qqyou.com:高中数学不等式的概念和性质高考考点解析及例题辅导

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不等式的概念与性质
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掌握不等式的性质及其证明,能正确使用这些概念解决一些简单问题 知识点归纳
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1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系:

a ? b ? a ?b ? 0
2.不等式的性质: (1) a ? b ? b ? a

a ? b ? a ?b ? 0

a ? b ? a ?b ? 0

, a ? b ? b ? a (反对称性) , a ? b, b ? c ? a ? c (传递性)

(2) a ? b, b ? c ? a ? c

(3) a ? b ? a ? c ? b ? c ,故 a ? b ? c ? a ? c ? b (移项法则) 推论: a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (4) a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc 推论 1: a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

推论 2: a ? b ? 0 ? a ? b
n

n

推论 3: a ? b ? 0 ? n a ? n b 不等式的性质是解、证不等式的基础,对于这些性质,关键是正确理解和熟练运用,要 弄清每一个条件和结论,学会对不等式进行条件的放宽和加强
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题型讲解

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例 1 已知三个不等式:①ab>0 ②bc>ad ③

c d > ,以其中两个作为条件,余下一个作 a b
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为结论,则可以组成多少个正确的命题?并写出这些命题 解:可以组成下列 3 个命题 命题一:若 ab>0,
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c d > , 则 bc>ad a b c d > , a b

命题二:若 ab>0,bc>ad 则

命题三:若

c d > , bc>ad 则 ab>0 a b

由不等式的性质得知这三个命题均为真命题 例 2 有三个条件: (1)ac2>bc2;(2) 的个数有( A.0 ) B.1 C.2 D.3
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a b > ;(3)a2>b2,其中能分别成为 a>b 的充分条件 c c

解: (1)由 ac2>bc2 可知 c2>0,即 a>b,故 ac2>bc2 是 a>b 的充分条件 (2)c<0 时,a<b
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(3)a<0 时,a<b,故(2)(3)不是 a>b 的充分必要条件,故答案选 B 、 例 3 若 a>b>1,P= lg a ? lg b , Q= 小 解:∵a>b>1,∴lg a> lg b>0, ∴ lg a ? lg b <

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1 a?b (lg a +lg b ),R=lg( ),试比较 P ,Q, R 的大 2 2

lg a ? lg b ,即 P<Q 2

又∵ ab <

a?b a?b ,∴ lg ab < lg( ), 2 2
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lg a ? lg b a?b < lg( ),即 Q<R ,P< Q<R 2 2

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例 4 设 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求 f(-2)的取值范围
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分析:因为 f(-1)=a-b, f(1)=a+b,而 1≤a-b≤2, 2≤a+b≤4;又 a+b 与 a-b 中的 a,b 不是 独立的,而是相互制约的,因此,若将 f(-2)用 a-b 与 a+b,表示,则问题得解 解:设 f(-2)=m f(-1)+n f(1), (m,n 为代定系数) 则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b) 即 4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
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于是得

?

m? n?4 m ? n ? 2 得:m=3, n=1

∴f(-2)=3 f(-1)+ f(1) ∵1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ∴5≤3f(-1)+ f(1) ≤10, 故 5≤f(-2)≤10, 另法:以上解题过程简化如下:



?

? a ? 2[ f (1) ? f ( ?1)] a ? b ? f ( ?1) 得 ? b ? 1 [ f (1) ? f ( ?1)] a ? b ? f (1)
1

?

2

∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1)+ f(1) 点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证 若先将参数
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a,b 的范围求出,而后再求 f(-2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给 条件,即变形不等价,由所求的参数 a,b 的范围并不能得到已知条件所给的 f(-1)及 f(1)的范围, 这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果 因此,在解题的过程中,务必
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尽可能保持变形的等价性,以免发生错误
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例 5 已知 a>b>c,a+b+c=0 方程 ax2+bx+c=0 的两个实根为 x1,x2
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(1) 证明:-

1 b ? ? 1; 2 a
2

(2) 若 x12+x1x2+x22=1,求 x12-x1x2+x22 (3) 求 x1 ? x 2
2

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解: (1)?a>b>c,a+b+c=0, ∴ 3a ? a ? b ? c, a ? b ? ?a ? b ,

∴a>0,1> ∴?

b b ? ?1 ? a a

1 b ? ?1 2 a

(2)(方法 1) ?a+b+c=0 ∴ ax2+bx+c=0 有一根为 1, 不妨设 x1=1,则由 x12+x1x2+x22=1 可得 x2(x2+1)=0, 而 x2=x1x2=

c <0(3c<a+b+c=0),∴ x2=-1 a

∴x12-x1x2+x22=3 (方法 2) ?x1+x2=-

b c ,x1x2= a a
b2 c b2 a ? b b2 b ? 2 ? ? 1 =1, x1x2= 2 ? ? 2 ? a a a a a a



x12+x1x2+x22=(x1+x2)2-



b2 b 1 b b ? ? 0,? ? ? ? 1,? ? 0, 2 a 2 a a a

∴x12-x1x2+x22= x12+x1x2+x22-2x1x2=1-2x1x2=1+ (3)由(2)知,

2(a ? b) ?3 a

x1 ? x 2
2

2

= 1?

c2 a2

? 1?

