高一数学教案:两角和与差的余弦、正弦、正切(七).doc



题§4.6.7

两角和与差的余弦、正弦、正切(七)

(一) 两角和与差的余弦、正弦、正切公式. (二) 进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用. (三) 1. 2. 3. 4.使学生树立科学的世界观. 利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题. 怎样使学生对所学知识融会贯通,运用自如. 通过强化练习,掌握各个公式的结构特征,以达到灵活应用.(自学辅导法) 投影片一张(§4.6.7
2

A

1.若方程 x +mx+m+1=0 的两根为 tanα 、 tanβ .求证 sin(α +β )=cos (α +β ) 2.若△ABC 的三内角成等差数列,且 A<B<C,tanAtanC=2+ 3 ,求角 A、B、C 的大 小. 3.如果 sinα +sinβ =a,cosα +cosβ =b,ab≠0,则 cos(α -β )等于 ( A. )

ab 2 a ? b2

B.

3 (a 2 ? b 2 ) 2

2ab C. 2 a ? b2

a2 ? b2 ?1 D. 2

Ⅰ. 师:再来回顾一次和、差角公式. 生:cos(α ±β )=cosα cosβ ? sinα sinβ sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ tan(α ±β )=

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

Ⅱ. 2 [例 1]已知一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0 且 a≠c)的两个根为 tanα 、tanβ ,求 tan(α +β )的值. 分析:由题意可得 tanα 、tanβ 为一元二次方程的两根,由韦达定理可知 tanα +tanβ

=-

b c ,且 tanα ?tanβ = ,联想两角和的正切公式,不难求得 tan(α +β )的值. a a

解:由 a≠0

b ? tan? ? tan ? ? ? ? ? a ? ?tan? ? tan ? ? c , ? a ?

且 a≠c

tan? ? tan ? 所以 tan(α +β )= ? 1 ? tan? tan ?

b a ?? b ? b . c a?c c?a 1? a ?

评述:在解题时要先仔细分析题意,联想相应知识,选定思路,再着手解题. [例 2]设 sinθ +cosθ = 值. 解:∵sinθ +cosθ =
2

2 ? 3 3 , <θ <π ,求 sin θ +cos θ 与 tanθ -cotθ 的 2 3

2 3
2

∴sin θ +2sinθ cosθ +cos θ = ∴sinθ cosθ =-
3 3

2 9

7 18
2 2

又 sin θ +cos θ =(sinθ +cosθ )(sin θ -sinθ cosθ +cos θ ) =(sinθ +cosθ )(1-sinθ cosθ =

7 25 2 (1+ )= 18 54 3

2

又∵

? <θ <π 2
4 3

∴sinθ >0,cosθ <0 ∴sinθ -cosθ =

∴tanθ -cotθ =

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? (sin? ? cos? )(sin? ? cos? ) ? ? ? cos? sin ? sin ? cos? sin ? cos?

2 4 ? 8 2 ? 3 3 ?? 7 7 ? 18
评述:(1)在 sinθ +cosθ 、sinθ cosθ 与 sinθ -cosθ 中,知其中之一便可求出另 外两个.

(2) 解决有关 sinθ +cosθ 、 sinθ cosθ 与 sinθ -cosθ 的问题是三角函数中的一类 重要问题. Ⅲ. (打出投影片§4.6.7 A,让学生练习) 生:1 解:由题意可知 ?

?tan? ? tan ? ? ?m ?tan? ? tan ? ? m ? 1

由: tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? ?m ?1 1 ? (m ? 1)

得:tan(α +β )=

即:sin(α +β )=cos(α +β ∴命题得证. 师:评述:要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系,选择适当的关系式进行 转化. 师:2 分析:由 A、B、C 为△ABC 的三内角,可知 A+B+C=180°,又已知 A、B、C 为 等差数列, 即 2B=A+C, 所以 B=60°且 A+C=120°与已知条件中的 tanAtanC=2+ 3 可 联系求出 tanA、tanC,从而确定 A、C. 生:解:由题意知: ?

