1.3.1 函数的最大(小)值教案(人教A版必修1)_图文

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1.3.2 函数的最大(小)值
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. (2)理解函数的最大(小)值是在整个定义域上研究函数. 体会求函数最 值是函数单调性的应用之一. 2.过程与方法 借助函数的单调性,结合函数图象,形成函数最值的概念. 培养应用函数的 单调性求解函数最值问题. 3.情感、态度与价值观 在学生获取知识的过程中培养学生的数形结合思想, 感知数学问题求解途径 与方法,探究的基本技巧,享受成功的快乐. (二)教学重点与难点 重点:应用函数单调性求函数最值;难点:理解函数最值可取性的意义. (三)过程与方法 合作讨论式教学法. 通过师生合作、讨论,在示例分析、探究的过程中,获 得最值的概念. 从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法. (四)教学过程
教学环 节 教学内容 师生互动 设计意图

情境 引入

师:我们高一(5)班最高的男生是谁? 从现实 生:金哲航 问题出发, 师:你是如何得知的呢? 激发学生的 (学生讨论) 学习兴趣, 师引导:在高一(5)班内任选一名男生, 同时为学习 都一定比金哲航同学矮。 接下来的函 师:如果说“我们高一(5)班最高的男 数最值概念 生是姚明”对吗? 做好铺垫 生:不对,他不是我们高一(5)班的男 生

提出 问题

(1) 观察图象, 指出下列图象的最 师生合作回顾增函数、减函数的定义及 高点或最低点, 应用单 图象特征; 调性的定义 2 师生合作定性分析函数 f (x)的图象特征, (1) f ( x) ? x (2) f ( x) ? x 和函数图象 通过图象观察, 明确(2)中函数图象在整个 感知函数的 (2) f ( x) ? x ? 1, x ? ?? 1,2?的图 定义域上有最低点和最高点, 从而认识到 最小值和最 最低点和最高点的函数值是函数的最小 象呢,有没有最高点或最低点? 大值. 值和最大值. (3)你是怎样理解最高点的?

形成 函数最大值概念:
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师:对于函数 y = f (x)、f (x0)为其最大值.

由实例

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即 f (x0)≤ f (x)意味着什么? 生:f (x0)为函数的最大值,必须满足: ①x0 ? 定义域; ②f (x0) ? 值域; ③f (x0)是整个定义域上最大的函数值. 共性抽象获 得最大值概 念.

概念 一般地,设函数 y = f (x)的定义域为
I. 如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x ? I 都有 f (x) ≤M. (2)存在 x0 ? I,使得 f (x0) = M. 那么,称 M 是函数 y = f (x) 的最大 值.

师:怎样理解最大值. 函数最小值概念. 生: 最大值是特别的函数值, 具备存在性、 一般地:设函数 y = f (x)的定义域为 确定性. 由最大值定 形成 I,如果存在实数 M,满足: 师:你能依照函数最大值的定义,得出函 义 类 比 最 小 概念 (1)对于任意 x ? I,都有 f (x)≥M. 数的最小值的定义吗? 值定义. (2)存在 x0 ? I,使得 f (x0) = M. 师生合作,学生口述,老师评析并板 那么, M 是函数 y = f (x)的最小值. 称 书定义.
]

例 1 “菊花”烟花是最壮观的 烟花之一. 制造时一般是期望在它 达到最高点时爆裂. 如果烟花距地 面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系 为 h (t) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18,那么 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最 佳时刻?这时距地面的高度是多少 (精确到 1m)?

应用 举例

师生合作讨论例 1、 2 的解法思想,自 学 与 指 导 例 并由学生独立完成训练题 1、2、老师点 相 结 合 , 提 评. 阐述解题思想,板书解题过程. 高学生的学 2 例 1 解:作出函数 h(t) = – 4.9t + 习能力. 14.7t + 18 的图象(如图). 显然,函数图象 (1)以实际 的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横 问 题 考 查 了 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻, 纵坐标就 学 生 灵 活 应 是这时距地面的高度. 用数学知识 于实践的能 力, “逐 可见 渐增强函数 的 应 用 意 识”应及早 由二次函数的知识,对于函数 h (t) = 实现. – 4.9t 2 + 14.7t +18,t? [0,4]我们有: 当 t =? 值h=
14.7 =1.5 时, 函数有最大 2 ? ( ?4.9)

例 2 已知函数 y =

2 (x ? [2,6]), x ?1

4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 2 ≈29. 4 ? (?4.9)

求函数的最大值和最小值.

