2019届高三数学上学期期初模拟考试试题新版 新人教版
2019 届高三数学上学期期初模拟考试试题
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1、若复数 z＝11＋－3ii(i 为虚数单位)，则 | z |? ▲ ．
2、已知集合 A ? {2 ? a, a} ， B ? {?1,1,3}，且 A ? B ，则实数 a 的值是 ▲ ．
3、某高中共有 1 200 人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列.现用分层抽 样的方法从中抽取 48 人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．
4、已知双曲线 x2 ? y2 ? 1的渐近线方程为 y ? ? 2 x ，则实数 m= ▲ ．
4m
2
5、执行下面的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．
6、从 1，2，3，4，5 这 5 个数中，随机抽取 2 个不同的数，则这 2 个数的 和为偶数的概率是 ▲ ．
7、若圆柱的侧面积和体积的值都是12? ，则该圆柱的高为 ▲ ．
8、在等比数列{an} 中,已知 a3 ? 4 ， a7 ? 2a5 ? 32 ? 0 ，则 a7 ? ▲ ．
i←1 x←4 Whilei<10
x←x+2i i←i+3 End While Print x
（第 5 题）
9、已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≤0 时， f (x) ? ?x2 ? 3x ，则不等式
f (x) ? ?x ? 3 的解集是 ▲ ．
10、已知 m＝(cosα ，sinα )，n＝(2，1)，α ∈???－π2 ，π2 ???，若 m·n＝1，则 sin???2α ＋32π ???
＝▲．
11、如图,在△ABC 中，D 是 BC 上的一点．已知 B=60°，AD=2， AC= ，DC= ，则 AB= ▲ ．
A
B
D
C
第 11 题图
1
12、如图，在 ?ABC 中，AB ? AC ，BC ? 2，AD ? DC ，AE ? 1 EB ， 2
若 BD ? AC ? ? 1 ，则 CE ? AB ? ▲ ． 2
13、在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 O 的动直线 l 与圆
C:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 A,B，若 A 恰为线段 OB 的中点， 则圆心 C 到直线 l 的距离为 ▲ ．
第 12 题图
14、已知函数 f(x)＝?????e2xx＋2－e23，x，x＞x≤0.0，若不等式 f(x)≥kx 对 x∈R 恒成立，则实数 k 的取 值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤．
15、(本小题满分 14 分) 如图，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D、E 分别为 BC、CC1 中点， BC1⊥B1D． 求证：(1) DE∥平面 ABC1；(2) 平面 AB1D⊥平面 ABC1．
16、(本小题满分 14 分) 在△ABC 中，设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 acosC＋12c＝b. (1) 求角 A 的大小； (2) 若 a＝ 15，b＝4，求边 c 的大小．
2
17、(本小题满分 14 分)
如图，已知椭圆xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为 F1，F2，P 是椭圆上一点，M 在 PF1 上，
且满足F→1M＝λ M→P(λ ∈R)，PO⊥F2M，O 为坐标原点．
(1)
x2 y2 若椭圆方程为 8 ＋ 4 ＝1，且
P(2，
2)，求点 M 的横坐标；
(2) 若 λ ＝2，求椭圆离心率 e 的取值范围．
18、(本小题满分 16 分) 如图,某市有一条东西走向的公路 l,现欲经过公路 l 上的 O 处铺设一条南北走向的公路 m. 在施工过程中发现在 O 处的正北方向 1 百米的 A 处有一汉代古迹.为了保护古迹,该市决定 以 A 为圆心、1 百米为半径设立一个圆形保护区.为了连通公路 l,m,欲再新建一条公路 PQ, 点 P,Q 分别在公路 l,m 上(点 P,Q 分别在点 O 的正东、正北方向),且要求 PQ 与圆 A 相切. (1) 当点 P 距 O 处 2 百米时,求 OQ 的长; (2) 当公路 PQ 的长最短时,求 OQ 的长.
