2015-2016学年高中数学 第2章 第17课时 向量数乘运算及其几何意义课时作业(含解析)新人教A版必修4

课时作业(十七) 向量数乘运算及其几何意义
A 组 基础巩固 1.?2015·北京市西城区高一统测?设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ ke2(k∈R)与向量 n=e2-2e1 共线,则( ) A.k=0 B.k=1 1 C.k=2 D.k= 2 1 1 解析:当 k= 时,m=-e1+ e2,n=-2e1+e2, 2 2 ∴n=2m,此时,m,n 共线,故选 D. 答案:D → → → 2.?2015·甘肃天水一中高一检测?已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD =7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.B、C、D B.A、B、C C.A、B、D D.A、C、D → → → → 解析:∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB,∴A、B、D 三点共线,故选 C. 答案:C → → → → 3.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P,且PA+PB+PC=AB,则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边上或其延长线上 D.P 在 AC 边上 → → → → → → → 解析:PA+PB+PC=PB-PA∴PC=-2PA, ∴P 在 AC 边上,故选 D. 答案:D → → → ?2015·福建三明市高一检测? 4. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m → → → 使得AB+AC=mAM成立,则 m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → → → → → → 解析:∵MA+MB+MC=0,∴点 M 是△ABC 的重心,∴AB+AC=3AM,∴m=3,故选 B. 答案:B → → ?2015·福建漳州市高二检测? 5. 在△ABC 中,点 D 在直线 CB 的延长线上,且CD=4BD → → =rAB+sAC,则 r-s 等于( ) 4 A.0 B. 5 8 C. D.3 3

1

→ → → → → → 解析:∵CD=CB+BD=4BD,∴CB=3BD. → → → → → → → → → → → → → → → 1 1 4 4 ∴CD=AD-AC=AB+BD-AC=AB+ CB-AC=AB+ (AB-AC)-AC= AB- AC, 3 3 3 3 4 4 8 ∴r= ,s=- ,r-s= ,故选 C. 3 3 3 答案:C → → → → → → 2 6.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC =16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM |等于( ) A.8 B.4 C.2 D.1 → → → → → → → 2 解析:∵BC =16,∴|BC|=4.又|AB-AC|=|CB|=4,∴|AB+AC|=4. → → → 1 ∵M 为 BC 的中点,∴AM= (AB+AC), 2 → → → 1 ∴|AM|= |AB+AC|=2,故选 C. 2 答案:C 7.?2015·湖北孝感市高一检测?在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 → → → OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC=a,BD=b,则AF等于( ) 1 1 2 1 A. a+ b B. a+ b 4 2 3 3 1 1 1 2 C. a+ b D. a+ b 2 4 3 3

解析:如图所示, ∵E 是 OD 的中点, → → 1 1 ∴OE= BD= b. 4 4 又∵△ABE∽△FDE,∴ =

AE BE 3 = . EF DE 1

→ → → → 3 ∴AE=3EF,∴AE= AF. 4 → → → 1 1 在△AOE 中,AE=AO+OE= a+ b, 2 4 → → 4 2 1 ∴AF= AE= a+ b,故选 B. 3 3 3 答案:B → → → 8.已知平面内 O,A,B,C 四点,其中 A,B,C 三点共线,且OC=xOA+yOB,则 x+y =__________. 解析:∵A,B,C 三点共线,

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→ → ∴? λ ∈R 使AC=λ AB. → → → → ∴OC-OA=λ (OB-OA), → → → ∴OC=(1-λ )OA+λ OB, ∴x=1-λ ,y=λ ,∴x+y=1. 答案:1 → → → 9.已知平面直角坐标系中,点 O 为原点,A(-3,-4),B(5,-12),若OC=OA+OB, → → → OD=OA-OB. (1)求点 C 和点 D 的坐标; → → (2)求OC·OD. → → 解析:(1)∵OA=(-3,-4),OB=(5,-12) → → → ∴OC=OA+OB=(-3+5,-4-12)=(2,-16) → → → OD=OA-OB=(-3-5,-4+12)=(-8,8) ∴点 C(2,-16),点 D(-8,8). → → (2)OC·OD=2×(-8)+(-16)×8=-144. → → 10.如图,在△ABC 中,点 D 在边 BC 上,且DC=2BD.

