2.3.面面垂直面垂直的判定和性质_图文

平面与平面垂直的判定

问题提出

1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系,对于两个平面平行, 我们已作了全面的研究,对于两个 平面相交,我们应从理论上有进一 步的认识.

2.在铁路、公路旁,为防止山体滑坡,常用石 块修筑护坡斜面,并使护坡斜面与水平面成适当 的角度;修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用,必 须使水坝面与水平面成适当的角度,如何从数学 的观点认识这种现象?

我们引入二面角的概念 去研究两个面之间的关系

公路

知识探究(一):二面角的有关概念

思考1:直线上的一点将直线分割成 两部分,每一部分都叫做射线. 平 面上的一条直线将平面分割成两部 分,每一部分叫什么名称?
射线 射线

半平面

半平面

思考2:将一条直线沿直线上一点折起, 得到的平面图形是一个角,将一个平 面沿平面上的一条直线折起,得到的 空间图形称为二面角,你能画一个二 面角的直观图吗?

思考3:在平面几何中,我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角”,按照这种定义 方式,二面角的定义如何?

从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角

思考4:观察下列两个二面角在摆放 上有什么不同?
β l l

α

α

β

思考5:一个二面角是由一条直线和 两个半平面组成,其中直线l叫做二 面角的棱,两个半平面α 、β 都叫 做二面角的面,二面角通常记作 “二面角α -l-β ”.那么两个相交平 面共组成几个二面角?
β



l

α

知识探究(二):二面角的平面角

思考1:把门打开,门和墙构成二面 角;把书打开,相邻两页书也构成 二面角.随着打开的程度不同,可得 到不同的二面角,这些二面角的区 别在哪里?

思考2:我们设想用一个平面角来反 映二面角的两个半平面的相对倾斜 度,那么平面角的顶点应选在何处? 角的两边在如何分布?
β

l

α

思考3:在二面角α -l-β 的棱上取一 点O,过点O分别在二面角的两个面 内任作两条射线OA,OB,能否用 ∠AOB来刻画二面角的张开程度?
β B l

O A

α

思考4:在上图中如何调整OA、OB的 位置,使∠AOB被二面角α -l-β 唯一 确定?这个角的大小是否与顶点O在 棱上的位置有关?
β B l

O
A

α B

β α

l

O

A

思考5:上面所作的角叫做二面角的 平面角,你能给二面角的平面角下 个定义吗? β
B l O A α

以二面角的棱上任意一点为顶点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线,这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角.

思考6:二面角的大小可以用它的平 面角来度量,二面角的平面角是多 少度,就说二面角是多少度.平面角 是直角的二面角叫做直二面角. 当 二面角的两个面重合时,二面角的 大小为多少度?当二面角的两个面 合成一个平面时,二面角的大小为 多少度?一般地,二面角的平面角 的取值范围如何? ? ?

[0 ,180 ]

思考7:如图,过二面角α -l-β 一个 面内一点A,作另一个面的垂线,垂 足为B,过点B作棱的垂线,垂足为O, 连结AO,则∠AOB是二面角的平面角 吗?为什么?
β A

O

l
B

α

思考8:如图,平面γ 垂直于二面角 的棱l,分别与面α 、β 相交于OA、 OB,则∠AOB是二面角的平面角吗? 为什么?
l
O

B A α

γ

β

理论迁移

例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求二面角B1-AC-B大小的正切值.
C1 B1 C

D1 A1 D
O

B

A

例2 如图所示,河堤斜面与水平面 ? 所成二面角为 60 ,堤面上有一条直 道CD,它与堤角的水平线AB的夹角 ? 为 ,沿这条直道从堤脚C向上行走 30 10m到达E处,此时人升高了多少m?
D E
O

A C

F

B

60?

知识探究(三):面面垂直的判定
思考:根据由两个平面互相垂直的定义 两个平面相交,如果他们所成的二面角是 直二面角,则面面垂直

怎样可以保证二面角为直角呢?

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那 么 这两个平面互相垂直。
已知:AB⊥β,AB∩β=B,AB α


α

求证:α⊥β. 证明: 设α∩β=CD,则B∈CD. A

C
β E

∵AB⊥β,CD β,∴AB⊥CD.


B

D

在平面β内过B点作直线BE⊥CD,则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角, ∵AB⊥β,BE β,

∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角,∴α⊥β.



两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直.
α A B D

C
β

AB ? ? ? ? ?? ? ? AB ? ? ?

线线垂直

线面垂直

面面垂直

课堂练习:
一、判断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线,则α⊥β.( × )
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线,则α⊥β.( × ) 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.( √ ) 4.若m⊥α,m √) α⊥β.( β,则


二、填空题:
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____个平面 与平面α垂直. 无数 2.过一点可作_____个平面与已知平面垂 直.

一 3.过平面α的一条斜线,可作____个平 面与平面α垂直.
一 4.过平面α的一条平行线可作____个平
面与α垂直.

归纳小结:
(1)判定面面垂直的两种方法:

①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
(2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平

面的另一个平面的依据; (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来

解决.

平面与平面垂直的性质

温故知新
1.直线与平面垂直的定义:
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂 直,我们就说直线l 与平面α互相垂直,记作: l ⊥α.
l

?a ? ? 都有l ? a ? l ? ?
α

P

.

2.两个平面相互垂直的定义、表示和画法
如果两个平面相交 所成的二面角是直二面 角,那么我们称这两个 平面相互垂直.
B A

记作: 画法:
?

? ??

?

l
?

O

?

?

?

3.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直,则该直线与此平面垂直。

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? ? a ?b ? A ?
线线垂直 线面垂直

l?a l ?b

l

?

b

A

a

4.两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直.

?

l ??? ? ?? ? ? l ? ??
线面垂直

l

?
面面垂直

思考:能否从面面垂得到线面垂呢?

探求新知
探究:已知黑板面与地面垂直,你能在黑板 面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗 这样的直线分别有什么性质?试说明理由!

?

a l

?

b l

?

c

?

?

?

l

两个平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.
已知:平面α ⊥平面β ,α ∩β =CD,



AB

α , AB⊥CD.

求证:AB⊥β

?
C

A

证明:在平面β 内过B点作BE⊥CD, 又∵AB⊥CD,
∴∠ABE就是二面角 α -CD-β 的平面角, 。 ∴∠ABE=90 即AB⊥BE 又∵CD∩BE=B, ∴AB⊥β

B E

D

?

两个平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ?? m ? ? m ?? ? m?l ? ?
面面垂直 线面垂直

?
?

m l

拓展应用
已知 : ? ? ? , P ?? , P ? a, a ? ? .求证 : a ? ? .
例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个 平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个 平面内.

?
P b a

?
b a

?

c

?

c P

例2.如图已知平面α 、β ,α ⊥β , α ∩β =AB, 直线a⊥β , a

?α ,

试判断直线a与平面α 的位置关系

课堂练习

p73

课堂小结
1.两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直.

?

l ??? ? ?? ? ? l ? ??
线面垂直

l

?
面面垂直

2.两个平面垂直的性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于 交线的直线垂直于另一个平面.

? ?? ? ? ? ? ? ? l? ?? m ? ? m ?? ? m?l ? ?
面面垂直 线面垂直

?
?

m l

布置作业

P73 A组

第2、5题

P74 B组

第3题


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