3
19、(本小题满分 16 分) 已知 a 为实数，函数 f(x)＝a·lnx＋x2－4x． （1）当 a ? ?6 时，求函数 f (x)的极值； （2）若函数 f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数 a 的取值范围； （3）设 g(x)＝2al nx＋x2－5x－1＋x a，若存在 x0∈[1, e]，使得 f(x0)＜g(x0)成立，求实 数 a 的取值范围．
20、(本小题满分 16 分)
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意 n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1 成等差数列，
a a a ， ， 2n
2n＋1
2n＋2
成等比数列．
(1) 若 a2＝1，a5＝3，求 a1 的值；
(2) 设 a1＜a2，求证：对任意 n∈N*，且 n≥2，都有aan＋n 1＜aa21.
答案
1、 5 ；
2、1；
3、16；
4、2；
5、28；
6、 2 ； 5
7、3； 8、64； 9、 (3,??)
；10、 ? 7 ； 25
11、 2 6 ； 3
12、 ? 4 ； 3
13、 3 6 ； 4
14、[?3,e2 ]
15、证明：(1) ∵ D、E 分别为 BC、CC1 中点，∴ DE∥BC1.(2 分)
∵ DE 平面 ABC1，BC1 ? 平面 ABC1，∴ DE∥平面 ABC1.(6 分) (2) 直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC，∵ AD ? 平面 ABC，∴ CC1⊥AD.(8 分)
4
∵ AB＝AC，D 为 BC 中点，∴ AD⊥BC.∵ CC1∩BC＝C，CC1，BC ? 平面 BCC1B1， ∴ AD⊥平面 BCC1B1.∵ BC1 ? 平面 BCC1B1，∴ AD⊥BC1.(11 分) ∵ BC1⊥B1D，B1D∩AD＝D，B1D，AD ? 平面 AB1D，∴ BC1⊥平面 AB1D. ∵ BC1 ? 平面 ABC1，∴平面 AB1D⊥平面 ABC1.(14 分)
16、解：（1）因为 m·n＝3bcosB，所以 acosC＋ccosA＝3bcosB．
由 正 弦 定 理 ， 得 sinAcosC ＋ sinCcosA ＝
3sinBcosB ， ·································
·3 分
所以 sin(A＋C)＝3sinBcosB，所以 sinB＝3sinBcosB．
因 为 B 是 △ABC 的 内 角 ， 所 以 sinB≠0 ， 所 以 cosB ＝
13．·····························7 分
（2）因为 a，b，c 成等比数列，所以 b2＝ac．
由
正
弦
定
理
，
得
sin2B
＝
sinA·sinC． ·······························
··································9 分
因为
cosB
＝
1 3
，
B
是 △ABC
的内角，所以
sinB ＝
2 3 2．·······························11 分 又ta1nA＋ta1nC＝csoisnAA＋csoisnCC＝cosA·ssiinnCA＋·ssiinnAC·cosC
sin(A＋C)
sinB
sinB
1
＝
sinA·sinC
＝
sinA·sinC
＝
sin2B
＝
sinB
＝
32 4 ． ····································
····14 分
x2 y2
2
2
17.解：(1) ∵ 8 ＋ 4 ＝1，∴ F1(－2，0)，F2(2，0)，∴ kOP＝ 2 ，kF2M＝－ 2，kF1M＝ 4 ，
2 ∴直线 F2M 的方程为 y＝－ 2(x－2)，直线 F1M 的方程为 y＝ 4 (x＋2)．(4 分)
??y＝－ 2（x－2），
6
6
由? 2 ??y＝ 4 （x＋2），
解得 x＝5，∴点 M 的横坐标为5.(5 分)
(2) 设 P(x0，y0)，M(xM，yM)， ∵F→1M＝2→MP，∴F→1M＝23(x0＋c，y0)＝(xM＋c，yM)，
5
∴ M???23x0－13c，23y0???，F→2M＝???23x0－43c，23y0???.
