2019届高三数学上学期期初模拟考试试题新版 新人教版
2019 届高三数学上学期期初模拟考试试题
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1、若复数 z=11+-3ii(i 为虚数单位),则 | z |? ▲ .
2、已知集合 A ? {2 ? a, a} , B ? {?1,1,3},且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ .
3、某高中共有 1 200 人,其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽 样的方法从中抽取 48 人,那么高二年级被抽取的人数为 ▲ .
4、已知双曲线 x2 ? y2 ? 1的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,则实数 m= ▲ .
4m
2
5、执行下面的伪代码后,输出的结果是 ▲ .
6、从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的 和为偶数的概率是 ▲ .
7、若圆柱的侧面积和体积的值都是12? ,则该圆柱的高为 ▲ .
8、在等比数列{an} 中,已知 a3 ? 4 , a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ,则 a7 ? ▲ .
i←1 x←4 Whilei<10
x←x+2i i←i+3 End While Print x
(第 5 题)
9、已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ≤0 时, f (x) ? ?x2 ? 3x ,则不等式
f (x) ? ?x ? 3 的解集是 ▲ .
10、已知 m=(cosα ,sinα ),n=(2,1),α ∈???-π2 ,π2 ???,若 m·n=1,则 sin???2α +32π ???
=▲.
11、如图,在△ABC 中,D 是 BC 上的一点.已知 B=60°,AD=2, AC= ,DC= ,则 AB= ▲ .
A
B
D
C
第 11 题图
1
12、如图,在 ?ABC 中,AB ? AC ,BC ? 2,AD ? DC ,AE ? 1 EB , 2
若 BD ? AC ? ? 1 ,则 CE ? AB ? ▲ . 2
13、在平面直角坐标系 xOy 中,已知过原点 O 的动直线 l 与圆
C:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B,若 A 恰为线段 OB 的中点, 则圆心 C 到直线 l 的距离为 ▲ .
第 12 题图
14、已知函数 f(x)=?????e2xx+2-e23,x,x>x≤0.0,若不等式 f(x)≥kx 对 x∈R 恒成立,则实数 k 的取 值范围是 ▲ .
二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤.
15、(本小题满分 14 分) 如图,已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D、E 分别为 BC、CC1 中点, BC1⊥B1D. 求证:(1) DE∥平面 ABC1;(2) 平面 AB1D⊥平面 ABC1.
16、(本小题满分 14 分) 在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 acosC+12c=b. (1) 求角 A 的大小; (2) 若 a= 15,b=4,求边 c 的大小.
2
17、(本小题满分 14 分)
如图,已知椭圆xa22+yb22=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,P 是椭圆上一点,M 在 PF1 上,
且满足F→1M=λ M→P(λ ∈R),PO⊥F2M,O 为坐标原点.
(1)
x2 y2 若椭圆方程为 8 + 4 =1,且
P(2,
2),求点 M 的横坐标;
(2) 若 λ =2,求椭圆离心率 e 的取值范围.
18、(本小题满分 16 分) 如图,某市有一条东西走向的公路 l,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m. 在施工过程中发现在 O 处的正北方向 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定 以 A 为圆心、1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l,m,欲再新建一条公路 PQ, 点 P,Q 分别在公路 l,m 上(点 P,Q 分别在点 O 的正东、正北方向),且要求 PQ 与圆 A 相切. (1) 当点 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长; (2) 当公路 PQ 的长最短时,求 OQ 的长.
3
19、(本小题满分 16 分) 已知 a 为实数,函数 f(x)=a·lnx+x2-4x. (1)当 a ? ?6 时,求函数 f (x)的极值; (2)若函数 f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,求实数 a 的取值范围; (3)设 g(x)=2al nx+x2-5x-1+x a,若存在 x0∈[1, e],使得 f(x0)<g(x0)成立,求实 数 a 的取值范围.
20、(本小题满分 16 分)
已知数列{an}的各项都为正数,且对任意 n∈N*,a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列,
a a a , , 2n
2n+1
2n+2
成等比数列.
(1) 若 a2=1,a5=3,求 a1 的值;
(2) 设 a1<a2,求证:对任意 n∈N*,且 n≥2,都有aan+n 1<aa21.
答案
1、 5 ;
2、1;
3、16;
4、2;
5、28;
6、 2 ; 5
7、3; 8、64; 9、 (3,??)