( a ? b) 2 a2

b ? ( ? 1) 2 ? 1 a

?

1 b 1 b ? ? 1 ? 2,? ? ( ? 1) 2 ? 4 2 a 4 a 3 b ? ( ? 1) 2 ? 1 ? 3 4 a
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∴-

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∴ x1 ? x 2
2

2

? ?0,3?

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小结:在不等式的性质中,要特别注意下面 4 点: 1 不等式的传递性:若 a>b,b>c, 则 a>c,这是放缩法的依据,在运用传递性时,要注意不
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等式的方向,否则易产生这样的错误:为证明 a>c,选择中间量 b,在证出 a>b,c>b,后,就误认 为能得到 a>c
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2 同向不等式可相加但不能相减,即由 a>b,c>d,可以得出 a+c>b+d,
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但不能得 a—c>b—d
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3 不等式两边同时乘以一个数或式时, 只有该数或式保证为正, 才能得到同向的不等式,
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否则不能保证所乘之数或式为正,则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方 向;不等式两边同偶次乘方时,也要特别注意不等式的两边必须是正
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总之, 不等式的概念和性质是本章内容的基础, 是证明不等式和解不等式的主要依据, 必须透彻理解,特别要注意同向不等式可相加,也可相乘,但相乘时,两个不等式都需大于 零 处理分式不等式时不要随便将不等式两边乘以含有字母的分式,如果需要去分母,一定
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要考虑所乘的代数式的正负

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作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法,应引起高度注意

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练习

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1.已知 a<b<|a|,则( ) A

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1 1 < a b

B ab<1
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C

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a >1 b

D a >b
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2

2

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答案: D 2.已知命题甲:ac<bd;命题乙:a>c,b>d,则甲是乙的( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件
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答案: D 3.若|a+c|<|b|,则( ) A -b<a+c<b
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B |a-c|<|b|
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C |a|<|b|+|c|
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D |a|<|b+c|
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答案: C 4.设 a= 2 , b= 7 - 3 , c= 6 - 2 ,则 a, b, c 的大小顺序是( A c<b<a B b<c<a
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C c<a<b
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D a<c<b
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答案: B 5 若 0<b<a, 则( )
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A

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2a ? b a > a ? 2b b

B

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b2 ?1 b2 > a2 ?1 a2

C a+
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1 1 >b+ a b

D a>a
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b

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答案:B

提示:∵0<b<a, ∴

a2 ? b2 b2 ?1 b2 - 2 = 2 2 >0 a 2 ? 1 a a ( a ? 1)
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6.若 b<0<a, d<c<0,则( ) A ac>bd
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B

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a b > c d

C a+c>b+d
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D a-c>b-d
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答案: C 7.已知 1<x<3, M=3x -x+1, N=4x -5x+4,则( ) A M<N B M=N
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2

2

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C M>N
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D M 与 N 大小不确定
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答案: C 提示: M-N=-x +4x-3=-(x-2) -1, x∈(1, 3), M-N>0 8.已知 ab≠0,则
2 2

b a >1 是 <1 的( )条件 a b
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A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件
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答案: A 提示:∵ab≠0,

b >1 ,若 a>0, b>0,则 b>a>0, a



a a <1; 若 a<0, b<0,则 b<a<0, ∴ <1 b b

9.若 a, b, c 都是正数,且 a<b,则( ) A

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a a?c a a?c < <1 B ≥ b b?c b b?c
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C

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b?m b a a?c ≤ ≤1 D 1< < b b?c a?m a
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答案: A 10 下列函数中,其最小值为 2 的函数是( )
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A y=x+
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1 x
2

B y=sinθ +secθ (0<θ <
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? ) 2

C y= x ? 2 ?
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1 x ?2
2

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D y=sinθ +cscθ (0<θ <π )
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答案:D 11.设 a, b 为实数,且 a+b=3,则 2 +2 的最小值是( ) A6
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a

b

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B4 2
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C2 2
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D2 6
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地址中山北路 28 号江苏商厦 7 楼

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答案: B
a b

提示: ∵a+b=3, ∴2 +2 ≥2 2
2

a? b

=4 2

12.已知 k 为实数, 方程 x +(k+3 i )x+4+k i =0 有实根的充要条件是 A k≥4
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B -3 2 ≤k≤3 2
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C k=±3 2
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D k≠0
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答案: C 提示: ∵方程 x +(k+3 i )x+4+k i =0 有实根,∴x +kx+4=0,且 3x+k=0, x=- 入到 x +kx+4=0 中解得 k=±3 2 13.若实数 x, y 满足 x +y -2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是( ) A B 10
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2

2

k , 代 3

2

2

2

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5

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C9
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D 5+2 5
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答案: B 提示: 方程 x +y -2x+4y=0 化为(x-1) +(y+2) =5, (x, y)为圆上一点, x=1+ 5 sin 设 α ,y=-2+ 5 cosα , 则 x-2y=5+5sin(α +φ ), ∴最大值为 10 14.若 0<a<b, a+b=1,则
2 2 2 2