∵ PO⊥F2M，→OP＝(x0，y0)，
∴???23x0－43c???x0＋23y20＝0，即 x20＋y20＝2cx0.(8 分)
??x20＋y20＝2cx0， 联立方程得???xa202＋yb202＝1， 消去 y0 得 c2x20－2a2cx0＋a2(a2－c2)＝0，
a（a＋c）
a（a－c）
解得 x0＝ c 或 x0＝ c .(11 分)
∵－a<x0<a，∴
a（a－c） x0＝ c ∈(0，a)，∴
0<a2
－ac<ac，解得 e>12.
综上，椭圆离心率 e 的取值范围为???12，1???.(14 分)
18.解：以 O 为原点，直线 l 、 m 分别为 x, y 轴建立
平面直角坐标系．
设 PQ 与 圆 A 相 切 于 点 B ， 连 结 AB ， 以 1 百 米 为 单 位 长 度 ， 则 圆 A 的 方 程 为
x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ，
(1)由题意可设直线 PQ 的方程为 x ? y ? 1，即 qx ? 2y ? 2q ? 0 ， (q ? 2) ， 2q
∵ PQ 与圆 A 相切，∴ 2 ? 2q ? 1 ，解得 q ? 8 ，
q2 ? 22
3
故当 P 距 O 处 2 百米时， OQ 的长为 8 百米．……………6 分 3
（2）设直线 PQ 的方程为 x ? y ? 1 ，即 qx ? py ? pq ? 0 ， ( p ?1, q ? 2) ， pq
∵ PQ 与圆 A 相切，∴ p ? pq ? 1 ，化简得 p2 ? q ，则 PQ 2 ?p 2 ?q 2 ? q?q 2 ，
q2 ? p2
q?2
q?2
……9 分
6
令
f
(q)
?
q q?2
? q2(q
?
2)
，∴
f
?(q)
?
2q ?
2 (q ? 2)2
?
2(q ?1)(q2 ? 3q ?1) (q ? 2)2
(q
?
2) ，
当 2 ? q ? 3 ? 5 时， f ?(q) ? 0 ，即 f (q) 在 (2, 3 ? 5 ) 上单调递减；
2
2
当 q ? 3 ? 5 时， f ?(q) ? 0 ，即 f (q) 在 (3 ? 5 , ??) 上单调递增，
2
2
∴ f (q) 在 q ? 3 ? 5 时取得最小值，故当公路 PQ 长最短时， OQ 的长为 3 ? 5 百米．
2
2
答：（1)当 P 距 O 处 2 百米时， OQ 的长为 8 百米；（2）当公路 PQ 长最短时， OQ 的 3
长为 3 ? 5 百米．……………16 分 2
19. （1）定义域为?x | x ? 0? ， f ?(x) ? 2(x ?1)(x ? 3) ，令 f ?(x) ? 0 ，则 x ? 3
x 当 0 ? x ? 3 时， f ?(x) ? 0 ；当 x ? 3 时， f ?(x) ? 0 所以当 x ? 3 时 f (x) 有极小值 f (3) ? ?3 ? 6ln 3，无极大值.……………………4 分
(2) f ?(x) ? 2(x ?1)2 ? a ? 2 ， x
①当 a ? 2 时， f ?(x) ? 0 ， f (x) 在 (0, ??) 上递增，成立；……………………6 分
②当 a ? ?2 时，令 f ?(x) ? 0 ，则 x ? 1? 1? a ，或 x ? 1? 1? a ，
2
2
所以 f (x) 在[2,3]上存在单调递增区间，所以1? 1? a ? 3 ，解得 ?6, a ? 2 2
综上， a ? ?6 .…………………………………………………………………………10 分
（3）在[1,e]上存在一点 x0，使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立，即在[1,e]上存在一点 x0 ，使得
h
?
x0
?
?
0
，即函数
h
?
x
?
?
x
?
1
? x
a
?
a
ln
x
在[1,e]上的最小值小于零．
有
h?(x)
?
1
?
1
?a x2
?
a x
?
x2
?
ax ? x2
(1 ?
a)
?
