【广东省深圳市2016届高三第二次调研考试数学(理)试题 Word版含解析

2016 年深圳市高三年级第二次调研考试

数学(理科)
1.复数 z 满足 (1 ? i) z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( A. 2 【答案】D 【解析】 z ? B. )

2 2

C. 2

D. 1

1? i 1? i ? ?1. 1? i 1? i


2.设 A, B 是两个集合,则“ x ? A ”是“ x ? A ? B ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B 3.若 cos( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) ? ( 2 3 4 2 4 2 A. ? B. C. 9 9

?

?

7 9

D.

7 9

【答案】C 【解析】∵ cos(

?

1 1 ? ? ) ? ,∴ sin ? ? . 2 3 3
2

∴ cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? 2sin ? ? 1 ? ?

7 . 9


? x ? y ? 1 ? 0, y ?1 ? 4.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0, 则目标函数 z ? 的最大值为( x?3 ?4 x ? y ? 1 ? 0. ?
A.

1 4

B.

2 3

C.

3 2

D. 2

【答案】C 【解析】目标函数

y ?1 表示为可行域内的 x?3

y
A (1, 5)

点 ( x , y) 和点 (?3, ? 1) 连线的直线的斜率, 由图可知: 当其经过点 A(1,5) 时,直线的斜率最大, 即 zmax ?
1

y ?1 5 ?1 3 ? ? . x ? 3 1? 3 2

P ( 3, -1)

O 1

x

5.如图所示的流程图中,若输入 a, b, c 的值分别是 2, 4,5 ,则输出的 x ? (
开始 输入 a, b, c 是



a> b且a> c





b> c


x= l ga? l gb

x= l gb l ga
输出x

x= l ga+ l gc

结束

A. 1

B. 2

C. lg 2

D. 10

【答案】A 【解析】由题意可知 a ? b ? c , ∴ x ? lg 2 ? lg5 ? 1 . 6.已知函数 f ( x ) 的图象是由函数 g ( x) ? cos x 的图象经过如下变换得到:先将 g ( x) 的图 象向右平移

? 个单位长度, 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半, 纵坐标不变. 则 3
) C. x ?

函数 f ( x ) 的一条对称轴方程为( A. x ?

?
6

B. x ?

5? 12

?
3

D. x ?

7? 12

【答案】D
3 y ? cos( x ? 【解析】 y ? cos x ??????

向右? 个单位

?
3

所有点的纵坐标不变

)

? 横坐标变为原来的一半 ??????? ? y ? cos(2 x ? ) . 纵坐标不变 3
∴ f ( x) ? cos(2 x ? 对称轴方程为 2 x ? 即x?

?

?

3

).
? k? , k ? Z ,

1 ? k? ? , k ? Z ,故选 A. 2 6

3

7.以直线 y ? ? 3x 为渐近线的双曲线的离心率为为( A. 2 【答案】C 【解析】∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,



B.

2 3 3

C. 2 或

2 3 3

D. 3

b a 4 ? 3 ,或 ? 3 .∴ c 2 ? 4a 2 ,或 c 2 ? a 2 . a b 3 2 3. ∴ e ? 2 ,或 e ? 3 8.2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排, 则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率是
∴ ( A. )

3 10

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【答案】B 【解析】 P ?
2 2 (C32 A2 ) ? A2 ? A32 3 ? . 5 A5 5

9. 如图, 正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点, 若 AC ? ? AM ? ? BN , 则 ? ? ? ?( A. 2 C.

??? ?

???? ?

??? ?



6 5

8 3 8 D. 5
B.

