黑龙江省绥化市第九中学2016届高三数学上学期第三次月考试题 理

绥化九中 2015--2016 学年上学期高三理科数学学科月考试题
试卷分值:150 分 答题时间:120 分钟

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.复数 z ? A.1

2i (i 是虚数单位) ,则|z|=( 1? i
B. 2 C. 3

) D.2

2.已知集合 A ? ? x |1og 2 x ? 2? , B ? ? x |

? ?

1 ? ? 3x ? 3 ? ,则 A ? B =( 3 ?

)

1 A. (0, ) 2

B. (0, 4]

C. (??, ?1] ? (4, ??)

D.(-1,4)? ?

3.已知 sin(? ? ? ) ? ? 2 2 , ? 是第二象限角,则 tan( ? ? ) ? ( 4 2 3 A. 9 ? 4 2 7 B. 2 ? 2 7 C. 9 ? 4 2 7

?

) D.

2? 2 7

4.“a=-2”是“直线 l1 :ax-y+3=0 与 l2:2x-(a+1)y+4=0 互相平行”的( ) A .充分不必要条件 C.充分必要条件
2 2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.圆 x ? y ? 4x ? 2 ? 0 与直线 l 相切于点 A(3,1) ,则直线 l 的方程为( A. 2 x ? y ? 5 ? 0 C. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 4 ? 0 )

6.下面能得出△ABC 为锐角三角形的条件是 ( A. sin

A ? cos A ?

1 5

B. AB ? BC ? 0 D. tan

C. b ? 3, c ? 3

3, B ? 30?

A ? tan B ? tan C ? 0


7.在等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120,则 2a10 ? a12 的值为( A..20 B.22 C.24 D.28

8.已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 Q 是 AC 边上的动点,且 ,则 A. B. C. D. 的最大值为( )

-1-

9.某几何体的三视图如图,若该几何体的所有顶点都在一个球面上,则该球面的表面积为 ( )

A.4π

B.

π

C.

π

D.20π

10.设 m,n∈R,若直线 l:mx+ny﹣1=0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且坐标原点 O 到直线 l 的距离为 A. ,则△AOB 的面积 S 的最小值为( ) C.3 D.4 )

B.2

11.设函数 f ( x ) ? A.(-ln3,-ln2)

ln x ? a 在区间(1,2)内有零点,则实数 a 的取值范围是( x
B.(0,ln2)
x

C.(ln2,ln3)

D.(ln2,+ ∞) )

12..若对于任意实数 x 不等式 e ? ax ? b ? 0 恒成立,则 ab 的最大值为( A. e B. e
2

C. e

D.

e 2

二 、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

1 13. ?ABC 中,已知 3a cos C ? 2c cos A, tan A ? ,则 B ? ____ 3

15.已知变量 x, y 满足 ?

?x ? 2 y ? 4 ? 0 x? y?3 ,则 的取值范围是 x?2 ? x?2 ? x? y?2?0 ?
2 2



16.直线

与圆 x +y =1 相交于 A、B 两点(其中 a,b 是实数) ,且△AOB 是直角三

角形(O 是坐标原点) ,则点 P(a,b)与点(0,1)之间距离的最小值为_____

-2-

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)
2 17.数列 {an } 各项均为正数,其前 n 项和为 S n ,且满足 2an Sn ? an ?1 .

2 (1)求证:数列 { S n } 为等差数列

(2) 设 bn ?

2
4 4Sn

?1

,求数列 {bn } 的前 n 项和 T n , 并求使 Tn ?

1 2 (m ? 3m) 对所有的 n ? N ? 6

都成立的最大正整数 m 的值.

18.已知 a、b、c 分别是△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边,且 2a sin(C ? (1)求角 A 的值; (2)若 AB=3,AC 边上的中线 BD 的长为 13 ,求△ABC 的面积。

?
3

) ? 3b.

19. 如图 4,在三棱锥 S -ABC 中,△ABC 是边长为 2 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA=SC = 2 ,M 为 AB 的中点. (1)证明:AC⊥SB; (2)求二面角 S 一 CM-A 的余弦值

-3-

20.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (1)求圆 C 的方程; (2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

2

21.设函数 f ( x) ? a2 ? ln x , g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 .

x

(1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)如果对于任意的 x1 , x2 ? ? 1 , 2 ? ,都有 x1 ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,试求 a 的取值范围.