(x
? 1)[x ? x2
(1 ?
a)]
①当 a ?1? e ，即 a ? e ?1时， h? x? 在?1，e?上单调递减，
所以 h? x? 的最小值为 h?e? ，由 h?e? ? e ? 1? a ? a ? 0 可得 a ? e2 ?1 ，
e
e ?1
7
因为 e2 ?1 ? e ?1，所以 a ? e2 ?1 ；………12 分
e ?1
e ?1
②当 a ?1?1，即 a ? 0 时， h? x? 在?1，e?上单调递增，
所以 h? x? 最小值为 h?1? ，由 h?1? ?1?1? a ? 0 可得 a ? ?2；………14 分
③当1? a ?1? e ，即 0 ? a ? e ?1时，可得 h? x? 最小值为 h?1? a? ? 2 ? a ? a ln ?1? a? ，
因为 0 ? ln?1? a? ?1，所以， 0 ? aln?1? a? ? a ，
故 h?1? a? ? 2 ? a ? a ln?1? a? ? 2 此时不存在 x0 使 h? x0 ? ? 0 成立．
综上可得所求 a 的范围是： a ? e2 ?1 或 a ? ?2 ．………16 分 e ?1
20. (1) 解：因为 a3，a4，a5 成等差数列，设公差为 d，则
a3＝3－2d，a4＝3－d.
因为 a2，a3，a4 成等比数列，所以 a2＝aa234＝（33－－2dd）2.(3 分)
（3－2d）2
3
因为 a2＝1，所以 3－d ＝1，解得 d＝2 或 d＝4.
3 因为 an＞0，所以 d＝4.
1 因为 a1，a2，a3 成等差数列，所以 a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝2.(5 分)
(2) 证明：(证法 1)因为 a2n－1，a2n，a2n＋1 成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2 成等比数列，
所以 2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，① a22n＋1＝a2na2n＋2.② 所以 a22n－1＝a2n－2a2n，n≥2.③
所以 a2n－2a2n＋ a2na2n＋2＝2a2n. 因为 an＞0，
所以 a2n－2＋ a2n＋2＝2 a2n.(7 分)
即数列{ a2n}是等差数列．
所以 a2n＝ a2＋(n－1)( a4－ a2)．
由 a1，a2 及 a2n－1，a2n，a2n＋1 是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2 是等比数列，可得 a4＝（2a2a－2 a1）2.
所以 a2n＝ a2＋(n－1)( a4－ a2) ＝（a2－a1）n＋a1.
a2 所以 a2n＝[（a2－aa1）2 n＋a1]2. 所以 a2n＋2＝[（a2－a1）（a2n＋1）＋a1]2.(10 分)
从而 a2n＋1＝ a a 2n 2n＋2
8
＝[（a2－a1）n＋a1][（aa22－a1）（n＋1）＋a1].
