2018-2019学年高中数学人教A版选修1-2课时跟踪检测:(三)合情推理-含解析

数学 课时跟踪检测(三) 合情推理 层级一 学业水平达标 ) 1.观察图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( A. C. B.△ D.○ 解析:选 A 观察可发现规律:①每行、每列中,方、圆、三角三种形状均各出现一次, ②每行、每列有两阴影一空白,即得结果. 2.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内 角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和都是 180°;③教室内有一把椅子坏了,则猜想 该教室内的所有椅子都坏了;④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内 角和是 540°,由此得出凸 n 边形的内角和是(n-2)· 180°(n∈N*,且 n≥3). A.①② C.①②④ B.①③④ D.②④ 解析:选 C ①是类比推理;②④是归纳推理,∴①②④都是合情推理. 3.在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地, 在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为( A.1∶2 C.1∶8 B.1∶4 D.1∶16 ) 解析:选 C 由平面和空间的知识,可知面积之比与边长之比成平方关系,在空间中体 积之比与棱长之比成立方关系,故若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积之比 为 1∶8. 4.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可推出下列空间结 论: ①垂直于同一条直线的两条直线互相平行;②垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ③垂直于同一条直线的两个平面互相平行;④垂直于同一平面的两个平面互相平行,则其 中正确的结论是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④ 解析:选 B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知,②③是正确的结论. 数学 -2 2 6 5 3 7 1 10 5. 观察下列各等式: + =2, + =2, + =2, + 2-4 6-4 5-4 3-4 7-4 1-4 10-4 -2-4 =2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( 8-n n A. + =2 n-4 (8-n)-4 n+1 (n+1)+5 B. + =2 (n+1)-4 (n+1)-4 n+4 n C. + =2 n-4 (n+4)-4 n+1 n+5 D. + =2 (n+1)-4 (n+5)-4 解析:选 A 观察发现:每个等式的右边均为 2,左边是两个分数相加,分子之和等于 8,分母中被减数与分子相同,减数都是 4,因此只有 A 正确. 6.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律,第 n 个等式为________. 解析:观察所给等式,等式左边第一个加数与行数相同,加数的个数为 2n-1,故第 n 行等式左边的数依次是 n,n+1,n+2,…,(3n-2);每一个等式右边的数为等式左边加 数个数的平方,从而第 n 个等式为 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 7.我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆 中,圆的面积最大,将这些结论类比到空间,可以得到的结论是_______________________. 解析:平面图形与立体图形的类比:周长→表面积,正方形→正方体,面积→体积,矩 形→长方体,圆→球. 答案:表面积一定的所有长方体中,正方体的体积最大;表面积一定的所有长方体和 球中,球的体积最大 8.如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 ICME-7)的会徽图案,会徽的主体图案 是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的,其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如 果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去,记 OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成 数列{an},则此数列{an}的通项公式为 an=__________. ) 数学 解析:根据 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1 和图(乙)中的各直角三角形,由勾股定理, 可得 a1 = OA1 = 1 , a2 = OA2 = 2 OA2 1+A1A2 = 12+12 = 2 , a3 = OA3 = 2 OA2 2+A2A3 = ( 2)2+12= 3,…,故可归纳推测出 an= n. 答案: n 9.在平面内观察:凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,凸六边形有 9 条 对角线,…,由此猜想凸 n 边形有几条对角线? 解:因为凸四边形有 2 条对角线,凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条;凸六边 形有 9 条对角线,比凸五边形多 4 条,…,于是猜想凸 n 边形的对角线条数比凸(n-1)边形 多(n-2)条对角线,由此凸 n 边形的对角线条数为 2+3+4+5+…+(n-2),由等差数列求 1 和公式可得 n(n-3)(n≥4,n∈N*). 2 1 所以凸 n 边形的对角线条数为 n(n-3)(n≥4,n∈N*). 2 10.已知 f(x)= 1 ,分别求 f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想 3+ 3 x 一般性结论,并证明你的结论. 1 解:f(x)= x , 3+ 3 1 1 3 所以 f(0)+f(1)= 0 + 1 = , 3 3+ 3 3+ 3 1 1 3 f(-1)+f(2)= 1 + 2 = , 3 - 3 + 3 3+ 3 1 1 3 f(-2)+f(3)= 2 + 3 = . 3 3- + 3 3 + 3 归纳猜想一般性结论;f(-x)+f(x+1)= 证明如下:f(-x)+f(x+1)= 3 . 3 1 1 + x 1 3 + 3 3++ 3 -x 数学 = 3· 3x 1 1 + = + x 1 x x+1 x+1 1+

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