【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步-2.2-2.2.2_图文

阶 段 1

阶 段 3

2.2.2

直线与圆的位置关系
学 业 分 层 测 评

阶 段 2

1.掌握直线与圆的位置关系的两种判定方法.(重点) 2.能利用圆心到直线的距离、半弦长、圆的半径三者之间的关系,解有关 弦长的问题.(重点) 3.理解一元二次方程根的判定及根与系数关系,并能利用它们解一些简单 的直线与圆的关系问题.(难点)

[ 基础· 初探] 教材整理 直线与圆的位置关系及判断方法

阅读教材 P112~P113 例 1 上面的部分,完成下列问题. 直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系 及判断

位置关系 公共点个数 判 几何法: 设圆心到直线 定 方 法 的距离 |Aa+Bb+C| d= A2+B2

相交

相切

相离

两 个 _______

一 个 _______

零 _________ 个

< r d_______

= d________ r

> r d_______

位置关系 判 定 方 法 代数法:由
? ?Ax+By+C=0, ? 2 2 2 ? ??x-a? +?y-b? =r

相交

相切

相离

> Δ_______0

= Δ_______0

< Δ______0

消元得到一元二次方 程,判别式为 Δ

位置关系

相交

相切

相离

图形

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交.(×) (2)若直线与圆相交,则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必 有解.(√) (3)若圆心到直线的距离大于半径,则直线与圆联立消元后的一元二次方程 无解.(√)

2.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置 关系是________.

1 【解析】 由题意知点在圆外, 则 a +b >1, 圆心到直线的距离 d= 2 a +b2
2 2

<1,故直线与圆相交.
【答案】 相交

3.直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m(m>0)相切,则 m 的值为________.

|m| 【解析】 由直线与圆的距离 d= = m,解得 m=2. 2 【答案】 2

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

直线与圆的位置关系的判断

已知直线 y=2x+1 和圆 x2+y2=4,试判断直线和圆的位置关系.
【精彩点拨】 法一:利用代数法;法二:利用几何法;法三:利用直线

方程(此题直线过定点(0,1)).

【自主解答】

? ?y=2x+1, 法一:∵? 2 2 ? ?x +y =4,

∴5x2+4x-3=0. 判别式 Δ=42-4×5×(-3)=76>0. ∴直线与圆相交.

法二:∵x2+y2=4, ∴圆心为(0,0),半径 r=2. 又∵y=2x+1, |2×0-0+1| 5 ∴圆心到直线的距离 d= = 5 <2=r. 2 2 2 +1 ∴直线与圆相交. 法三:由题意知,直线过定点(0,1). 而 02+12=1<4. 所以点(0,1)在圆内,从而直线与圆相交.

直线与圆位置关系的判定方法

[ 再练一题] 1.已知直线方程 mx-y-m-1=0,圆的方程 x2+y2-4x-2y+1=0.当 m 为何值时,圆与直线 (1)有两个公共点; (2)只有一个公共点; (3)没有公共点.

【解】

法一:将直线 mx-y-m-1=0 代入圆的方程化简整理得,

(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. ∵Δ=4m(3m+4), 4 (1)当 Δ>0,即 m>0 或 m<-3时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 4 (2)当 Δ=0,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公 共点; 4 (3)当 Δ<0,即-3<m<0 时, 直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

法二:已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4, 即圆心为 C(2,1),半径 r=2. 圆心 C(2,1)到直线 mx-y-m-1=0 的距离 |2m-1-m-1| |m-2| d= = 2 2. 1+m 1+m

4 (1)当 d<2,即 m>0 或 m<-3时,直线与圆相交,即直线与圆有两个公共点; 4 (2)当 d=2,即 m=0 或 m=-3时,直线与圆相切,即直线与圆只有一个公 共点; 4 (3)当 d>2,即-3<m<0 时,直线与圆相离,即直线与圆没有公共点.

直线与圆的相交弦问题

(1)(2014· 浙江高考改编)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y +2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是__________. (2)已知过点(2,5)的直线 l 被圆 C:x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 4,则直 线 l 的方程为__________. 【导学号:60420085】

【精彩点拨】

(1)将圆的一般方程化为标准方程,利用弦心距、半弦长和

半径构成直角三角形求解.(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成 的直角三角形得关于斜率的方程求解,验证斜率不存在的情况.

【自主解答】

(1)将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所

|-1+1+2| 以圆心为(-1,1), 半径 r= 2-a, 圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d= 2 = 2,故 r2-d2=4,即 2-a-2=4,所以 a=-4.

(2)当直线斜率不存在时,x-2=0 满足题意; 当直线斜率存在时,设方程为 y-5=k(x-2), 即 kx-y-2k+5=0. 圆 C:x2+y2-2x-4y=0 可化为(x-1)2+(y-2)2=5,因为直线 l 被圆 C: x2+y2-2x-4y=0 截得的弦长为 4,

所以 2 +7=0.

?|k-2-2k+5|? ?2 5-? 2 ? ? =4,所以 k +1 ? ?

4 k=3,所以直线 l 的方程为 4x-3y

综上所述,直线 l 的方程为 x-2=0 或 4x-3y+7=0.
【答案】 (1)-4 (2)x-2=0 或 4x-3y+7=0

解决与圆有关的弦长问题时,多采用几何法,即在弦心距、半弦长和半径 构成的直角三角形中求解.

[ 再练一题] 2.过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-2)2=4 的弦,其中最短的弦长为________.

