【优化方案】2012高中数学_第1章1[1].1.1正弦定理课件_新人教A版必修5(1)_图文



题:正 弦 定 理

学习目标
1.了解正弦定理的推导过程. 2.掌握正弦定理并能解决一些简单的三角形度 量问题.

1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢?

引例:
为了测定河岸A点到对岸C点的距 离,在岸边选定1公里长的基线AB, 并测得∠ABC=120o,∠BAC=45o,如 何求A、C两点的距离?

.C .A .B

2.三角形是最基本的几何图形,许多与 测量有关的实际问题,都要通过解三角 形来解决.如船在航行中测量海上两个岛 屿之间的距离;飞机在飞行中测量一座 山顶的海拔高度;在地面上测量顶部或 底部不可到达的建筑物的高度;测量在 海上航行的轮船的航速和航向等. 3.对于直角三角形,我们可利用上述原 理进行有关计算.对于一般三角形中边和 角的关系,我们需要建立相关理论进行 沟通,这是一个有待探究的课题.

(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和量角 设备,不过河你可以测出它们之间的距离吗?
B

A

我们这一节所学习的内容就是解决这些问题 的有力工具.

1、问题的给出: 如图,要测量小河两岸A,B两个码头的距离。可在小河 一侧如在B所在一侧,选择C,为了算出AB的长,可先测出 BC的长a,再用经纬仪分别测出B,C的值,那么,根据a, B, C的值,能否算出AB的长。 A.

2、实际问题转化为数学问题:

a 已知三角形的两个角和一条边,求另一条边。 A.

B.

.C

B.

a

.C

一、前提测评

回顾三角形中的边角关系:
1、边的关系:

1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边
2)在直角三角形中:a2+b2=c2

2、角的关系:
1)A+B+C=1800 2) sin( A ? B) ? sin C
A? B C sin ? cos 2 2

cos(A ? B) ? ? cosC

3、边角关系: 1)大边对大角,大角对大边,等边对等角
0,则 sin A ? a , cos A ? b 2)在直角三角形ABC中,C=90

c

c

我们先看直角三角形中的关系
a SinA= c


b sinB= c

a b ? 所以c= sin A sin B



sinc=1 a b c ? ?c? sin A sin B sin c

那么,在任意三角形中,这一关系式是否成立呢?

(1)当 ?ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD ? a sin B, CD ? b sin A A 所以 a sin B ? b sin A B D a b c
得到 sin A ? sin B

b c 同理, AE ? BC .有 作 ? sin B sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin C

(2)当 ?ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C

b
a
D A

B

c

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角

a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边,大边对大角

a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
3、正弦定理可以解决三角形中的问题: ① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边,求其他角和边

a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
4、一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形

a b c 正弦定理: sin A ? sin B ? sin C
5、正弦定理的变形形式

6、正弦定理,可以用来判断三角形的 形状,其主要功能是实现三角形边角关 系的转化

知新益能
1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的_____的比值 正弦 相等,即
a ______ sin A
b c =______=_______ sin B sin C

2.解三角形 (1)把三角形的_____和它们的____叫做三角形的元 三边 对角 素. 其他元素 (2)已知三角形的几个元素求_________的过程叫做 解三角形.

思考感悟 正弦定理对任意三角形都适用吗? 提示:正弦定理对任意的三角形都适用.

例1.在?ABC中, 已知c ? 10, A ? 45?, C ? 30?. 求角B和边b.
解:
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? b c ∵ sin B ? sin C

c ? sin B 10 ? sin 105 ? ? b ?   ? sin 30? sin C

? 5 6 ? 5 2 ? 19

正弦定理应用一: 已知两角和任意一边,求其余两边和一角

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, a b 解:  ? 求B和c。 A ? sin B sin 2 变式2:在△ABC中,已知a=2 4 3 ,b=2 2 ,A=45°, 2 3 ? a b b sin A 2 ?1 ?? ? 解 :   求B和c。? ?    sin B
sin Aa sin Bb a 2 解:  ? ?    A sin B 2 sin    B sin A     c 2 ?21 ? b ? 90 2 2 ? 2    sin B ? b sin? 2 2 ? ? ? A 2 2? 3 a 4       ? sin B ? a ? 4 3 2    B ? 30 或150 ( 舍去)     ? 3 6? 2    正弦定理应用二: a sin C 4 ?    B 60 或? ? 4  C ? 105?  c 120      ? ?2 3?2 42 3 6? 2 sin A 已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进 ? a sin C 23 8 3 4  C ? 75 或15  c ? ? ? 8? 而可求其它的边和角。(要注意可能有两解) 3 2 sin A 2
0
0 0
0 0

