吉林省白山市第一中学2013届高三第三次模拟考试数学文试题 Word版含答案

白山市第一中学 2013 届高三第三次模拟考试数学文试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.复数 A、2+I

?1 ? 3i = 1? i
B、2-I C、1+2i D、1- 2i

2.集合 M ? {y | y ? lg( x 2 ? 1), x ? R}, 集合 N ? {x | 4 x ? 4, x ? R}, 则M ? N 等于 A. [0,??) B. [0,1) C. (1,??) D. (0,1]

3.设不等式 ?

?0 ? x ? 2 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标 ?0 ? y ? 2
) D.

原点的距离大于 2 的概率是( A.

? 4

B.

? ?2 2

C.

? 6

4 ?? 4
)

4.阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为(

A.

1 2

B.

3 2

C. ?

3

D. 3

5.已知数列 {an } 为等差数列,若

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则使 a10

Sn ? 0 的 n 的最大值为(
A. 19 B. 11

) C. 20 D. 21

6 . 已 知 某 次 月 考 的 数 学 考 试 成 绩 ? ~ N 90, ?

?

2

?(? ? 0) , 统 计 结 果 显 示

p?70 ? ? ? 110? ? 0.6 ,则 P?? ? 70 ? ? (
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.1

) D. 0.5

7.函数 y ? 2cos ?? x ? ? ??? ? 0? 且 ? ?

?

? ? ?? , 在区间 ? ? , ? 上单调递增,且函数值 2 ? 3 6?

从 ?2 增大到 2 ,那么函数图像与 y 轴交点的纵坐标为(



A. 1

B.

2

C.

3

D.

6? 2 2

8.如图,已知长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , BB1 ? BC ? 1 ,则二面角

B1 ? AC ? B 的余弦值为

A.

2 3

B.

1 3

C.

5 5

D.

2 5 5
).

e x ? e? x 9.函数 y ? x 的图象大致为( e ? e? x

10.一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

1 1 , ) ,则 a ? b 的值是( 2 3
D、 ?14



A、 10

B、 ?10

C、14

11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为 F1、F2 ,且两条 曲线在第一象限的交点为 P ,? PF1 F2 是以 PF1 为底边的等腰三角形,若 PF ? 10 ,椭 1 圆与双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1e2 ? 1的取值范围是( A. (1, ?? ) B. ( )

4 , ?? ) 3
2

C. (

6 , ?? ) 5

D. (

10 ,+ ? ) 9

12.已知点 P 是抛物线 y ? ?8x 上一点,设 P 到此抛物线准线的距离是 d1,到直线

x ? y ? 10 ? 0 的距离是 d2,则 dl+d2 的最小值是(
A.

) D.3

3

B. 2 3

C. 6 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.将甲、乙、丙 3 名志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每 人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在乙、丙的前面,则不同的安排方法共 有 种. 14.已知数列{an}是等差数列,且 a4 ? a7 ? a10 ? 17 , a8 ? a9 ? a10 ? 21 ,若 ak ? 13 , 则 k ? _________. 15.已知命题 p : ?x ? R, ax2 ? 2x ? 1 ≤ 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是 . 16. 两点等分单位圆时, 有相应正确关系为 sin ? ? sin(? ? ? ) ? 0 ; 三点等分单位圆时, 有相应正确关系为 sin ? ? sin(? ? 位圆时的相应正确关系为 三、解答题(本大题共 5 大题,共 60 分)
3 17(12 分) .已知函数 f(x)= ax ?

2? 4? ) ? sin(? ? ) ? 0。 由此可以推知: 四点等分单 3 3

3 2 x ? 1( x ? R ) ,其中 a>0, 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 ? 2 2? ?

18(12 分) .设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ? 表示方程

x 2 ? bx ? c ? 0 实根的个数(重根按一个计) .
(1)求方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率;
2

(2)求 ? 的分布列和数学期望; (3)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x ? bx ? c ? 0 有实根的概率.
2

19. (12 分) 如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形,侧面 BB1C1C 菱形,∠ CBB1=60°,AB⊥B1C。 (1)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C; (2)若 AB=2,求三棱柱 ABC—A1B1C1 体积。

20. (12 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? 1. 3

(1)求 x ? 1 时, f (x) 取得极值,求 a 的值; (2)求 f (x) 在[0,1]上的最小值;

(3)若对任意 m ? R, 直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,求 a 的取值范围。 21(12 分)已知抛物线 y 2 ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A, B 两点. (1)求证:以 AB 为直径的圆过坐标系的原点 O ; (2)当 ?OAB 的面积等于
10 时,求 k 的值.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22(10 分) 选修 4-1:几何证明选讲) ( 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点, 弦 CD∥AP,AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE2 = EF·EC。 (1)求证:CE·EB = EF·EP; (2)若 CE:BE = 3:2,DE = 3,EF = 2,求 PA 的长。

23(10 分) .选修 4-4:坐标系与参数方程 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos? , ? ? ? 4sin ? . (Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程.

24. (10 分) (选修 4-5:不等式选讲)已知函数 (1)证明: ? 3 ? (2)求不等式:

f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5

f ( x) ? 3

f ( x) ? x 2 ? 8x ? 15的解集

参考答案

? 3? 16. sin ? ? sin(? ? ) ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? 0 2 2
17. (Ⅰ)y=6x-9; (Ⅱ)略。 18. (1)
19 . (2) ? 的分布列为 36

?
P

0

1

2

17 36

1 18
36 18

17 36
36

? 的数学期望 E? ? 0 ? 17 ? 1? 1 ? 2 ? 17 ? 1.
(3)
7 . 11

19 解: (Ⅰ)由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1,所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥BB1C1C. …4 分 (Ⅱ)由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点,连结 CO,则 CO⊥BB1.

由(Ⅰ)知,CO⊥平面 AB1B1A,且 CO=

3 3 BC= AB= 3. 2 2

连结 AB1,则 VC-ABB1=

1 1 2 3 S△ABB1·CO= AB2·CO= . 3 6 3 1 2 3 VABC-A1B1C1= , 3 3
C C1

因 VB1-ABC=VC-ABB1=

故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 VABC-A1B1C1=2 3.
B O A B1 A1

(III)因为 ?m ? R ,直线 y ? ? x ? m 都不是曲线 y ? f ( x ) 的切线,
2 ( 所以 f ' x) ? x ? a ? ?1 对 x? R 成立, 2 ( 只要 f ' x) ? x ? a 的最小值大于 ?1 即可, 2 ( 而 f ' x) ? x ? a 的最小值为 f (0) ? ?a

所以 ?a ? ?1 ,即 a ? 1
1 6 2 22. (I)∵ DE ? EF ? EC ,∴ ?EDF ? ?C , 又∵ ?P ? ?C ,∴ ?EDF ? ?P ,∴ ?EDF ∽ ?PAE ∴ EA ? ED ? EF ? EP 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP ··5 分 · 9 15 (II) BE ? 3 , CE ? , BP ? 2 4

21.21.(1)略(2) k ? ?

PA 是⊙ O 的切线, PA2 ? PB ? PC , PA ?

15 3 4

23. (Ⅰ) x2 ? y 2 ? 4x ? 0 为⊙O1 的直角坐标方程. x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 为⊙O2 的直角坐 标方程。 (Ⅱ)⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和 (2, ? 2) . 过交点的直线的直角坐标方程为
y ? ?x .

24. (1) ? 3 ? f ( x) ? 3 ; (2)略


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