D

N

C M

B A ??? ? ???? ? ??? ? 【解析】∵ AC ? ? AM ? ? BN ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? ? ( AB ? BM ) ? ? ( BC ? CN ) ??? ? 1 ???? ???? 1 ??? ? ? ? ( AB ? AD) ? ? ( AD ? AB ) 2 2 ??? ? ???? 1 1 ? (? ? ? ) AB ? ( ? ? ? ) AD , 2 2 6 1 ? ? 8 ?? ? 5 ?? ? 2 ? ? 1 ∴? , 解得 ? ,? ? ? ? . 1 2 5 ? ? ? ? ?1 ?? ? ?2 5 ? ?? ln x ? x ,?????x ? 0, 1 1 10 .已知函数 f ( x) ? ? 则关于 m 的不等式 f ( ) ? ln ? 2 的解集为 m 2 ?? ln(? x) ? x, x ? 0.
【答案】D ( ) A. (0, )

1 2

B. (0, 2)

C. ( ?

1 1 , 0) ? (0, ) 2 2

D. (?2, 0) ? (0, 2)

【答案】C 【解析】函数 f ( x ) 的定义域 (??,0) ? (0, ??) 关于原点对称, ∵ x ? 0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? ? ln x ? x ? f ( x) , 同理: f (? x) ? f ( x) ,∴ f ( x ) 为偶函数.

∵ f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数,

1 ?2, 2 1 1 1 ∴当 m ? 0 时,由 f ( ) ? ln ? 2 ,得 f ( ) ? f (2) , m 2 m 1 1 ∴ ? 2 ,解得 0 ? m ? . 2 m 1 根据偶函数的性质知当 m ? 0 时,得 ? ? m ? 0 . 2 11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为
且 f (2) ? ? ln 2 ? 2 ? ln ( A. 48 ) B. 16 C. 32 D. 16 5

【答案】D 【解析】该几何体的直观图,如图:

P

S ? 4? 2 5 ? 8 5 , h ?

6 5, 5
A

1 1 6 5 ? 16 . ∴ V ? Sh ? ? 8 5 ? 3 3 5

D C B

12. 设定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x ) 满足 xf ?( x) ? f ( x) ? x ln x ,f ( ) ? A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,也无极小值 【答案】D 【解析】 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , ∵ xf ?( x) ? f ( x) ? x ln x ,

1 e

1 , 则 f ( x) ( e



xf ?( x) ? f ( x) ln x ? , x2 x f ( x) ln x f ( x) 1 2 )? ? ? ln x ? c , ∴( ,∴ x x x 2 1 2 ∴ f ( x) ? x ln x ? cx . 2 1 1 21 1 1 1 ln ? c ? ? ,∴ c ? . ∵ f( )? e 2e e e e 2 1 2 1 1 2 ∴ f ?( x) ? ln x ? ln x ? ? (ln x ? 1) ? 0 , 2 2 2
∴ ∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增, ∴ f ( x ) 在 (0, ??) 上既无极大值也无极小值. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分

13.高为 ? ,体积为 ? 的圆柱的侧面展开图的周长为
2



【答案】 6? 【解析】∵ V ? ? r h ? ? r ? ? ,∴ r ? 1 , ∴侧面展开图的周长为 2(2? r ? ? ) ? 6? .
2 2 2 2

14.过点 P(3,1) 的直线 l 与圆 C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 相交于 A, B 两点,当弦 AB 的长取 最小值时,直线 l 的倾斜角等于 . 【答案】

? 4

【解析】∵ AB 的长取最小值时, AB 垂直于 PC , ∴ k AB ? kPC ? ?1 ,即 k AB ? (?1) ? ?1 , ∴ k AB ? 1 ,直线 l 的倾斜角等于 15.在 (2 ? 【答案】 180
4 【解析】含有 x 项为 C8 ? 2 ? ( x ) (?
2 2 8

? . 4

x?

1 x
2016

)10 展开式中, x 4 项的系数为____________.(结果用数值表示) 1 x
2016

)0 ? 180 x 4 . ]10 ,

另解: (2 ?

x?
r

1 x
2016 10 ? r

)10 ? [2 ? ( x ? 1 x
2016

1 x
2016

∴通项 Tr ?1 ? C10 2

( x?

