【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 2.1函数及其表示练习

第一节
基 一、选择题

函数及其表示
础 必 做

时间:45 分钟 分值:100 分

1.下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是( A.y=

) 2 3 2 B.y=( x ) 3

x2 x
x

C.y=lg10

D.y=2log2x

x 3 2 解析 y= =x(x≠0);y=(x ) =x(x≥0); x 2 3 y=lg10x=x(x∈R);y=2log2x=x(x>0).
答案 C
?2 ,x>0, ? 2.已知函数 f(x)=? ? ?x+1,x≤0.
x

2

若 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值等于( B.-1 D.3
1

)

A.-3 C.1 解析 依题意,f(a)=-f(1)=-2 =-2, ∵2 >0,∴f(a)=a+1=-2,故 a=-3, ∴选 A. 答案 A
x

x ?1? 3.若 f? ?= ,则当 x≠0 且 x≠1 时,f(x)=( ?x? 1-x
A. C. 1

)

x
1 1-x

B.

1 x-1

1 D. -1

x

1 1 解析 令 =t,t≠0 且 t≠1,则 x= ,

x

t

1 因为 f? ?= x

?1?

x

? ? 1-x

,所以 f(t)=

t
1-

, 1

t

化简得:f(t)= 即 f(x)= 1

1

t-1



x-1

(x≠0 且 x≠1).

1

答案 B
?log4x ?x>0?, ? 4.(2014·安徽名校联考)若函数 f(x)=? x ?3 ?x≤0?, ?

? ? 1 ?? 则 f?f? ??=( ? ?16??

)

A.9 C.-9 1 ?1? 解析 ∵f? ?=log4 =-2, 16 ?16? 1 ? ? 1 ?? -2 ∴f?f? ??=f(-2)=3 = ,选 B. 9 ? ?16?? 答案 B

B.

1 9

1 D.- 9

5.(2014·江西卷)已知函数 f(x)=5 ,g(x)=ax -x(a∈R),若 f[g(1)]=1,则 a= ( ) A.1 C.3
0

|x|

2

B.2 D.-1

解析 由题意可知 f[g(1)]=1=5 ,得 g(1)=0,则 a-1=0,即 a=1.故选 A. 答案 A 1 ? ? ,-1≤x≤0, x + 6.(2015·太原市测评)已知 f(x)=? 2 ? ?x2-2x,0<x≤1, 1 若 f(2m-1)< ,则 m 的取值范围是( 2 1 A.m> 2 1 C.0≤m< 2 -1≤2m-1≤0, ? ? 解析 由题得? 1 1 < , ? ?2m+1 2 0<2m-1≤1, ? ? ? 1 2 ?2m-1? -2?2m-1?< , ? 2 ? 答案 D 二、填空题 7.已知 f(2x+1)=3x-2,且 f(a)=4,则 a 的值是________. ) 1 B.m< 2 1 D. <m≤1 2



1 解得 <m≤1,选 D. 2

2

解析 令 2x+1=t,则 x= ∴a=5. 答案 5

t-1

3t-3 3 7 3 7 ,∴f(t)= -2,即 f(x)= x- ,又 a- =4, 2 2 2 2 2 2

? ?-log3?x+1?,x>6, 8. (2015·湖北荆门月考)设 f(x)=? x-6 ?3 -1,x≤6 ?

8 满足 f(n)=- , 则 f(n 9

+4)=________. 8 解析 当 n>6 时,f(n)=-log3(n+1)=- , 9 8 解得 n=3 -1<3-1=2<6,不合题意. 9 当 n≤6 时,f(n)=3
n-6

8 -1=- , 9

解得 n=4,则 f(n+4)=f(4+4)=f(8)=-log3(8+1)=-log39=-2. 答案 -2 9. 若 f(x)=?
?x ,x≥0, ? ? ?x,x<0,
2 2

?x,x≥0, ? φ (x)=? 2 ? ?-x ,x<0,

则当 x<0 时, f(φ (x))=________.

解析

? ?x ,x≥0, 由于 f(x)=? ?x,x<0, ?

?x,x≥0, ? φ (x)=? 2 ? ?-x ,x<0,
2

则当 x<0 时,φ (x)=-x .
2 2

2

因为 x<0,所以-x <0.所以 f(φ (x))=f(-x )=-x . 答案 -x
2

三、解答题
?x-1,x>0, ? 2 10.已知 f(x)=x -1,g(x)=? ? ?2-x,x<0.