于是,烟花冲出后 1. 5 s 是它爆裂的 最佳时刻,这时距地面的高度约为 29m. 进一步 固化求最值 2 6])的图象可知,函数 y = 在区间[2, x ?1 的方法及步 骤. 2 6]上递减. 所以,函数 y = 在区间[2, x ?1 6]的两个端点上分别取得最大值和最小 值. 讲练结 合,形成技 解:设 x1,x2 是区间[2,6]上的任意 能固化技能. 例 2 分析:由函数 y =
2 (x ? [2, x ?1

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两个实数,且 x1<x2,则
2 2 ? f (x1) – f (x2) = x1 ? 1 x2 ? 1

深化概念能 力培养

= =

2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

由 2≤x1<x2≤6, x2 –x1>0, 1–1) 得 (x (x2–1)>0, (2)对函数 于是 f (x1) – f (x2)>0, 关系式的处 即 f (x1)>f (x2). 理需要有扎 实的基本功 2 所以,函数 y = 是区间[2,6]上 x ?1 才能顺利完 成,可见从 2 是减函数. 因此, 函数 y = 在区间[2, x ?1 不同角度不 6]的两个端点上分别取得最大值与最小 同 方 向 去 思 训练题 1: f (x)是定义在区间[–6,值,即在 x =2 时取得的最大值,最大值 考 问 题 在 教 设 11]上的函数. 如果 f (x) 在区间 是 2,在 x = 6 时的最小值,最小值是 0.4. 学 中 尤 为 重 [–6,–2]上递减,在区间[–2,11] 师:投影训练题 1、2. 要,并且应 上递增, 画出 f (x) 的一个大致的图 生:学生相互讨论合作交流完成. 指导学生养 象, 从图象上可以发现 f (–2)是函数 训练题 1 答案:最小值. 成多分析失 f (x)的一个 . 训练题 2 解:∵对称轴 x = 1, 败原因,多 训练题 2: (1)当 1≥t +2 即 t≤–1 时, 总结成功经 2 2 f (x)min = f (t +2) = t +2t –3. 已知函数 f (x) = x – 2x – 3,若 验的好习惯. x ? [t, +2]时, t 求函数 f (x)的最小值. (2)当 t≤1<t+2,即–1<t≤1 时, f (x)min= f (1) = – 4. (3)当 1<t,即 t>1 时, f (x)min = f (t) = t 2 –2t –3. 综上可得

f ( x) nin

?t 2 ? 2t ? 3, t ? ?1 ? ? ?? 4,?1 ? t ? 1 ?t 2 ? 2t ? 3, t ? 1 ?
培养学生的 概括能力

归纳 2.应用图象和单调性求最值的一般 师生交流合作总结、归纳. 总结
方法及步骤.

1.最值的概念

课后 作业

P39 习题 1.3(A 组)3、5, (B 组)1;

学生独立完成

能力培养

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备选例题
例 1 已知函数 f (x ) =

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x2 ? 2 x ? a ,x∈[1,+∞). x

1 (Ⅰ)当 a = 时,求函数 f (x)的最小值; 2 (Ⅱ)若对任意 x∈[1,+∞),f (x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

分析:对于(1) ,将 f (x)变形为 f (x) = x +2 + 于(2) ,运用等价转化 进而解出 a 的范围.
1 1 解: (1)当 a = 时,f (x) = x + +2 2 2x

a 1 =x+ +2,然后利用单调性求解. 对 x 2x

x2 ? 2 x ? a 2 ? 0 (x ?[1,+∞)恒成立,等价于 x + 2x + a>0 恒成立, x

因为 f (x)在区间 [1,+∞)上为增函数,
7 所以 f (x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f (1) = . 2

(2)解法一:在区间[1,+∞)上,f (x) =

x2 ? 2 x ? a 2 ? 0 恒成立 ? x + 2x + a>0 恒成立. x

设 y = x2 +2x+a,∵(x + 1) 2 + a –1 在[1,+∞)上递增. ∴当 x =1 时,ymin =3 + a,于是当且仅且 ymin =3 + a>0 时,函数 f (x)>0 恒成立, ∴a>–3. 解法二:f (x) = x +
a +2 x

x[1,+∞).

当 a≥0 时, 函数 f (x)的值恒为正; a<0 时, 当 函数 f (x)递增. 故当 x =1 时, (x)min = 3+a. f 于是当且仅当 f (x)min =3 +a>0 时,函数 f (x)>0 恒成立. 故 a>–3. 例 2 已知函数 f (x)对任意 x, R, y? 总有 f (x) + f ( y) = f (x + y), 且当 x>0 时, (x)<0, f f (1) = ?
2 . 3

(1)求证 f (x)是 R 上的减函数; (2)求 f (x)在[–3,3]上的最大值和最小值. 分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意特殊值的应用. 证明: (1)令 x = y =0,f (0) = 0,令 x = – y 可得: f (–x) = – f (x), 在 R 上任取 x1>x2,则 f (x1) – f (x2) = f (x1) + f (– x2) = f (x1–x2). ∵x1>x2,∴x1–x2>0. 又∵x>0 时,f (x)<0,∴f (x1–x2)<0, 即 f (x1) – f (x2)>0. 由定义可知 f (x)在 R 上为单调递减函数. (2)∵f (x)在 R 上是减函数,∴f (x)在[–3,3]上也是减函数, ∴f (–3)最大,f (3)最小. f (3) = f (2) + f (1) = f (1) + f (1) + f (1) =3×( ?
2 ) = –2. 3

∴f (–3) = – f (3) =2.

即 f (–3)在[–3,3]上最大值为 2,最小值为–2.

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