)r ,
1 ( r ?k )

( x?

x

) r 的通项 Tk ?1 ? Crk x 2 2016

1

(?1)k x?2016k ? (?1)k Crk x 2

1

( r ?4033k )

?1 ? (r ? 4033k ) ? 4 ∴ ?2 ,∴ r ? 8 . ? ?0 ? r ? 10
8 2 ∴ x 项的系数为 C10 2 ? 180 .
4

16. 如图, 在凸四边形 ABCD 中,AB ? 1 ,BC ? 3 ,AC ? CD ,AC ? CD . 当 ?ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为_________. 【答案】D 【解析】设 AC ? CD ? x ,在 ?ABC 中,

A D B C

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos ?ABC , 2 ∴ x ? 1 ? 3 ? 2 3 cos ?ABC , AC AB sin ?ABC ? ∵ ,∴ sin ?ACB ? . sin ?ABC sin ?ACB x 在 ?BCD 中,

BD ? 32 ? x 2 ? 2 3x cos( ? ?ACB) ? 32 ? x 2 ? 2 3x sin ?ACB , 2
? 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 cos ?ABC ? 2 3 sin ?ABC ? 7 ? 2 6 sin(?ABC ? ) , 4

?

?

∵ ?ABC ? (0, ? ) ,∴ sin(?ABC ? ∴ BD max ?

?
4

) 可以取到最大值 1 ,

7 ? 2 6 ? 6 ? 1.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 . 17. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , an 是 Sn 和 1 的等差中项. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn . 【解析】 (1)由题意得: Sn ? 1 ? 2an , ①

当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2(an?1 ? 1) ,② ①-②得 an ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ,∴ 由①式中令 n ? 1 ,可得 a1 ? 1 , ∴数列 {an } 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? 2n?1 . (2)由 anbn ? n ? 2n?1 得

an ? 2. an ?1

Tn ? a1 ? b1 ? a2 ? b2 ? a3 ? b3 ? ? ? an ? bn
? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1

2Tn ?

1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n

?Tn ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ?
∴ Tn ? (n ?1) ? 2n ? 1.

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n 1? 2

18.(本小题满分 12 分) 某市在以对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等 级,其中不小于 80 分为“优秀” ,小于 60 分为“不合格” ,其它为“合格” . (1)某校高一年级有男生 500 人, 女生 4000 人, 为了解性别对该综合素质评价结果的影 响,采用分层抽样的方法从高一学生中抽取了 45 名学生的综合素质评价结果,其各个等级 的频数统计如下表: 等级 优秀 合格 不合格 x 15 5 男生(人) y 15 3 女生(人) 根据表中统计的数据填写下面 2 ? 2 列联表,并判断是否有 90% 的把握认为“综合素 质评介测评结果为优秀与性别有关”? 男生 优秀 非优秀 总计 (2)以(1)中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发 生的概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取 3 人. (i)求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率; (ii)记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求 X 的数学期望. 参考公式: K ?
2

女生

总计

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15
2.072

临界值表:

P(K 2 ? k0 )
k0

0.10
2.706

0.05

0.025

0.010

3.841 5.024 6.635 m 45 ? , m ? 25 . 【解析】 (1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 500 500 ? 400 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5, y ? 20 ? 18 ? 2

男生 优秀 非优秀 总计 而k ? 15 10 25

女生 15 5 20

总计 30 15 45

45 ? (15 ? 5 ? 10 ?15) 2 9 ? ? 1.125 ? 2.706 30 ?15 ? 25 ? 20 8 ∴没有 90% 的把握认为“测评结果为优秀与性别有关” . 15 ? 15 2 ? ,∴从该市高一学生 (2) (i)由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为 45 3 2 中随机抽取 1 名学生,该生为“优秀”的概率为 . 3 记“所选 3 名学和 g 中恰有 2 人综合素质评价‘优秀’学生”为事件 A ,则事件 A 发 2 2 2 4 2 生的概率为: P ( A) ? C3 ? ( ) ? (1 ? ) ? ; 3 3 9 2 (ii)由题意知,随机变量 X ~ B (3, ) , 3 2 ∴随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? 3 ? ? 2 . 3
19.(本小题满分 12 分) 2 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,CA ? CB ,侧面 ABB1 A 1 是边长为 的正方体.点 E , F 分

1 3 , A1 F ? , CE ? EF . 2 4 (1)证明:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; (2)若 CA ? CB ,求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值. 【解析】 (1)取线段 AB 中点 M ,连接 EM , 3 在正方体 ABB1 A , 1E ? 1 中, AM ? 1, A 2 AE AM 2 在 Rt ?EAM 和 Rt ?FA ? ? , 1E 中, A1 F A1 E 3
别在线段 AA1 , A1 B1 上,且 AE ? 又 ?EAM ? ?FA1 E ?

