云南省保山市第一中学(人教A版)高中数学必修五同步教学课件3.3.1第1课时二元一次不等式表示的平面区域_图文

3.3

二元一次不等式(组)与简单的线

性规划问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域
第1课时 二元一次不等式表示的平面区域

1.了解二元一次不等式的实际背景; 2.了解二元一次不等式的几何意义; 3.能正确地使用平面区域表示二元一次不等式.(难点)

一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于 企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来30 000元的收

益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.

上述问题应该用什么不等式模型来刻画呢?

二元一次不等式的有关概念 设用于企业贷款的资金为x元,用于个人贷款的 资金为y元.由资金总数为25 000 000元,得到

x + y ≤ 25 000 000.
1.二元一次不等式:



含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式.

由于预计企业贷款创收12%,个人贷款创收10%, 共创收30 000元以上,所以

(12 0 0)x +(10 0 0)y ≥ 30 000,

12x +10y 即 ≥ 3 000 000.



最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不 能是负值,所以

x ≥ 0,y ≥ 0.



2.二元一次不等式的解集:

满足二元一次不等式的x和y的取值构成有序数对
(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次 不等式的解集. 有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式的解集就可以看成直角坐标系内的点构成 的集合. 例如二元一次不等式x-y<6的解集 为{(x,y)|x-y<6}.

二元一次不等式与平面区域 以二元一次不等式 x - y < 6 的解为坐标的点的集合
( ? x,y)x - y < 6? 表示什么平面图形?

y

l:x? y ?6
O (0,-6) (6,0) x

x-y = 6 平面内的点被直线
x - y = 6 在直线

分成三类: y

上的点;

l:x? y ?6

在直线 x - y = 6 左上方

的区域内的点;
在直线 x - y = 6 右下方 的区域内的点.

O

(6,0)

x

(0,-6)

设点P(x,y1 )是直线l上的点, 选取点A(x,y2 ),使它的坐标 满足不等式x - y < 6,完成下表:

y
O

A( x, y2 )

l:x? y ?6

(6,0) x
P ( x, y1 )

(0,-6)

3 0 1 2 点 P 的纵坐标 y1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 点 A 的纵坐标 y2 >-9 >-8 >-7 >-6 >-5 >-4 >-3
-3 -2 -1

横坐标 x

当点A与点P有相同的横坐标时,它们的纵坐标

有什么关系?
据此说说直线l左上方点的坐标与不等式x-y<6有什么关 系?直线l右下方点的坐标呢? 点A的纵坐标大于点P的纵坐标. 我们发现,在平面直角坐标系中,以二元一次不等 式 x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方; 反之,直线x-y=6左上方点的坐标都满足不等式x-y <6.直线x-y=6右下方点的坐标满足不等式x-y>6.

因此,在平面直角坐标系中,不等式x-y<6表示 直线x-y=6左上方的平面区域.

y O

l:x? y ?6

(6,0) x

(0,-6)

不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的平面区域.
y O
l:x? y ?6

(6,0) x (0,-6)

直线x-y=6叫做这两个区域的边界. 这里,把直线x-y=6画成虚线,以表示区域不包括边界.

(1) 不等式Ax + By + C > 0表示直线Ax + By + C = 0某一侧所有点 组成的平面区域,不包括边界,直线画成虚线.

(2) 不等式Ax + By + C ≥ 0表示的平面区域为不等式Ax + By + C >0 表示的区域加上边界,直线以实线表示.

(3)区域确定:
对于Ax + By + C = 0同一侧的所有点(x,y),将 其坐标代入Ax + By + C,所得值的符号相同;

所以Ax + By + C > 0表示的平面区域只需要一个特殊点就能确定.

一般地,C ≠ 0时,常用点(0,0) 确定.

C = 0时常用点(0, 1)或(1,0)确定.



画出不等式 x + 4y < 4 表示的平面区域.

y
解:先作出边界 x + 4y = 4, 因为这条直线上的点都 不满足 x + 4y < 4, 所以 画成虚线.
0 - 4 = -4 < 0, 取原点(0,0),因为 0 + 4×

注意虚 实线

1 O

x ? 4y ? 4
x ? 4y ? 4

4

x

所以原点(0,0)在 x + 4y < 4 表示的平面区域内, 不等式 x + 4y < 4 表示的区域如图所示.

二元一次不等式表示平面区域的画法: 常用“直线定 界,特殊点定域”. (1)直线定界注意: “>0 (或<0) ”时, 直线画成虚线; “≥0(或≤0)”时,直线画成实线. (2)特殊点定域注意: 当C≠0时,常把原点作为特殊点; 当C=0时,可取坐标轴上其他的点.

1.不等式x–2y+6>0表示的区域在直线x–2y+6=0的( B ). (A)右上方 (B)右下方 (C)左上方 (D)左下方

2.不等式3x+2y–6≤0表示的平面区域是( D ). y y y y

O (A)

x

O (B)

x

O (C)

x

O (D)

x

3.画出不等式x≥1表示的平面区域. 解析: y

O x=1

x

4.画出不等式4x―3y≤12表示的平面区域. y 4x―3y-12=0 O x

1. 二元一次不等式表示的平面区域: 直线某一侧所有点组成的平面区域. 2. 判定方法: 直线定界,特殊点定域.

正直的人并不是渺小的,不要把谦虚和渺小、

妄自菲薄混为一谈。

——契诃夫


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