;10、 ? 7 ; 25
11、 2 6 ; 3
12、 ? 4 ; 3
13、 3 6 ; 4
14、[?3,e2 ]
15、证明:(1) ∵ D、E 分别为 BC、CC1 中点,∴ DE∥BC1.(2 分)
∵ DE 平面 ABC1,BC1 ? 平面 ABC1,∴ DE∥平面 ABC1.(6 分) (2) 直三棱柱 ABCA1B1C1 中,CC1⊥平面 ABC,∵ AD ? 平面 ABC,∴ CC1⊥AD.(8 分)
4
∵ AB=AC,D 为 BC 中点,∴ AD⊥BC.∵ CC1∩BC=C,CC1,BC ? 平面 BCC1B1, ∴ AD⊥平面 BCC1B1.∵ BC1 ? 平面 BCC1B1,∴ AD⊥BC1.(11 分) ∵ BC1⊥B1D,B1D∩AD=D,B1D,AD ? 平面 AB1D,∴ BC1⊥平面 AB1D. ∵ BC1 ? 平面 ABC1,∴平面 AB1D⊥平面 ABC1.(14 分)
16、解:(1)因为 m·n=3bcosB,所以 acosC+ccosA=3bcosB.
由 正 弦 定 理 , 得 sinAcosC + sinCcosA =
3sinBcosB , ·································
·3 分
所以 sin(A+C)=3sinBcosB,所以 sinB=3sinBcosB.
因 为 B 是 △ABC 的 内 角 , 所 以 sinB≠0 , 所 以 cosB =
13.·····························7 分
(2)因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac.
由
正
弦
定
理
,
得
sin2B
=
sinA·sinC. ·······························
··································9 分
因为
cosB
=
1 3
,
B
是 △ABC
的内角,所以
sinB =
2 3 2.·······························11 分 又ta1nA+ta1nC=csoisnAA+csoisnCC=cosA·ssiinnCA+·ssiinnAC·cosC
sin(A+C)
sinB
sinB
1
=
sinA·sinC
=
sinA·sinC
=
sin2B
=
sinB
=
32 4 . ····································
····14 分
x2 y2
2
2
17.解:(1) ∵ 8 + 4 =1,∴ F1(-2,0),F2(2,0),∴ kOP= 2 ,kF2M=- 2,kF1M= 4 ,
2 ∴直线 F2M 的方程为 y=- 2(x-2),直线 F1M 的方程为 y= 4 (x+2).(4 分)
??y=- 2(x-2),
6
6
由? 2 ??y= 4 (x+2),
解得 x=5,∴点 M 的横坐标为5.(5 分)
(2) 设 P(x0,y0),M(xM,yM), ∵F→1M=2→MP,∴F→1M=23(x0+c,y0)=(xM+c,yM),
5
∴ M???23x0-13c,23y0???,F→2M=???23x0-43c,23y0???.
∵ PO⊥F2M,→OP=(x0,y0),
∴???23x0-43c???x0+23y20=0,即 x20+y20=2cx0.(8 分)
??x20+y20=2cx0, 联立方程得???xa202+yb202=1, 消去 y0 得 c2x20-2a2cx0+a2(a2-c2)=0,
a(a+c)
a(a-c)
解得 x0= c 或 x0= c .(11 分)
∵-a<x0<a,∴
a(a-c) x0= c ∈(0,a),∴
0<a2
-ac<ac,解得 e>12.
综上,椭圆离心率 e 的取值范围为???12,1???.(14 分)
18.解:以 O 为原点,直线 l 、 m 分别为 x, y 轴建立
平面直角坐标系.
设 PQ 与 圆 A 相 切 于 点 B , 连 结 AB , 以 1 百 米 为 单 位 长 度 , 则 圆 A 的 方 程 为
x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,
(1)由题意可设直线 PQ 的方程为 x ? y ? 1,即 qx ? 2y ? 2q ? 0 , (q ? 2) , 2q
∵ PQ 与圆 A 相切,∴ 2 ? 2q ? 1 ,解得 q ? 8 ,
q2 ? 22
3
故当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为 8 百米.……………6 分 3
(2)设直线 PQ 的方程为 x ? y ? 1 ,即 qx ? py ? pq ? 0 , ( p ?1, q ? 2) , pq
∵ PQ 与圆 A 相切,∴ p ? pq ? 1 ,化简得 p2 ? q ,则 PQ 2 ?p 2 ?q 2 ? q?q 2 ,
q2 ? p2
q?2
q?2
……9 分
6
令
f
(q)
?
q q?2
? q2(q
?
2)
,∴
f
?(q)
?
2q ?
2 (q ? 2)2
?
2(q ?1)(q2 ? 3q ?1) (q ? 2)2
(q
?
2) ,
当 2 ? q ? 3 ? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f (q) 在 (2, 3 ? 5 ) 上单调递减;
2
2
当 q ? 3 ? 5 时, f ?(q) ? 0 ,即 f (q) 在 (3 ? 5 , ??) 上单调递增,
2
2
∴ f (q) 在 q ? 3 ? 5 时取得最小值,故当公路 PQ 长最短时, OQ 的长为 3 ? 5 百米.