? ?3

? ?

22.已知曲线 C1 的参数方程为

(t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2. (1)求曲线 C1、C2 的普通方程; (2)若曲线 C1、C2 有公共点,求 a 的取值范围.

-4-

高三理数答案 一. B D A A D D C D B C C D
?5 5? , ? ?4 2? ?

3? 二. 13. 4

14.

15.

16.

2 (1)∵ 2an Sn ? an ? 1 ,∴当 n≥2 时, 2( Sn ? Sn?1 ) Sn ? ( Sn ? Sn?1 )2 ? 1 , 三. 17.:
2 2 2 整理得, Sn , (2 分)又 S1 ?1, ? Sn ?1 ? 1 (n≥2) 2 ∴数列 { S n } 为首项和公差都是 1 的等差数列. 2 (2)由(1) Sn ?n

∵ bn ?

2
4 4Sn

?1

?

2 1 1 ? ? ( 2n ? 1)( 2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ?

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 ( 2n ? 1)( 2n ? 1)

? 1?

1 2n 1 1 1 1 1 =1? ? ? ? ? ?? ? 2n ? 1 2n ? 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1
2 2 1 ,依题意有 ? (m 2 ? 3m) ,解得 ? 1 ? m ? 4 , 3 3 6

∴ Tn ?

故所求最大正整数 m 的值为 3

?? 18. 解:(Ⅰ)由 2a sin ? ?C ? ? ? 3? ?

3b

? ?? 变形为 2 sin A? ? sin C cos ? cosC sin ? ? 3 3? ?

3 sin B

sin Asin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin? A ? C ?

sin A sin C ? 3 sin A cosC ? 3 sin A cosC ? 3 cos A sin C sin A sin C ? 3 cos Asin C
因为 sin C ? 0 所以 sin A ? 3 cos A

tan A ? 3
又? A ? ?0, ? ?? A ?

?
3

(Ⅱ)在 ?ABD 中, AB ? 3 , BD ? 13 , A ?

?
3

2 2 2 利用余弦定理, AB ? AD ? 2 ? AB ? AD ? cos A ? BD

-5-

解得 AD ? 4 , 又 D 是 AC 的中点 ? AC ? 8 S ?ABC ?

1 ? AB ? AC ? sin A ? 6 3 2

19.方法一:几何法 (Ⅰ)证明:如图 4,取 A C 的中点 D,连接 DS,DB. 因为 SA ? SC , BA ? BC ,
且AC ? DB,DS ? DB ? D , 所以 AC ? DS,

所以 AC ? 平面SDB ,又 SB ? 平面SDB , 所以 AC ? SB .
平面SAC ? 平面ABC ,所以 SD ? 平面ABC . (Ⅱ)解:因为 SD ? AC,
图4

如图 4,过 D 作 DE ? CM 于 E,连接 SE,则 SE ? CM , 所以 ?SED 为二面角 S ? CM ? A 的平面角. 由已知有 DE ?

1 1 AM ? ,又 SA ? SC ? 2 , AC ? 2 ,所以 SD ? 1 , 2 2

5 , 2 DE 5 所以 cos ?SED ? . = SE 5
在 Rt△ SDE 中, SE ? 方法二:向量法 (Ⅰ)证明:如图 5,取 AC 的中点 O,连接 OS,OB. 因为 SA ? SC , BA ? BC , 所以 AC ? OS ,且 AC ? OB , 又 平面SAC ? 平面ABC , 平面SAC ? 平面ABC =AC , 所以 SO ? 平面ABC ,所以 SO ? BO . 如图 5,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
1) , B(0, 3, 则 A(1,0,0) , C (?1,0,0) , S (0,0, 0) ,

???? ??? 因为 AC ? (?2, 0, 0) , SB ? (0, 3, ? 1) ,

??? ? ??? 所以 AC ?SB ? ?2 ? 0 ? 0 ? 3 ? 0 ? (?1) ? 0 ,
∴ AC ? SB .
图5

???? ? ?3 ?1 ? ? 3 3 (Ⅱ)解:因为 M 是 AB 的中点,所以 M ? , , , 0 ∴ CM ?? 0? ? ?2 2 ? ? 2, 2 , ?, ? ? ? ?
-6-