B1 F C1 A1

B C

E A

?

2

,∴ Rt ?EAM ? Rt ?FA1E ,

∴ ?AEM ? ?A 1FE , 从而 ?AEM ? ?A1EF ? ?A1FE ? ?A1EF ? ,即 EF ? EM . 2 又 EF ? CE, ME ? CE ? E , ∴ EF ? 平面 CEM , ∵ CM ? 平面 CEM , ∴ CM ? EF , 在等腰三角形 ?CAB 中, CM ? AB , 又 AB 与 EF 相交,知 CM ? 平面 AB1 , ∵ CM ? 平面 ABC , ∴平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ; ∴ ?FEM ?

?
2



?

B1 z F C1 A1

B C M A

E

x

y

(2)在等腰三角形 ?CAB 中,由 CA ? CB, AB ? 2 知 CA ? CB ? 2 ,且 CM ? 1 , 记线段 A1B1 中点为 N ,连接 MN ,由(1)知, MC, MA, MN 两两互相垂直, 以 M 为坐标原点, 分别以 MC, MA, MN 为正交基底建立如图所示空间直角坐标系

???? ? ???? ???? ?

1 1 Oxyz ,则 C (1, 0, 0), E (0,1, ), F (0, , 2), A(0,1, 0), C1 (1, 0, 2) , 2 4 ??? ? ??? ? 设平面 CEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? CE, n ? EF ,

1 ? ?x ? y ? z ? 0 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ? 2 ?? 即? , ? y ? 2z ? ?3 y? 3z ?0 ? ? 4 2 取 z ? 2 ,则 y ? 4, x ? 5 ,从而得到平面 CEF 的一个法向量 n ? (5, 4, 2) . ???? ? AC1 ? (1, ?1,2) ,记直线 AC1 与平面 CEF 所成角为 ? , ???? ? ???? ? | AC1 ? n | | 5 ? 4 ? 4 | 30 ? 则 sin ? ?| cos ? AC1 , n ?|? ???? . ? ? 18 | AC1 | ? | n | 45 ? 6
故直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值为

30 . 18

20. (本小题满分 12 分) 过抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,且 A, B 两点的纵 坐标之积为 ?4 . (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知点 D 的坐标为 (4, 0) ,若过 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 的准线于 P 点,求证: 直线 AP 与 x 轴交于一定点.

p , 0) , 2 p 故可设直线 AB 的方程为 x ? my ? , 2 p ? ? x ? my ? 由? 2 ,得 y 2 ? 2 pmx ? p2 ? 0 , ? y 2 ? 2 px ?
【解析】 (1)抛物线的焦点为 F ( 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1 y2 ? ? p ,
2
2 ∴ ? p ? ?4 ,由 p ? 0 ,可得 p ? 2 .

∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x .
2

(2) 【方法 1】依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴ x2 ? 4 .

∴直线 BD 的方程可表示为 y ?

y2 ( x ? 4) ,① x2 ? 4

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,② 由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ? 由(1)可得 y1 y2 ? ?4 , ∴ P 的坐标可化为 (?1,

5 y2 ), x2 ? 4

5 y1 ), 1 ? y12

∴ k AP

5 y1 ? y1 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , ?1 ? x1 y1 ? 1
4 y1 ( x ? x1 ) , 1 ? y12

∴直线 AP 的方程为 y ? y1 ?

y12 ? 1 1 2 y12 ? 1 1 ? y1 ? ? , 令 y ? 0 ,可得 x ? x1 ? 4 4 4 4
∴直线 AP 与 x 轴交于定点 ( , 0) .

1 4

【方法 2】直线 AP 与 x 轴交于定点 M ( , 0) . 证明如下: 依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴ x2 ? 4 . ∴直线 BD 的方程可表示为 y ?