(1)求 f(g(2))和 g(f(2))的值; (2)求 f(g(x))和 g(f(x))的解析式. 解 (1)由已知,g(2)=1,f(2)=3,

因此 f(g(2))=f(1)=0,

g(f(2))=g(3)=2.
(2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x) -1=x -4x+3.
3
2 2 2 2

?x -2x,x>0, ? 所以 f(g(x))=? 2 ?x -4x+3,x<0. ?

2

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g(f(x))=f(x)-1=x -2; 故-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x .
?x -2,x>1或x<-1, ? 所以 g(f(x))=? 2 ?3-x ,-1<x<1. ?
2 2 2

11.如图(1)是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图(1)上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图(2)、(3) 所示.你能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图(1)、图(2)、图(3)中的票价分别是多少元? 解 (1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元, 点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0

元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图(2)的建议是降低成本,票价不变,图(3)的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图(1)、(2)中的票价是 2 元.图(3)中的票价是 4 元. 培 优 演 练 )

2+x ?x? ?2? 1.设 f(x)=lg ,则 f? ?+f? ?的定义域为( 2-x ?2? ?x? A.(-4,0)∪(0,4) B.(-4,-1)∪(1,4) C.(-2,-1)∪(1,2) D.(-4,-2)∪(2,4)

2+x x 2 2 解析 ∵ >0, ∴-2<x<2, ∴-2< <2 且-2< <2, 取 x=1, 则 =2 不合题意(舍去), 2-x 2 x x 故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C、D,故选 B.
4

答案 B
?x +bx+c?x≤0?, ? 2.(2014·西城模拟)设函数 f(x)=? ?2?x>0?, ?
2

若 f(-2)=f(0),f(-

1)=-3,则方程 f(x)=x 的解集为________. 解析 当 x≤0 时,f(x)=x +bx+c, 因为 f(-2)=f(0),f(-1)=-3,
??-2? -2b+c=c, ? 则? 2 ??-1? -b+c=-3, ?
2 2 2

解得?

?b=2, ? ?c=-2, ?

? ?x +2x-2?x≤0?, 故 f(x)=? ?2?x>0?. ?

当 x≤0 时,由 f(x)=x,得 x +2x-2=x, 解得 x=-2 或 x=1(1>0,舍去). 当 x>0 时,由 f(x)=x,得 x=2. 所以方程 f(x)=x 的解集为{-2,2}. 答案 {-2,2} 3.给定 k∈N ,设函数 f:N →N 满足:对于任意大于 k 的正整数 n,f(n)=n-k. (1)设 k=1,则其中一个函数 f 在 n=1 处的函数值为________. (2)设 k=4,且当 n≤4 时,2≤f(n)≤3,则不同的函数 f 的个数为________. 解析 (1)本题定义函数有两个条件,一是定义域和值域都是正整数,二是对于任意大
* * *

2

于 k 的正整数 n,f(n)=n-k.那么 n=1 时只要满足值域是正整数即可,所以答案是 a(a 为 正整数). (2)因为 k=4,所以 n>4 时都一一对应,只要对 n≤4 的进行定义,又因为 f(n)=2 或

f(n)=3,所以 f(1)=2 或 3,f(2)=2 或 3,f(3)=2 或 3,f(4)=2 或 3,所以 f 的个数为:
2×2×2×2=16. 答案 (1)a(a 为正整数) (2)16 4.如果对任意实数 x,y,都有 f(x+y)=f(x)·f(y),且 f(1)=2, (1)求 f(2),f(3),f(4)的值. (2) 求

f?2? f?4? f?6? f?2 010? f?2 012? f?2 014? + + +…+ + + + f?1? f?3? f?5? f?2 009? f?2 011? f?2 013?

f?2 016? 的值. f?2 015?
解 (1)因为对任意实数 x,y,

都有 f(x+y)=f(x)·f(y),且 f(1)=2, 所以 f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=2 =4,
2

5

f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23=8, f(4)=f(3+1)=f(3)·f(1)=24=16.
(2)由(1)知

f?2? f?4? f?6? f?2 016? =2, =2, =2,…, =2. f?1? f?3? f?5? f?2 015?

故原式=2×1 008=2 016.

6


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