??? ? ? CS ? (1, 0, 1) ,设 n ? (1 ,y,z) 为平面 SCM 的一个法向量,
? 3 ? ? ???? 3 ? y ? 0, ?n ?CM ? ? 则? 得 y ? ? 3,z ? ?1 ,所以 n ? (1 , ? 3, ? 1) , 2 2 ? ??? ? ?n ? ?CS ? 1 ? z ? 0,

??? ? 又 OS ? (0, 0, 1) 为平面 ABC 的一个法向量,
? ??? ? ? ??? ? n ?OS ?1 5 ? ? . ∴ cos? n, OS ? ? ? ??? ?? 5 | n | ?| OS | 5 ?1

又二面角 S ? CM ? A 的平面角为锐角, 所以二面角 S ? CM ? A 的余弦值为
2

5 . 5

20.(1)曲线 y=x -6x+1 与 y 轴的交点为(0,1) ,与 x 轴的交点为 (3+2 2 ,0) , (3-2 2 ,0) . 故可设圆 C 的圆心为(3,t) , 则有 3 +(t-1) =(2 2 ) +t ,解得 t=1.
2 2 2 2

则圆 C 的半径为

32 ? ? t ? 1? =3.
2
2 2

则圆 C 的方程为(x-3) +(y-1) =9. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,其坐标满足方程组:
x? y?a ?0 ? 2 2 ? 消去 y,得到方程 2x +(2a-8)x+a -2a+1=0. ? 2 2 ? ?? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 9

由已知可得,判别式Δ =56-16a-4a >0.从而 x1+x2=4-a,x1x2= 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0, 又 y1=x1+a,y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1+x2)+a =0.② 由①②得 a=-1,满足Δ >0,故 a=-1.
2

2

a 2 ? 2a ? 1 . ① 2

2 21.(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? a3 ? 1 ? x ?32a ,

x

x

x

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; 当 a>0 时,若 x ?

2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增;

-7-

若0 ? x ?

2a ,则 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

所以,函数 f ( x) 在区间 (0, 2a ) 上单调递减,在区间 ( 2a , ??) 上单调递增. (Ⅱ) g ?( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? 2 ) , x ? ? 1 , 2 ? ,

3

? ?3

? ?

可见,当 x ? ? 2 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 2 , 2 ? 单调递增,

?3 ?

? ?

?3 ?

? ?

当 x ? ? 1 , 2 ? 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 单调递减,

?3 3? ? ?

?3 3? ? ?

而 g ( 1 ) ? ? 83 ? g (2) ? 1 ,所以, g ( x) 在区间 ? 1 , 2 ? 上的最大值是 1,

3

27

?3 ?

? ?

依题意,只需当 x ? ? 1 , 2 ? 时, xf ( x) ? 1 恒成立,

? ?3

? ?

即 a ? x ln x ? 1 恒成立,亦即 a ? x ? x 2 ln x ;

x

令 h( x) ? x ? x 2 ln x ( x ? ? 1 , 2 ? ) ,

?3 ?

? ?

则 h?( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x ,显然 h?(1) ? 0 , 当 x ? ? 1 ,1 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 ,

? ?3

?

即 h( x) 在区间 ? 1 ,1 上单调递增;

? ?3

?

当 x ? ?1, 2? 时, 1 ? x ? 0 , x ln x ? 0 , h?( x) ? 0 , ?1, 2? 上单调递减; 所以,当 x=1 时,函数 h( x) 取得最大值 h(1) ? 1 , 故 a ? 1 ,即实数 a 的取值范围是 ?1, ?? ? 22.解答: 解: (1)∵曲线 C1 的参数方程为 x+y﹣ a=0, (t 为参数) ,

∴消去参数 t 可得

又曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2, ∴ =2,平方可得 x +y =4, x+y﹣ a=0,x +y =4;
2 2 2 2

∴曲线 C1、C2 的普通方程分别为: (2)若曲线 C1、C2 有公共点, 则圆心(0,0)到直线 x+y﹣

a=0 的距离 d≤2,

-8-



≤2,解得﹣

≤a≤

∴a 的取值范围为:

-9-


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