? A ? B ? C ? 180? ?2B ? A ? C
tan A ? tan C 1 ? tan A tan C

解之得:B=60°且 A+C=120 ∴tan(A+C)=tan120°=- 3 = 又∵tanAtanC=2+ 3 ∴tanA+tanC=tan(A+C)(1-tanAtanC)=tan120°(1-2- 3 ) =- 3 (-1- 3 )=3+ 3 ∵tanA、tanC

x2-(3+ 3 )x+(2+ 3 )=0 的两根
又∵0<A<B<C<π ∴tanA=1 tanC=2+ 3

即:A=45°,C=75 答:A、B、C 的大小分别为 45°、60°、75°. 师:评述:要注意挖掘隐含条件,联想相关知识,构造方程等等. 2 2 师:3.分析:由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式 sin α +cos α =1 不难求得 cos(α -β ),再利用平方关系求得 sin(α -β ).

生:解:由 ?
2 2

?sin ? ? sin ? ? a ?cos? ? cos ? ? b
2 2 2 2

得:a +b =sin α +sin β +2sinα sinβ +cos α +cos β +2cosα cosβ =2+2cos(α -β ∴cos(α -β )=

a2 ? b2 -1 2

师:评述:遇到这种已知条件式时,往往要结合同角三角函数平方关系式. Ⅳ. 在解决三角函数问题时,常常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本 关系式等等综合使用. Ⅴ. (一)课本 P419 、10 P42 14 (二)1.预习课本 P42~P43. 2. (1)如何利用和角公式推导倍角公式? (2)和角公式与倍角公式的关系如何? (3)为什么把倍角公式化归到和角公式的范畴? 课题 课时小结 例题 复习回顾 .

1.tan2A? tan (30°-A) +tan2Atan (60°-A) +tan (30°-A) tan (60°-A) =

解:原式=tan2A[tan(30°-A)+tan(60°-A)]+[tan(30°-A)tan(60°-

A)]
=tan2Atan[(30°-A)+(60°-A)][1-tan(30°-A)tan(60°-A)]+ [tan(30°-A)tan(60°-A)] =tan2Atan(90°-2A)[1-tan(30°-A)tan(60°-A)]+[tan(30°-A) tan(60°-A)] =tan2A? cot2A [1-tan(30°-A) tan(60°-A) ] + [tan(30°-A) tan (60°-A) ] =1 师:评述:先仔细观察式子中所出现的角,灵活应用公式进行变形,然后化简、求值. 2.已知 tanα 、 tanβ 是方程 x -3x-3=0 的两个根,求 sin(α +β ) -3sin (α +β ) 2 cos(α +β )-3cos (α +β )的值. 解:由题意知 ?
2 2

?tan? ? tan ? ? 3 ?tan? ? tan ? ? ?3
tan? ? tan ? 3 3 ? ? 1 ? tan? tan ? 1 ? (?3) 4
2

? ? ?) ? ∴ tan(
2

sin (α +β )-3sin(α +β )cos(α +β )-3cos (α +β )

=cos (α +β )[tan (α +β )-3tan(α +β )-3] =

2

2

1 2 [tan (α +β )-3tan(α +β )-3] 1 ? tan (? ? ? )
2

1 3 3 [( ) 2 ? 3 ? ? 3] ? ?3 3 4 4 1 ? ( )2 4 4 1 3.已知α 、β 为锐角,cosα = ,tan(α -β )=- ,求 Cosβ 的值. 5 3 4 3 解:由α 为锐角,cosα = ,∴sinα = . 5 5 1 由α 、β 为锐角,又 tan(α -β )=- 3
= ∴cos(α -β )=

3 10 10 10 10

sin(α -β )=-

∴cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα ?cos(α -β )+sinα ?sin(α -β =

4 3 10 3 10 9 10 ? ? ? (? )? 5 10 5 10 50


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