正弦定理第一课时(人教B版必修5)

1.1.1 正弦定理第一课时 1.(2011 年开封高二检测)在△ABC 中,∠A=45° ,∠B=60° ,a=2,则 b 等于( A. 6 C. 3 B. 2 D.2 6

)

a b asinB 解析:选 A.应用正弦定理得: = ,求得 b= = 6. sinA sinB sinA 2.在△ABC 中,已知 a=8,B=60° ,C=75° ,则 b 等于( A.4 2 C.4 6 B.4 3 32 D. 3 )

asinB 解析:选 C.A=45° ,由正弦定理得 b= =4 6. sinA 4 3 3.在△ABC 中,∠B=45° ,c=2 2,b= ,则∠A 的大小为( 3 A.15° B.75° C.105° D.75° 15° 或 解析:选 D.∵∠B 为锐角,又 csinB<b<c,∴三角形有两解. π 4. 在△ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、 c, a=1, 角 B、 b、 若 c= 3, C= , A=________. 则 3 a c 解析:由正弦定理得: = , sinA sinC a· sinC 1 所以 sinA= = . c 2 π π 又∵a<c,∴A<C= ,∴A= . 3 6 π 答案: 6 5.如图所示,货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到 目标方向线的水平转角)为 140° 的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° ,航行半小时后船到达 C 点,观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货 轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少? 1 解:在△ABC 中,BC=40× =20, 2 ∠ABC=140° -110° =30° , ∠ACB=(180° -140° )+65° =105° , 所以∠A=180° -(30° +105° )=45° , 由正弦定理得 BC· sin∠ABC AC= sinA 20sin30° = =10 2(km). sin45° 即货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是 10 2 km. )

1

1.在△ABC 中,一定成立的等式是( ) A.asinA=bsinB B.asinB=bsinA C.acosA=bcosB D.acosB=bcosA 解析:选 B.由正弦定理得: a b = ,故 asinB=bsinA. sinA sinB

2.(2009 年高考广东卷)已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c.若 a=c= 6 + 2,且∠A=75° ,则 b=( ) A.2 B. 6- 2 C.4-2 3 D.4+2 3 解析:选 A.sinA=sin75° =sin(30° +45° )=sin30° cos45° +cos30° sin45° = 由 a=c= 6+ 2可知,∠C=75° , 1 所以∠B=30° ,sinB= , 2 由正弦定理得 2+ 6 1 a b= · sinB= × =2,故选 A. sinA 2+ 6 2 4 3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A=60° ,a=4 3,b=4 2,则角 B 为( ) A.45° 135° B.135° 或 C.45° D.以上答案都不对 解析:选 C.由正弦定理 a b bsinA 2 = 得:sinB= = ,又∵a>b,∴B<60° ,∴B=45° . sinA sinB a 2 2+ 6 . 4

π 4.(2011 年青岛高二检测)在△ABC 中,∠A= ,BC=3,则△ABC 的两边 AC+AB 的取 3 值范围是( ) B.(2,4 3) D.(3,6] A.[3 3,6] C.(3 3,4 3]

BC· sinB 3· sinB 解析:选 D.在△ABC 中,AC= = = sinA π sin 3 2 3sinB,AB=2 3sinC, ∴AC+AB=2 3sinB+2 3sinC=2 3(sinB+sinC) 2π =2 3[sinB+sin( -B)] 3 =2 3(sinB+sin 2π 2π cosB-cos sinB) 3 3

3 3 =2 3( sinB+ cosB) 2 2 =2 3× 3(
2

3 1 π sinB+ cosB)=6sin(B+ ), 2 2 6

2π π π 5π π 1 π ∵0<B< ,∴ <B+ < ,∴sin(B+ )∈( ,1],∴AC+AB=6sin(B+ )∈(3,6]. 3 6 6 6 6 2 6 5.在△ABC 中,∠B=30° ,∠C=60° ,a=1,则最短边的边长是( A. 6 3 B. D. 6 2 3 2 )

1 C. 2

a b asinB 1 解析:选 C.由 = 得,b= = , sinA sinB sinA 2 ∵∠B 最小,∴最小边是 b. 6.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 A=105° ,B=45° ,b= 2,则 c=( ) A.1 C.2 1 B. 2 1 D. 4

b c 2× 30° sin 解析:选 A.C=180° -105° -45° =30° ,由 = 得 c= =1. sinB sinC sin45° 4 3 7.在△ABC 中,已知 a= ,b=4,A=30° ,则 sinB=________. 3 解析:由正弦定理得 a b = sinA sinB

1 4× 2 bsinA 3 ? sinB= = = . a 2 4 3 3 答案: 3 2

8. (2011 年盐城高二检测)在△ABC 中, 已知∠A=30° ∠B=120° b=12, a+c=________. , , 则 解析:C=180° -120° -30° =30° ,∴a=c, 由 a b 12× sin30° = 得,a= =4 3, sinA sinB sin120°

∴a+c=8 3. 答案:8 3 9.在△ABC 中,b=4 3,C=30° ,c=2,则此三角形有________组解. 1 解析:∵bsinC=4 3× =2 3且 c=2, 2 ∴c<bsinC,∴此三角形无解. 答案:0 C C 1 10.在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,若 a=2 3,sin cos = ,sin Bsin C 2 2 4 A =cos2 ,求 A、B 及 b、c. 2

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C C 1 1 解:由 sin cos = ,得 sinC= , 2 2 4 2 π 5π 又 C∈(0,π),所以 C= 或 C= . 6 6 A 由 sin Bsin C=cos2 ,得 2 1 sin Bsin C= [1-cos(B+C)], 2 即 2sin Bsin C=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C+cos(B+C)=1,变形得 cos Bcos C+sin Bsin C=1, π 5π 即 cos(B-C)=1,所以 B=C= ,B=C= (舍去), 6 6 2π A=π-(B+C)= . 3 a b c 由正弦定理 = = ,得 sin A sin B sin C 1 2 sin B b=c=a =2 3× =2. sin A 3 2 2π π 故 A= ,B= ,b=c=2. 3 6 11.(2009 年高考四川卷)在△ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、 3 10 c,且 cos 2A= ,sin B= . 5 10 (1)求 A+B 的值; (2)若 a-b= 2-1,求 a,b,c 的值. 解:(1)∵A、B 为锐角,sin B= 3 10 ∴cos B= 1-sin2B= . 10 3 5 2 5 又 cos 2A=1-2sin2A= ,∴sinA= ,cos A= , 5 5 5 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 2 5 3 10 5 10 2 = × - × = . 5 10 5 10 2 π 又 0<A+B<π,∴A+B= . 4 3π 2 (2)由(1)知,C= ,∴sin C= . 4 2 a b c 由正弦定理: = = 得 sin A sin B sin C 5a= 10b= 2c,即 a= 2b,c= 5b.
4

10 , 10

∵a-b= 2-1,∴ 2b-b= 2-1,∴b=1. ∴a= 2,c= 5. 12.在△ABC 中,三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 2B=A+C,a+ 2b =2c,求 sinC 的值. 解:因为 2B=A+C,A+B+C=180° , 所以 B=60° ,A+C=120° . 所以 0° <A<120° <C<120° ,0° . 又因为 a+ 2b=2c,所以 sinA+ 2sinB=2sinC, 所以 sin(120° -C)+ 2sin60° =2sinC, 所以 3sinC-cosC= 2,即 sin(C-30° )= 又因为 0° <C<120° sin(C-30° 且 )>0, 所以 0° <C-30° <90° . 所以 C-30° =45° ,C=75° . 所以 sinC=sin75° = 6+ 2 . 4 2 . 2

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