0

0

0

1.在?ABC中 (1)已知b ? 12, A ? 300 , B ? 120? , 求a;

(2)已知c ? 10, A ? 45? , C ? 30? , 求b, S ?ABC .
(3)已知A ? 300 , B ? C ? 600 , a ? 2, 求c.

点拨:已知两角和任意一边,求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.

(1)已知b ? 12, A ? 30 , B ? 120 , 求a;
0 ?

a b 解: ) ? (1 ? , sin A sin B b sin A 12 sin 300 ?a ? ? sin B sin 1200

?4 3

()已知c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求b, S?ABC . 2
? ?

b c 解: ? ? , sin B sin C
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 180? ? (45? ? 30? ) ? 105? ,
c ? si nB 10si n105 ?b ? ? ? 5( 6 ? ? si nC si n30 1 S ?ABC ? bc sin A 2
?

2)

1 ? ? 5( 6 ? 2 ) ? 10 sin 45 ? 2 ? 25( 3 ? 1)

(3)已知A ? 30? , B ? C ? 60? , a ? 2, 求c.
解:

? A ? 30 , B ? C ? 60
?

?

? B ? C ? 150? ?C ? 45?

a c 又? ? , sin A sin C

a ? sin C 2 sin 45 ?c ? ? ?2 2 ? sin A sin 30
?

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;
(2)已知a ? 2 3, b ? 2 2 , B ? 45? , 求A。

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 1200 , 解这个三角形.

点拨:已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;

b c 解: ? , sin B sin C

c sinB 1 ? sin60 1 ? sinC ? ? ? b 2 3
?

? b ? c, B ? 60? ,? C ? B, C为锐角, C ? 30?,A ? 90?

?a ?

c ?b ? 2
2 2

(2)已知a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? , 求A.
a sin B 2 3 sin45? 3 解: A ? sin ? ? 2 b 2 2 ? a ? b,? A ? C (大边对大角 )

? A ? 60? 或120?

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 120? , 解这个三角形.
b sin A 28 s i n120? 解: sin B ? ? ? a 20
?

? 本题无解 .

7 3 ?1 10

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( C )

A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
?
? B、 6

B、3:2:1
D、2:
2? C、 或 3 3
2 2

3 :1

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=( C )
?
3

? 5? D、 或 6 6

练习3.在?ABC中, 若 sin A ? sin B ? sin C , 则?ABC的形状是    ( B)
2

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等腰直角三角形

D、不能确定

5.探究课题引入时问题(2)的解决方法
B

c

A

?

?

b

C

bsinβ AB = sin(α + β)

小结: ? 正弦定理 ? 主要应用

a b c ? ? sin A sin B sin C

(1) 已知两角及任意一边,可以求出其他两边 和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,可以求出三 角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、 无解)

课后.基础练习 题1.

(1)在?ABC中,已知 A ? 450 , a ? 2, b ? 2, 求B
B=300

10 3 (2)在?ABC中,已知A ? 60 , a ? 4, b ? , 求B 3
0

无解

课后.基础练习 题2.
(1)在?ABC中,已知a ? 2 2 , b ? 2 3,A ? 450 , 有两解
。 则B ? ? ? 60。 或120



有一解 ? 2 3,A ? 450 , (2)在?ABC中,已知a ? 2 6 , b
则B ? ? ? 30。

无 ,b (3)在?ABC中,已知a ? 2 2解? 2 3,A ? 120 ,
0

则B ? ? ? 无解
练习1 练习2

学习延伸:
工人师傅的一个三角形的模型坏了,只 剩下如右图所示的部分, ∠A=45°,∠B=60°,AB长为1m,想修 好这个零件,但他不知道AC和BC的长 度是多少好去截料,你能帮师傅这个忙 吗?”(结果保留两个有效数字).
解:利用三角形内角和定理, ∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75° 有正弦定理 a b c

?

sin A

?

sin B

?

c ? sin B 1? sin 60? ∴b= ? sin C sin 75?