2
2
答:(1)当 P 距 O 处 2 百米时, OQ 的长为 8 百米;(2)当公路 PQ 长最短时, OQ 的 3
长为 3 ? 5 百米.……………16 分 2
19. (1)定义域为?x | x ? 0? , f ?(x) ? 2(x ?1)(x ? 3) ,令 f ?(x) ? 0 ,则 x ? 3
x 当 0 ? x ? 3 时, f ?(x) ? 0 ;当 x ? 3 时, f ?(x) ? 0 所以当 x ? 3 时 f (x) 有极小值 f (3) ? ?3 ? 6ln 3,无极大值.……………………4 分
(2) f ?(x) ? 2(x ?1)2 ? a ? 2 , x
①当 a ? 2 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 在 (0, ??) 上递增,成立;……………………6 分
②当 a ? ?2 时,令 f ?(x) ? 0 ,则 x ? 1? 1? a ,或 x ? 1? 1? a ,
2
2
所以 f (x) 在[2,3]上存在单调递增区间,所以1? 1? a ? 3 ,解得 ?6, a ? 2 2
综上, a ? ?6 .…………………………………………………………………………10 分
(3)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,即在[1,e]上存在一点 x0 ,使得
h
?
x0
?
?
0
,即函数
h
?
x
?
?
x
?
1
? x
a
?
a
ln
x
在[1,e]上的最小值小于零.
有
h?(x)
?
1
?
1
?a x2
?
a x
?
x2
?
ax ? x2
(1 ?
a)
?
(x
? 1)[x ? x2
(1 ?
a)]
①当 a ?1? e ,即 a ? e ?1时, h? x? 在?1,e?上单调递减,
所以 h? x? 的最小值为 h?e? ,由 h?e? ? e ? 1? a ? a ? 0 可得 a ? e2 ?1 ,
e
e ?1
7
因为 e2 ?1 ? e ?1,所以 a ? e2 ?1 ;………12 分
e ?1
e ?1
②当 a ?1?1,即 a ? 0 时, h? x? 在?1,e?上单调递增,
所以 h? x? 最小值为 h?1? ,由 h?1? ?1?1? a ? 0 可得 a ? ?2;………14 分
③当1? a ?1? e ,即 0 ? a ? e ?1时,可得 h? x? 最小值为 h?1? a? ? 2 ? a ? a ln ?1? a? ,
因为 0 ? ln?1? a? ?1,所以, 0 ? aln?1? a? ? a ,
故 h?1? a? ? 2 ? a ? a ln?1? a? ? 2 此时不存在 x0 使 h? x0 ? ? 0 成立.
综上可得所求 a 的范围是: a ? e2 ?1 或 a ? ?2 .………16 分 e ?1
20. (1) 解:因为 a3,a4,a5 成等差数列,设公差为 d,则
a3=3-2d,a4=3-d.
因为 a2,a3,a4 成等比数列,所以 a2=aa234=(33--2dd)2.(3 分)
(3-2d)2
3
因为 a2=1,所以 3-d =1,解得 d=2 或 d=4.
3 因为 an>0,所以 d=4.
1 因为 a1,a2,a3 成等差数列,所以 a1=2a2-a3=2-(3-2d)=2.(5 分)
(2) 证明:(证法 1)因为 a2n-1,a2n,a2n+1 成等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 成等比数列,
所以 2a2n=a2n-1+a2n+1,① a22n+1=a2na2n+2.② 所以 a22n-1=a2n-2a2n,n≥2.③
所以 a2n-2a2n+ a2na2n+2=2a2n. 因为 an>0,
所以 a2n-2+ a2n+2=2 a2n.(7 分)
即数列{ a2n}是等差数列.
所以 a2n= a2+(n-1)( a4- a2).
由 a1,a2 及 a2n-1,a2n,a2n+1 是等差数列,a2n,a2n+1,a2n+2 是等比数列,可得 a4=(2a2a-2 a1)2.
所以 a2n= a2+(n-1)( a4- a2) =(a2-a1)n+a1.
a2 所以 a2n=[(a2-aa1)2 n+a1]2. 所以 a2n+2=[(a2-a1)(a2n+1)+a1]2.(10 分)
从而 a2n+1= a a 2n 2n+2
8
=[(a2-a1)n+a1][(aa22-a1)(n+1)+a1].
