最新-第二章21平面向量的实际背景及基本概念-PPT文档资料_图文

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第 二 章



平 面

第二章 平面向量











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平 面

2019 课标领航











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课标定位



章 开始以丰富的实际背景,引出向量.向量的概念是



学习向量的基础,在此基础上学习向量的基本运算, 包括向量的加减法、数乘运算和向量的数量积.向

上 页

面 量不同于数,它有其自身的一套运算法则.向量的

向 坐标表示是向量的另一种重要表示形式,使向量把



量 数与形有机地结合在一起.最后在学习向量的概念



及运算的基础上,突出了向量的工具作用,它是沟

通代数、几何和三角函数的一种工具,有着极其丰

富的实际背景,更有极其广泛的应用.

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学法指导

二 章

在这一章里我们学习的向量是一个既有大小又有方向

的量,方向和大小是向量的两个要素,这是首先必须 上





面 注意到的一点.在向量的表示方法中,用字母表示向

向 量要注意书写规范,用有向线段表示向量与有向线段 下





的起点无关,等长且同向的有向线段就表示同一向

量.共线向量和平面向量的基本定理给出了共线向量

和平面向量的基

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第 二

本结构,它们是进一步研究向量的基础,应予以重

章 视,特别要注意向量的共线和线段的共线不同.向

平 量的加、减、数乘结果均为向量,而向量的数量积

上 页

面 是一个数.通过向量的数量积,可以计算向量的长

向 量

度、平面内两点间的距离;通过两个向量的夹角可

下 页

以判断两个向量是否垂直,要充分注意向量数量积

的应用性.注意向量的数量积不满足结合律.

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§2.1





平面向量的实际背景及基本概念









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第 二

情境设疑



小明住在济宁曲阜的机场附近,他准


平 备去参观2019年的上海世博会,如果把机场、上





向 海分别看作两个点,他可以乘飞机直达上海,也



量 可以先到济南,再到上海,这两者的行程相同吗? 页

小明相对于飞机场的位置如何?

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1.课堂目标

理解平面向量的概念及其几何表示.









理解零向量、单位向量、向量的模等概念.



掌握相等向量、共线向量的概念.



下 页

2.重点难点

重点:相等向量、共线向量.

难点:向量的方向、共线向量.

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课前自主探究



温故夯基



在学习三角函数线时,我们已经学习过有向线段 上





面 了,你还记得吗?

向 所谓有向线段就是可以看作带有方向的线段,在平 下





面直角坐标系中是怎样规定的呢?当线段与x轴同

向时,线段的方向为正向;当线段与x轴反向时,

线段的方向为负向.三角函数线有都向是线__段__.______

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知新益能

第 二 章

1.向量的概念 (1)既有_大__小__,又有方__向__的量叫做向量. (2)只有大__小__,没有方__向___的量叫做数量.

平 面 向 量

2.向量的几何表示
(1)带有方向的线段叫做有__向__线__段___,它包含三 个要素:起__点___、长__度___、方__向__.___
(2)向量可以用有__向__线__段___表示,向量 _A_B_ 的大 小,也就是向量的_长__度__ (或称模),记作_A__B _ .

上 页
下 页

向量也可用字母a,b,c,…表示,或用有向

线段的起点和终点字母表示如_A_B___C_D__ 等.

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(3)长度为0_的向量叫做零向量,记作0;长度等



于_1_个单位的向量,叫做单位向量.

(4)方向相同或相反的_非__零__向__量__叫做平行向量, 上



如果a与b平行,通常记作_a_∥__b_.零向量与任一向 页



量平行.



3.相等向量与共线向量





(1)_长__度__相__等__ 且方__向__相__同__的向量叫做相等向量. 页

(2)任一组_平__行__向量都可以移动到同一直线上,

因此,平行向量也叫做共__线__向__量_ .

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问题探究

第 二

1.向量与有向线段有什么关系?

章 提示:向量可以用有向线段来表示,即有向线段

是向量的一种几何表示,但并不是说向量就是有

平 向线段,它们之间有本质的区别:向量的要素是

上 页

面 向

大小和方向,与起点无关;而有向线段的要素是 大小和方向,但与起点有关,如图所示:







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A→O ,O→B ,B→C 是不同的有向线段,



但表示相同的单位向量.



2.“任一组平行向量都可以移动到同



一直线上”体现了向量共线与直线共线有

上 页



什么关系?

向 量

提示:(1)共线向量也就是平行向量,其要求是几 个非零向量的方向相同或相反.当然向量所在的

下 页

直线可能平行,也可能重合.

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(2)“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义,实际上,

第 共线向量有以下四种情况:方向相同且模相等;方向相

二 同且模不等;方向相反且模相等;方向相反且模不等.

章 (3)共线向量与相等向量的关系,即共线向量不一定是相

平 等向量,而相等向量一定是共线向量.