【解析】 最短的弦为过点(3,1)且与圆心(2,2)和点(3,1)连线的垂直的弦, 弦长 l=2 4-?3-2?2-?1-2?2=2 2.
【答案】 2 2

[ 探究共研型]

圆的切线问题
探究 1 求过点 P(3,4)的圆 C:x2+y2=25 的切线方程.

【提示】 ∵点 P(3,4)在圆上,∴切点为 P,设切线斜率为 k. 3-0 3 则 k· kPC=-1,∴k=- =-4. 4-0 3 切线方程为 y-4=-4(x-3),即 3x+4y-25=0.

? 5? 探究 2 求过点 Q?-5,2?的圆 x2+y2=25 的切线方程. ? ? ?5? 2 【提示】 ∵(-5) +?2?2>25,∴点 Q 在圆外. ? ?

若所求直线斜率存在,设切线斜率为 k, 5 则切线方程为 y-2=k[ x -( -5) ] , 5 即 kx-y+5k+2=0.

因圆心 C(0,0)到切线的距离等于半径 5, 3 所以 2 =5,∴k=4. k +1 3 15 5 故所求切线方程为4x-y+ 4 +2=0, 即 3x-4y+25=0. 若所求直线斜率不存在. 则直线方程为 x=-5,圆心 C(0,0)到 x=-5 的距离为 5,符合题意. 综上,过点 Q 的切线方程为 x+5=0 或 3x-4y+25=0.
? 5? ?5k+ ? 2? ?

已知圆 C:(x-3)2+(y-1)2=1. (1)过点 A(3,2),求圆的切线方程; (2)过点 B(4,-3),求圆的切线方程.
【精彩点拨】 (1)直线和圆相切,则过圆心和切点的直线与切线垂直.(2)

直线和圆相切,则圆心到直线的距离等于半径.

【自主解答】 ∴A 在圆上.

(1)∵(3-3)2+(2-1)2=1,

由题意知圆心 C(3,1),直线 CA 无斜率, ∴切线斜率为 0, ∴所求切线方程为 y=2.

(2)∵(4-3)2+(-3-1)2=17>1, ∴点 B 在圆外. ①若所求直线的斜率存在,设切线斜率为 k, 则切线方程为 y+3=k(x-4). 因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1, |3k-1-3-4k| 15 所以 =1,解得 k=- 8 . 2 k +1

15 所以切线方程为 y+3=- 8 (x-4), 即 15x+8y-36=0; ②若切线斜率不存在,圆心 C(3,1)到直线 x=4 的距离也为 1,这时直线与 圆也相切,所以另一条切线方程是 x=4. 综上,所求切线方程为 15x+8y-36=0 或 x=4.

过一点的圆的切线方程的求法 1.当点在圆上时,圆心与该点的连线与切线垂直,从而求得切线的斜率, 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.对于填空题可以直接利用以下两个 结论:(1)当点(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上时,切线方程为 x0x+y0y=r2;(2)当点(x0, y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上时,切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 2.若点在圆外时,过这点的切线将有两条,但在设斜率来解题时可能求出 的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.

[ 再练一题] 2 3.已知圆的方程为 x +y =13,它与斜率为-3的直线相切,求该切线的方
2 2

程. 【解】

2 设切线方程为 y=-3x+b,即 2x+3y-3b=0,

|2×0+3×0-3b| 依题意得: = 13, 2 2 2 +3 13 解得 b=±3 . ∴切线方程为 2x+3y+13=0 或 2x+3y-13=0.

[ 构建· 体系]

1.直线 3x+4y+12=0 与圆(x-1)2+(y+1)2=9 的位置关系是________.

|3×1-4×1+12| 11 【解析】 圆心(1,-1)到直线的距离为 = 5 <3, 5 ∴直线与圆相交.
【答案】 相交

2.由点 P(1,3)引圆 x2+y2=9 的切线的长是________.

【解析】 点 P 到原点 O 的距离为 PO= 10,∵r=3, ∴切线长为 10-9=1.
【答案】 1

3.设 A,B 为直线 y=x 与圆 x2+y2=1 的两个交点,则 AB=________. 【解析】 直线 y=x 过圆 x2+y2=1 的圆心 C(0,0),则 AB=2. 【答案】 2

4.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆与直线 x+y+3 =0 相切,则圆 C 的方程为________. 【导学号:60420086】
【解析】 令 y=0,得 x=-1,

所以直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点为(-1,0), 即圆心 C(-1,0). 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径, |-1+0+3| 即 r= = 2, 2 所以圆 C 的方程为(x+1)2+y2=2. 【答案】 (x+1)2+y2=2

5.已知圆 x2+y2=8,定点 P(4,0),问过 P 点的直线的斜率在什么范围内取 值时,这条直线与已知圆:(1)相切,(2)相交,(3)相离? 【解】 设圆心到直线的距离为 d,过 P 点的直线斜率为 k,由题意,
知斜率 k 存在,则其方程为 y=k(x-4), |k· 0-0-4k| 4|k| 则 d= = 2 2. 1+k 1+k

4|k| 2 (1)d=r,即 = 8 ,∴ k =1,∴k=± 1 时,直线与圆相切. 2 1+k 4|k| 2 (2)d<r,即 < 8 ,∴ k <1,即-1<k<1 时, 直线与圆相交. 2 1+k 4|k| 2 (3)d>r,即 > 8 ,∴ k >1,即 k<-1 或 k>1 时,直线与圆相离. 2 1+k

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