→ → → (1)用向量AB,AC表示向量AD; → → → (2)若|AB|∶|AD|∶|AC|=3∶k∶1,求实数 k 的取值范围. → → → → → → → → 解析:(1)∵BD=AD-AB,DC=AC-AD,DC=2BD, → → → → → → → 1 2 ∴AC-AD=2(AD-AB),化为AD= AC+ AB. 3 3 → → → → → → (2)∵|AB|∶|AD|∶|AC|=3∶k∶1,∴不妨取|AB|=3,|AD|=k,|AC|=1,设∠BAC =θ . → → → → → 1 2 4 2 4 1 4 4 2 2 2 由 (1) 可 得 : k = | AD | = AC + AB + AC · AB = + ×3 + ×1×3cosθ = 9 9 9 9 9 9 37+12cosθ , 9 由于-1<cosθ <1,

3

25 37+12cosθ 49 < < , 9 9 9 5 7 ∴ <k< . 3 3 ?5 7? ∴实数 k 的取值范围是? , ?. ?3 3? ∴ B 组 能力提升 11.?2015·河北衡水中学高二调研?已知 O 是平面内一定点,A、B、C 是平面上不共 → → → → AB AC + 线的三个点,动点 P 满足OP=OA+λ (λ ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定通 → → |AB| |AC| 过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 → → → → → → AB AC AB AC 解析: 为AB上的单位向量, 为AC上的单位向量,则 + 的方向为∠BAC → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| → 的角平分线AD的方向.又 λ ∈[0,+∞), → → → → → → → → AB AC AB AC AB AC + + ∴λ 的方向与 + 的方向相同,而OP=OA+λ , → → → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| |AB| |AC| → ∴点 P 在AD上移动. ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心,故选 B. 答案:B → → → → → 1 12.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB,则 λ 等于 3 __________. → → → → → → 解析:由AD=2DB,得CD-CA=2(CB-CD) → → → 1 2 2 ? CD= CA+ CB,所以 λ = . 3 3 3 2 答案: 3 → → → 13.设 O 是△ABC 内部一点,且OA+OC=-3OB,求△AOB 与△AOC 的面积之比.

? ? ?

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→ → → 解析:如图,由平行四边形法则,知OA+OC=OD,其中 E 为 AC 的中点. → → → → 所以OA+OC=2OE=-3OB.

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→ → → → 2 2 所以OB=- OE,|OB|= |OE|. 3 3 设点 A 到 BD 的距离为 h, → 1 则 S△AOB= |OB|·h, 2 → S△AOC=2S△AOE=|OE|·h, → 1 → |OB|·h S△AOB 2 1 |OB| 所以 = = · S△AOC → 2 → |OE|·h |OE| 1 2 1 = × = . 2 3 3

→ → 1 14. 在△ABC 中, E 为线段 AC 的中点, 试问在线段 AC 上是否存在一点 D.使得BD= BC+ 3 → 2 BE,若存在,说明 D 点位置;若不存在,说明理由. 3 → → → 1 2 解析:假设存在 D 点,使得BD= BC+ BE. 3 3 → → → → → → → → → → → → → → → 1 2 1 2 2 2 2 2 BD = BC + BE ? BD = BC + ( BC + CE ) = BC + CE ? BD - BC = CE ? CD = CE ? CD = 3 3 3 3 3 3 3 3 ? →? → 1→ ×?1CA?? CD= CA. 3 ?2 ? 所以存在 D 为 AC 三等分点. 15.?附加题·选做?

如图,在△ABC 中,已知点 D,E 分别在边 AB,BC 上,且 AB=4AD,BC=2BE. → → → (1)用向量AB,AC表示DE; (2)设 AB=8,AC=5,A=60°,求线段 DE 的长. → → → → → → → → → → 3 1 3 1 1 1 解析:(1)∵DE=DB+BE= AB+ BC= AB+ (AC-AB)= AB+ AC. 4 2 4 2 4 2 → ? → →? → → → → 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 (2)由(1)可得DE =?1AB+1AC? = AB + AC + AB·AC= ×8 + ×5 + ×8×5 4 4 16 4 4 2 ? 16 ?4 61 ×cos60°= . 4

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→ 61 ∴|DE|= . 2

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