1 2 2 , b, 2ab, a +b 中的最大值是( ) 2
2

A

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1 2

Bb
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C 2ab
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D a +b
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2

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答案: B 提示: b>a, b>

1 2 2 2 , 2a<1, 2ab<b, a +b <ab+b =b(a+b)=b 2
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15.若 f (x)=|lgx|,且当 a<b<c 时,有 f A >f C >f B ,则下列各式中( )成立
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A (a-1)(c-1)>0
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B ac=1
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C ac>1
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D ac<1
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答案: D

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提示: 用图象分析, a<1, b<1, c>1,又 f A >f C ,
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1 >c, ∴ac<1 a
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16.不等式

b a + >2 成立的充要条件是 a b

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答案: ab>0 且 a 17.若 a>0, b>0, a+b=1,比较大小: 2a ? 1 ? 答案: ≤

2b ? 1

2 2

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18.已知 lgx+lgy=2,则

1 1 + 的最小值是 y x

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答案:

1 5

提示: xy=100,

1 1 1 1 + ≥2 = xy 5 x y

19.当 x≠0 时,

x2 的最大值是 1? x4

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答案:

1 2
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20.若直角三角形的周长为 2,则它的最大面积是 答案: 3-2 2

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提示: 设斜边为 c, a=csin α , b=ccos α , a + b + c=2, c(1+ sin α + cos α )=2, c[1+

2 sin(α +

? 1 2 1 2 2 )]=2, c≤ =2( 2 -1), S△= c sin2α ≤ c =3-2 2 4 4 4 1? 2
2 2 2

21.若 2x +3y =64,则 x +y 的最大值是 答案: 32

2

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提示: x +y =

2

2

x 2 ? 64 2 2 2 , x ≤32, ∴x +y ≤32 3

2 x 2 ? 2k x ? k 22.若不等式 <1 对于 x 取一切实数都成立,则 k 值的范围 是 4x 2 ? 6x ? 3

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答案: 1<k<3 提示: ∵
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2 x 2 ? 2k x ? k 2 <1, ∴2x +(6-2k)x+(3-k)>0, 对于 x 取一切实 2 4x ? 6x ? 3

数都成立, ∴

? 2 <0,解得 k -4k+3<0, ∴1<k<3 4
2
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23.要使不等式 kx -kx+1>0 对于 x 的任意值都成立,则 k 值为 答案: 0≤k<4 提示: 当 k=0 时, 不等式成立,当 k≠0 时, 要求 k>0 且

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? <0,解得 0<k<4, ∴0≤k<4 4
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24.a, b, c 为正数, (a+b+c)( 答案: 9 提示: (a+b+c)(

1 1 1 + + )的最小值为 a b c

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b a c a b c 1 1 1 + + )=3+ ? ? ? ? ? ≥9 a b c a b a c c a
, y=
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25.若 8x +

2

y 1 + =6,且 xy>0,则 x= xy x

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答案: x=±

1 , y=±1 2
2

提示: ∵ xy>0, ∴8x +

1 y y 1 1 2 2 y + ≥3 3 8 x ? ? =6,当 8x = = 时,等号成立, x=± ∴ x xy xy x x xy

1 , y=±1 2
26.设-1<x<0,则下列不等式成立的是( ) A8
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?x

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<8 <0 8
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x

x

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B 8 <0 8 <8
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x

x

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?x

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C 0 8 <8
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x

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?x

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<8

x

D 8 <8
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x

?x

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<0 8
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x

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答案:B 27. x>y>1, 0<a<1, 若 且 给出下列四个不等式: x ? a <y ? a ; ② a ? x >a ? y ; ③ log 1 x<log 1 ①
2 2

y ; ④ loga (

1 1 )>loga ( ),其中正确的个数为( ) y x
C3
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A1
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B2
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D4
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答案:D 28 下列命题: a≥b ? a-b≥0; ② 3≥5 是矛盾不等式; ③ x -2x+2>0 是条件不等式; ①
2
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④ a+1>1 是绝对不等式 其中真命题的个数为( )
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A0 个 B1 个
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C2 个 D3 个
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答案:C 提示:①、②是真命题
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29 设数轴(方向由左向右)上的点 M、N 分别对应于坐标 xM、xN,且 xM<xN, 则 M、N 的位置
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关系为( ) A M 在 N 右边
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B 当 M 在原点左边时,N 不可能也在原点左边
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C M 在原点左边,N 在原点右边 D M 在 N 左边
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答案:D 30 下列判断:① a1>b, a2>b 则 a1>a2; ② 若 ac>bc, 则 c>0;
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③ 由 lg A1 个
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1 1 1 1 1 1 >lg , 2>1,有 2lg >lg ; ④ a>b,则 < ,其中不能成立的个数是( ) 4 5 4 5 a b
B2 个
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C3 个
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D4 个
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