所以 a2n-1=[(a2-a1)(n-1)+a2 a1][(a2-a1)n+a1]. ①当 n=2m,m∈N*时,
[(a2-a1)m+a1][(a2-a1)(m+1)+a1]
aan+n 1-aa21=
a2 [(a2-a1)m+a1]2
-aa21
a2
=(a2(-aa21-)a(1)m+m+1)a1+a1-aa21 =-a1[(m(a2-a2-a1)a1)m+2 a1]<0.(14 分) ②当 n=2m-1,m∈N*,m≥2 时,
[(a2-a1)m+a1]2
aan+n 1-aa21=[(a2-a1)(m-1)+a2 a1][(a2-a1)m+a1]-aa21
a2
=(a2(-aa21-)a(1)m-m+1)a1+a1-aa21 =-a1[((am2--a11))((am1--1a)2)+2 a1]<0. 综上,对一切 n∈N*,且 n≥2,
都有aan+n 1<aa21.(16 分)
(证法 2)①若 n 为奇数且 n≥3 时,则 an,an+1,an+2 成等差数列. 因为aann++21-aan+n 1=an+a2an+n-1aan 2n+1=(2an+1-ana+n1)an an-a2n+1 =-(ana+n1+-1aan n)2≤0,
所以aann++21≤aan+n 1.(9 分)
②若 n 为偶数且 n≥2 时,则 an,an+1,an+2 成等比数列,所以aann++21=aan+n 1.(11 分)
由①②可知,对任意 n≥2,n∈N*,aann++21≤aan+n 1≤…≤aa32.(14 分)
因为aa32-aa21=2a2a-2 a1-aa21 =2a2a1a-2aa121-a22 =-(a1a-2aa1 2)2, 因为 a1<a2,所以-(a1a-2aa1 2)2<0,
9
即aa32<aa21. 综上,对一切 n∈N*,且 n≥2,都有aan+n 1<aa21.(16 分)
直击中考
1.(深圳中考)孙山把同盟会的革命纲领阐发为三民主义。其“驱除鞑虏,恢复华”被
(A)
A.民族主义
B.民权主义
C.民主义
D.民生主义
2.(齐哈尔中考改编)人民英雄纪念碑镶有浮雕,其与辛亥革命关的是
(A)
A.武昌起义
B.金田起义
C.义和团运动3.(温州中考改编)“‘民国’之取代自秦以来两千多年的帝,是一种前无古人变化。”导致这历史事件
D.虎门销烟(C)
A.洋务运动
B.戊戌变法
C.辛亥革命
D.二次革命
4.(成都中考改编)纪录片《复兴之路》的解说词写道:“皇帝倒了,辫子剪这是192年给国人最大感受。”种源自
(C)
①封建君主专制度被推翻②近代社会性质的改变③生活习俗化④清王朝统治结束
A.①②③C.①③④
B.①②④D.②③④
5.(滨州中考)同盟会员、无产阶级革命家林伯渠说:“过去专制主义是正统,神圣不可侵犯了就要杀头。后来民成样取得的地位这个未必但为人所抛弃没有疑问”与近代哪一物关
(B)
A.康有为
B.孙中山
C.李鸿章
D.毛泽东
6.(随州中考)与国以往近代化探索相比,辛亥革命的不同之处在于A.以富国强兵为宗旨
(D)
B.主张学习西方政治制度
C.宣传民主和科学的思想
D.建立资产阶级共和国
7.(贺州中考)孙山指出:“凡为国民皆平等以有参政权。大总统由共举”这体现了三主义的
(B)
A.民族主义C.民生主义
B.民权主义D.扶助农工
8.(安徽中考)有国才家,是最小大。
辛亥革命结束了封建帝制,立中华民国使主共和的观念深入人心。
9.(苏州中考)华民族的伟大复兴是近代以来亿万儿女共同理想。阅读材料,回答下列问题
材料一东西各国之强,皆以立宪法开会故。者为民共议政也人君与千百万合体安得不?吾行专制大臣数治其弱…今变新固计
(1)根据材料一,概括康有为认国弱的主要因素以及强具体张。
—康有为《请定立宪开国会折》
原因:君主专制(政体)。张维新变法,立宪行、开国会
材料二我们推倒满洲政府,从驱除人那一面说是民族革命颠覆君主体治并不把它分作两次去做。讲到的结果建立宪…外断能瓜中国只怕自己起来就可救了!所以定要由平 —孙中山《民族的、国社会家》(1906年2月日)
(2)根据材料二,指出孙中山“政治革命”的目并概括民权主义思想特点。 目的:建立民主宪政体(或创国、府)。特点把族革命和治结合起来权相,认为推翻清朝反动统具有双重意义
(3)综合上述材料,归纳康有为和孙中山思想的共同之处。反对君主专制,建立民政治;救亡图存(族复兴)。
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