≈0.90

c ? sin A 1? sin 45? ? a= ≈0.73 sin C sin 75?

sin C

练习:

(1)在?ABC 中,一定成立的等式是( C )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A
(2)在?ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形 (3)书本:P4
a A cos 2 ? b B cos 2

B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A
? c C cos 2

,则 ?ABC 是( D )

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

练习:

1.下列判断中正确的是( B ) A.a ? 7,b ? 14,A ? 30?,有两解 B.a ? 30,b ? 25,A ? 150?,有一解 C.a ? 6,b ? 9,A ? 45?, 有两解 D.b ? 9,c ? 10,B ? 60?,无解
(二)思考:三角形的面积和它的元素之间有什么联系?

CD ? a sin B

? S ?ABC

1 1 ? AB ? CD ? ac sin B 2 2
a

C

1 同 理 : ?ABC ? ab si nC; S 2 1       ?ABC ? bc si n A. S 2

b

B

c D

A

正弦定理:在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比 相等.

a b c   ? ? ?? sin A sin B sin C

设△ABC的外接圆的半径为R,如图 所示,∠A=∠D

C

a
b
A O B D

a a ? ? ? CD ? 2 R sin A sin D

b c ? ? 2R 同理 : sin B sin C

c

a b c 所以, ? ? ? 2R sin A sin B sin C

A

A C O b B` B b =2R sinB

A

O
B

b

C
B

O

b

C

B`

a b c = = =2R. sinA sinB sinC

练习:
a b c ? ? 2.在△ABC 中, sin A sin B sin C ? k ,则 k 为(

A )

A.2R

B.R

C.4R

1 D. 2

R(R 为△ABC 外接圆半径)

? 3.△ABC 中,sin2A=sin2B+sin2C,则△ABC 为(
A.直角三角形? B.等腰直角三角形? C.等边三角形 D.等腰三角形

A )

小结:
(一)解三角形时解的情况:
①当A为锐角时;②当A为直角或钝角时

(二)三角形面积和它 的元素之间的关系 1 1 1 S ? a ? b sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

a b c (三) ? ? ? 2R sin A sin B sin C

变式:a:b:c=sinA:sinB:sinC
a 2 sin A cos B 练习:在?ABC中,若 2 ? , b cos A sin B 判断?ABC的形状。

作业:
(1)课本P10:B组 第2题
(2)补充:在?ABC中,以知b ? 12,A ? 30?,B ? 45?, 解这个三角形,并求出 它的外接圆半径和三角 形面积。

正弦定理

例题2:为测小岛C的位置,选择 ,B观测站观测, A 测得AB ? 50m,A ? 45 ,B ? 60 ,
。 。

求观测站A,B到小岛C的距离。 解: A ? 45。 B ? 60。 ? , ?C ? 75。
由正弦定理,有 AB BC ? sin C sin A
45。

C

A

A 60 50 BC 50m 即 ? ,得BC ? 50 3 ? 1 ( ) B 6? 2 2 4 2 AC AB AC 50 ? ? 得 ? , AC ? 75 2 ? 25 6 sin B sin C 3 6? 2


例题1

例题2

2

4

正弦定理
(1)在?ABC中,已知b ? 12, A ? 30 ,
0

A b

B ? 120 , 则a ? ? ? 4 3
0

c
B
? ?

C

a

A

(2)在?ABC中,AD为?A的平分线,请用 BD AB 正弦定理证明: ? DC AC
AB BD 在?ABD中, ? sin ? sin ? BD AB AC DC ? DC ? AC 在?ACD中, ? sin ? sin ?
B

?
D
C


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