所以 a2n－1＝[（a2－a1）（n－1）＋a2 a1][（a2－a1）n＋a1]. ①当 n＝2m，m∈N*时，
[（a2－a1）m＋a1][（a2－a1）（m＋1）＋a1]
aan＋n 1－aa21＝
a2 [（a2－a1）m＋a1]2
－aa21
a2
＝（a2（－aa21－）a（1）m＋m＋1）a1＋a1－aa21 ＝－a1[（m（a2－a2－a1）a1）m＋2 a1]＜0.(14 分) ②当 n＝2m－1，m∈N*，m≥2 时，
[（a2－a1）m＋a1]2
aan＋n 1－aa21＝[（a2－a1）（m－1）＋a2 a1][（a2－a1）m＋a1]－aa21
a2
＝（a2（－aa21－）a（1）m－m＋1）a1＋a1－aa21 ＝－a1[（（am2－－a11））（（am1－－1a）2）＋2 a1]＜0. 综上，对一切 n∈N*，且 n≥2，
都有aan＋n 1＜aa21.(16 分)
(证法 2)①若 n 为奇数且 n≥3 时，则 an，an＋1，an＋2 成等差数列． 因为aann＋＋21－aan＋n 1＝an＋a2an＋n－1aan 2n＋1＝（2an＋1－ana＋n1）an an－a2n＋1 ＝－（ana＋n1＋－1aan n）2≤0，
所以aann＋＋21≤aan＋n 1.(9 分)
②若 n 为偶数且 n≥2 时，则 an，an＋1，an＋2 成等比数列，所以aann＋＋21＝aan＋n 1.(11 分)
由①②可知，对任意 n≥2，n∈N*，aann＋＋21≤aan＋n 1≤…≤aa32.(14 分)
因为aa32－aa21＝2a2a－2 a1－aa21 ＝2a2a1a－2aa121－a22 ＝－（a1a－2aa1 2）2， 因为 a1＜a2，所以－（a1a－2aa1 2）2＜0，
9
即aa32＜aa21. 综上，对一切 n∈N*，且 n≥2，都有aan＋n 1＜aa21.(16 分)
直击中考
1.(深圳中考)孙山把同盟会的革命纲领阐发为三民主义。其“驱除鞑虏,恢复华”被
(A)
A.民族主义
B.民权主义
C.民主义
D.民生主义
2.(齐哈尔中考改编)人民英雄纪念碑镶有浮雕,其与辛亥革命关的是
(A)
A.武昌起义
B.金田起义
C.义和团运动3.(温州中考改编)“‘民国’之取代自秦以来两千多年的帝,是一种前无古人变化。”导致这历史事件
D.虎门销烟(C)
A.洋务运动
B.戊戌变法
C.辛亥革命
D.二次革命
4.(成都中考改编)纪录片《复兴之路》的解说词写道:“皇帝倒了,辫子剪这是192年给国人最大感受。”种源自
(C)
①封建君主专制度被推翻②近代社会性质的改变③生活习俗化④清王朝统治结束
A.①②③C.①③④
B.①②④D.②③④
5.(滨州中考)同盟会员、无产阶级革命家林伯渠说:“过去专制主义是正统,神圣不可侵犯了就要杀头。后来民成样取得的地位这个未必但为人所抛弃没有疑问”与近代哪一物关
(B)
A.康有为
B.孙中山
C.李鸿章
D.毛泽东
6.(随州中考)与国以往近代化探索相比,辛亥革命的不同之处在于A.以富国强兵为宗旨
(D)
B.主张学习西方政治制度
C.宣传民主和科学的思想
D.建立资产阶级共和国
7.(贺州中考)孙山指出:“凡为国民皆平等以有参政权。大总统由共举”这体现了三主义的
(B)
A.民族主义C.民生主义
B.民权主义D.扶助农工
8.(安徽中考)有国才家,是最小大。
辛亥革命结束了封建帝制,立中华民国使主共和的观念深入人心。
9.(苏州中考)华民族的伟大复兴是近代以来亿万儿女共同理想。阅读材料,回答下列问题
材料一东西各国之强,皆以立宪法开会故。者为民共议政也人君与千百万合体安得不?吾行专制大臣数治其弱…今变新固计
(1)根据材料一,概括康有为认国弱的主要因素以及强具体张。
—康有为《请定立宪开国会折》
原因:君主专制(政体)。张维新变法,立宪行、开国会
材料二我们推倒满洲政府,从驱除人那一面说是民族革命颠覆君主体治并不把它分作两次去做。讲到的结果建立宪…外断能瓜中国只怕自己起来就可救了!所以定要由平 —孙中山《民族的、国社会家》(1906年2月日)
(2)根据材料二,指出孙中山“政治革命”的目并概括民权主义思想特点。 目的:建立民主宪政体(或创国、府)。特点把族革命和治结合起来权相,认为推翻清朝反动统具有双重意义
(3)综合上述材料,归纳康有为和孙中山思想的共同之处。反对君主专制,建立民政治;救亡图存(族复兴)。
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