=1B,则 A×B=( A ) A.6E B.72 C.5F D.0B

例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例,推广的命题为:---------------------2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2(a≠c或 (x-a) --------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
----------------------------------------------------------------.

方程.

练习:

1.如图,在平行四边形 ABCD 中,有

AC ? BD ? 2 AB ? AD
2 2 2

?

2

?
C1

那么,在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,有 2 2 2 2 2 2 2 AC1 ? BD1 ? CA1 ? DB1 ? 4( AB ? AD ? AA1 )
D1 A1

B1

D

C
D C

A B
A

B

S PA'?PB' ?PA ' B ' B' ? 2.由上图(左)有面积关系: S ?PAB PA ? PB
B

B'

则由上图(右),则类似的结论是:
A' A

P

P

VP ? A'B 'C ' ? VP ? ABC

PA'?PB'?PC ' PA ? PB ? PC

五、课堂小结:
1、运用类比方法解决问题,其基本过程可用框图 表示如下:

原问题

?
原问题解法

?? ??
类比

类比问题

?? ?? 类比问题的解法
猜想

?

2、运用类比法的关键是:寻找一个合适的类比对象。

几何中常见的类比对象


三角形 四边形


四面体(各面均为三角形) 六面体(各面均为四边形)

代数中常见的类比对象 数 向量 方程 函数 不等式 交集,并集,补集 或,且,非运算
有限 无限

六、课后作业:

完成课本 P66 练习 1—4

日本房地产 https://www.himawari-japan.com/ yrk735sqz 日本房价,日本房产税,日本楼市 已是下午四点,过了马尔康的县城,过了可尔因红旗桥不远,大巴车在一段泥路上大幅颠簸。国道317线有一大段路面被垮塌的山体覆盖, 临时开辟的山路凹凸不平,一侧是抬头不见山顶的高山,一侧是水流湍急奔涌的河谷深渊。睡梦中的乘客全都被颠醒,初时目光茫然无 措,似乎不知道发生了什么。车轮驶过一个巨大的土坑,车身大幅摇摆晃动,座位上方的行李架上的包裹纷纷被摇落,有的砸到人的身 上,人也随车大幅摆动,不由自主地颠来倒去。车厢里发出一阵阵年轻女孩子的尖叫,众人纷纷抓紧护栏。 长安身体紧紧地贴紧座椅,双脚绷紧贴紧车厢地面,手用力握着前座靠背上的抓手,头略向前倾,眼睛一瞬不瞬地注视着前方,双唇紧 闭不发出丝毫声音。是一种自我保护与防御的状态,这是长青稳固好自己后转头看到的长安,危机中的本能反应。这种反应使她在一群 人的前仰后合之中,单薄瘦弱的身躯岿然不动。 长安转头看了一下长青,见他稳坐座椅,神色如常,便转回头。


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