1 4

y2 ( x ? 4) ,① x2 ? 4

∵抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,② 由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ?

5 y2 ), x2 ? 4 5 y2 ), x2 ? 4

由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为 (?1, ?

由(1)可得 y1 y2 ? ?4 ,∴ y2 ? ?

4 . y1

∴ P 的坐标可化为 (?1,

5 y1 ), 1 ? y12

∴ P, M 两点连线的斜率为 k PM

5 y1 ?0 1 ? y12 4y ? ? 2 1 , 1 y1 ? 1 ?1 ? 4

∴ A, M 两点连线的斜率为 k AM ?

y1 ? 0 4y ? 2 1 , 1 y1 ? 1 x1 ? 4

∴ kPM ? k AM ,∴ P 、 A 、 M 三点共线, 即直线 AP 与 x 轴交于定点 ( , 0) .

1 4

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ax 2 ,直线 y ? x 为曲线 y ? f ( x) 的切线. x e e 1 x

(1)求实数 a 的值;

, } n 表示 m, n 中的最小值,设函数 g ( x) ? min{ f ( x), x ? }( x ? 0) ,若 (2)用 min{ m
函数 h( x) ? g ( x) ? cx 为增函数,求实数 c 的取值范围.
2

【解析】 (1)对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ? a ? 设直线 y ?

2x ? ex ? x2 ? ex x(2 ? x) , ? a? x 2 (e ) ex

1 x 与曲线 y ? f ( x) 切于点 P( x0 , y0 ) ,则 e

? 1 ax0 2 x ? ? ? e 0 e x0 , ? ? 1 ? a ? x0 (2 ? x 0 ) ? e x0 ?e
解得 a ? x0 ? 1 .所以 a 的值为 1. (2)记函数 F ( x) ? f ( x) ? ( x ? ) ? 符号. 对函数 y ? F ( x) 求导得 F ?( x) ? 当 x ? 2 时 F ?( x) ? 0 恒成立.

1 x

x2 1 ? x ? , x ? 0 ,下面考察函数 y ? F ( x) 的 x e x

x(2 ? x) 1 ?1 ? 2 , x ? 0 . x e x

x ? (2 ? x) 2 ] ? 1, 2 x(2 ? x) 1 1 1 1 1 ?1 ? 2 ? x ?1? 2 ? 1?1? 2 ? ? 2 ? 0 . 从而 F ?(x) ? x e x e x x x
当 0 ? x ? 2 时, x(2 ? x) ? [ ∴ F ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,故 y ? F ( x) 在 (0, ??) 上单调递减. ∵ F (1) ?

1 4 3 ? 0, F (2) ? 2 ? ? 0 ,∴ F (1) ? F (2) ? 0 . e e 2

又曲线 y ? F ( x) 在 [1, 2] 上连续不间断, 所以由函数的零点存在性定理及其单调性知

? 惟一的 x0 ? (1, 2) ,使 F ( x0 ) ? 0
∴ x ? (0, x0 ), F ( x) ? 0; x ? ( x0 , ??), F ( x) ? 0 .

? 1 x? , 0 ? x ? x0 1 ? ? x ∴ g ( x) ? min{ f ( x), x ? } ? ? , x ? x2 , x ? x0 ? ? ex ? 1 x ? - cx 2, 0 ? x ? x0 ? ? x 2 从而 h( x) ? g ( x) ? cx ? ? 2 ? x ? cx 2 , x ? x 0 ? ? ex 1 ? 1 ? 2 ? 2cx, 0 ? x ? x0 ? ? x ∴ h?( x) ? ? ? x(2 ? x) ? 2cx, x ? x 0 ? ? ex

由 函 数 h( x) ? g ( x) ? cx2 为 增 函 数 , 且 曲 线 y ? h( x) 在 (0, ??) 上 连 续 不 断 知

h?( x) ? 0 在 (0, x0 ) , ( x0 , ??) 上恒成立.
①当 x ? x0 时, 恒成立. 记 u ( x) ?

x(2 ? x) 2? x ? 2cx ? 0 在 ( x0 , ??) 上恒成立, 即 2c ? x 在 ( x0 , ??) 上 x e e

2? x x?3 , x ? x0 ,则 u ?( x ) ? x , x ? x0 , x e e

当 x 变化时, u ?( x) , u ( x) 变化情况如下表:

x
u ?( x)
u ( x)

( x0 ,3)
?
?
1 . e3

3
0
极小值

(3, ??)