上 页

面 (4)由向量相等的定义可以知道,对于一个向量,只要不

向 改变它的大小和方向,是可以平行移动的,因此,用有 下 量 向线段表示向量时,可以任意选取有向线段的起点.由 页

此可知,任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.

综上,可知由直线共线可推得向量共线,由向量共线不

一定推得直线共线.

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二 章

考点一 向量的有关概念



平 向量是既有大小又有方向的量,向量这一概念是



面 由物理学和工程技术学抽象出来的,但向量不完

向 全等同于物理中的矢量.向量也不同于数量,它



量 是一种新的量.数量与向量的区别是:数量只有



大小,是一个代数量,可以进行代数运算及比较

大小;向量既有大小又有方向,但不能像比较数

量大小那样比较两个向量的大小.

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例1

二 给出下列命题:

章 (1)若|a|=|b|,则 a=b 或 a=-b;

(2)向量的模一定是正数;



平 (3)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等 页

面 向量;

向 量

(4)向量 A→B 与 C→D 是共线向量,则 A、B、C、D 四点 必在同一直线上.

下 页

其中正确命题的序号是________.

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第 二 【分析】 可从向量、向量的模、相等向量、平行

章 向量等概念入手,逐一判断真假.


平 【解析】 (1)错误.由|a|=|b|仅说明a与b模相等, 页

面 但不能说明它们方向的关系.





量 (2)错误.0的模|0|=0.



(3)正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向,

是可以任意移动的.

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第 (4)错误.共线向量即平行向量,只要求方向

二 章

相同或相反即可,并不要求两个向量 A→B 、

C→D 必须在同一直线上.







面 【答案】 (3)

向 量

【点评】 对于命题判断正误题,应熟记有关

下 页

概念,看清、理解各命题,逐一进行判断,有

时对错误命题的判断只需举一反例即可.

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考点二 向量的有关概念

二 章 向量的表示方法主要有:(1)几何表示法:用有向线段表

示;(2)字母表示法:用有向线段的起点和终点字母如 A→B ,上

平 或用字母 a,b,c,…表示.



面 向 量

例2 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km后到达 B 点,然后又改变方向向北偏西 40°走了 200 km 到达 C 点,

下 页

最后又改变方向,向东行驶了 100 km 到达 D 点.

(1)作出向量 A→B 、B→C 、C→D ;

(2)求|A→D |.

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【分析】 在作图时既要考虑向量的大小,又要

考虑其方向及起点.

第 二

【解】 (1)







向量 A→B 、B→C 、C→D 如图所示:



面 向

(2)由题意,易知 A→B 与 C→D 方向相反,故 A→B 与 C→D 共 下



线.又|A→B |=|C→D |,



∴在四边形 ABCD 中,AB 綊 CD.

∴四边形 ABCD 为平行四边形.

∴A→D =B→C ,

∴|A→D |=|B→C |=200 km.

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第 二 章

【点评】 准确画出向量的方法是先确定向量的起 上





面 点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定





量 向量的终点.



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考点三 相等向量与共线向量

第 二 章

共线向量是从向量的方向上来定义:同向或者反向, 特殊规定 0 与任何向量都平行;相等向量是从方向 和大小两者同时限定,即表示了向量的平移性.

















例3 如图所示,四边形 ABCD 与 ABEC 都是平行

四边形.

(1)用有向线段表示与向量A→B相等的向量;

(2)用有向线段表示与向量A→B共线的向量.

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第 【分析】 在寻找相等向量和共线向量时都可以

二 从大小和方向这两个方面来考虑,本题涉及的线



段比较多,不要有遗漏.



平 面

【解】 (1)与向量A→B相等的向量是C→E,D→C.



向 (2)与向量A→B共线的向量是B→A,D→E,D→C,C→E,E→C, 下

量 C→D,E→D.



【点评】 寻找相等向量、共线向量,要结合平面 图形的平行性质.

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互动探究



在 本 例 中 , ① 与 A→D 平 行 的 向 量 有



__________;



②若 ABED 是等腰梯形,则模与|A→D|相等的

向量有__________.



平 面 向

解析:①由平行四边形的性质可知,AD 綊 BC, ∴A→D∥B→C,A→D∥C→B,且A→D∥D→A.

页 下



②AD=AC=BC=BE,∴|A→D|=|A→C|=|B→C|=|B→E



|.

答案:①B→C、C→B、D→A

②A→C、C→A、C→B、B→C、B→E、E→B、D→A

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二 1.判断一个量是不是向量,就是看它是否同时具

章 备两个要素:大小和方向.只有大小没有方向,



平 或只有方向没有大小的量都不是向量.



面 向

2.向量不能比较大小是因为方向不能比较大小;



量 但向量的模能比较大小.



3.在平面几何中“平行”具有传递性,而在平面向

量中,“平行”不具有传递性,但平行向量是非零

向量时具有传递性.

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