?
?

∴ u ( x) min ? u ( x)极小 ? u (3) ? ? 故“ 2c ?

2? x 1 1 在 ( x0 , ??) 上恒成立”只需 2c ? u ( x) min ? ? 3 ,即 c ? ? 3 . x e e 2e 1 ②当 0 ? x ? x0 时, h?( x) ? 1 ? 2 ? 2cx ,当 c ? 0 时, h?( x) ? 0 在 (0, x0 ) 上恒成立. x 1 2 综合(1) (2)知,当 c ? ? 3 时,函数 h( x) ? g ( x) ? cx 为增函数. 2e 1 故实数 c 的取值范围是 (??, ? 3 ] . 2e

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时写 清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 ? O 直径, C 在 ? O 上, CF ? AB 于 F ,点 D 为线段 CF 上任意一点, 延长 AD 交 ? O 于 E , ?AEC ? 30 .
?

C D A F O

E

证明:(1) AF ? FO ; (2)若 CF ? 3 ,求 AD ? AE 的值.

B

【解析】 (1)证明:连接 OC , AC , ∵ ?AEC ? 30 ,∴ ?AOC ? 60 .
? ?

∵ OA ? OC ,∴ ?AOC 为等边三角形. ∵ CF ? AB , ∴ CF 为 ?AOC 中 AO 边上的中线,即 AF ? FO . (2)连接 BE , ∵ CF ? 3 , ?AOC 为等边三角形, ∴ AF ? 1 , AB ? 4 . ∵ AB 是 ? O 直径,∴ ?AEB ? 90 ,
?

C D A F O

E

B

∴ ?AEB ? ?AFD . ∵ ?BAE ? ?DAF ,∴ ?AEB ∽ ?AFD , ∴

AD AF ? ,即 AD ? AE ? AB ? AF ? 4 ? 1 ? 4 . AB AE

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合. 若 曲线 C 的参数方程为 ?

?s ?x ? 3 ? 2 c o (? 为 参 数 ), 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 n ? y ? 2 s i?

2 ? sin(? ? ) ? 1 . 4 (1)将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程;

?

(2)由直线 l 上一点向曲线 C 引切线,求切线长的最小值. 【解析】 (1)圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 . ∵ x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ∴圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 6? cos? ? 5 ? 0 . (2) ∵直线 l 的极坐标方程为 2 ? sin(? ?

?
4

) ? 1,

∴ ? sin ? ? ? cos ? ? 1 ,∴直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 . 设直线 l 上点 P ,切点为 A ,圆心 C (3, 0) , 则有 PA ? PC ? AC ? PC ? 4 ,
2 2 2 2

当 PC 最小时,有 PA 最小. ∵ PC ?

3 ?1 2

?2 2,

∴ PA ?

PC 2 ? 4 ? 8 ? 4 ? 2 ,

∴切线长的最小值为 2 .

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? m ?1 有解,记实数 m 的最大值为 M . (1)求 M 的值;

(2)正数 a, b, c 满足 a ? 2b ? c ? M ,求

1 1 ? ? 1. a?b b?c

【解析】 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 , 若不等式 x ? 2 ? x ? 3 ? m ?1 有解, 则满足 m ?1 ? 5 ,解得 ?6 ? m ? 4 . ∴M ? 4. (2)由(1)知正数 a, b, c 满足 a ? 2b ? c ? 4 , ∴

1 1 1 1 1 ? ? [(a ? b) ? b ? c)]( ? ) a?b b?c 4 a?b b?c

1 b?c a ?b 1 b?c a ?b ? (1 ? ? ) ? (1 ? 2 ? ) ?1, 4 a?b b?c 4 a ?b b?c
当且仅当 a ? c, a ? b ? 2 时,取等号.


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