高中数学 第六章 第3讲 等比数列及其前n项和

第3讲

等比数列及其前 n 项和

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1=1,a5=16,则数列{an}前 7 项的和 为________. 解析 设数列{an}的公比为 q(q>0),前 n 项和为 Sn,由 a1=1,a5=16,得 a1?1-q7? a5 q4=a =16,所以 q=2,从而得 S7= =127. 1-q 1 答案 127 2.设数列{a2}前 n 项和为 Sn,a1=t,a2=t2,Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,则{an} n 是________数列,通项 an=________. 解析 由 Sn+2-(t+1)Sn+1+tSn=0,得 Sn+2-Sn+1=t(Sn+1-Sn),所以 an+2=tan
+1

an+2 a2 ,所以 =t,又a =t, an+1 1

所以{an}成等比数列,且 an=t· -1=tn. tn 答案 等比 tn

3.(2012· 泰州模拟)数列{an}为正项等比数列,若 a2=2,且 an+an+1=6an-1(n∈ N,n≥2),则此数列的前 4 项和 S4=________. 解析 由 a1q=2,a1qn-1+a1qn=6a1qn-2,得 qn-1+qn=6qn-2,所以 q2+q=6. 又 q>0,所以 q=2,a1=1. a1?1-q4? 1-24 所以 S4= = =15. 1-q 1-2 答案 15 1 4.已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn=t·n-2-5,则实数 t 的值为________. 5 1 1 4 解析 ∵a1=S1=5t-5,a2=S2-S1=5t,a3=S3-S2=4t,∴由{an}是等比数

?4 ? ?1 1? 列知?5t?2=?5t-5?×4t,显然 t≠0,所以 t=5. ? ? ? ? 答案 5 5.(2012· 南京模拟)已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·4=4,a1+a2+a3 a 1 =14,则满足 an·n+1·n+2≥8的最大正整数 n 的值为________. a a 解析 由等比数列的性质,得 4=a2·4=a2(a3>0),所以 a3=2,所以 a1+a2 a 3
2 ?a1q =2, =14-a3=12,于是由? ?a1(1+q)=12,

?a1=8, ? 解得? 1 ?q=2, ?

?1? ?1? ? 所以 an=8·2?n-1=?2?n-4. ? ? ? ?

1 ?1? ?1? 于是由 an·n+1·n+2=a3+1=?2?3(n-3)=?8?n-3≥8,得 n-3≤1,即 n≤4. a a n ? ? ? ? 答案 4 ?an+2? 2 ?-1,n∈N*,则 b2 6.(2013· 宿迁联考)设 a1=2,an+1= ,bn=? an+1 ?an-1? ________. ?a1+2? ?-1=3, 解析 由题意得 b1=? ?a1-1? ?an+1+2? ?an+2? ?-1=2? ?-1=2(bn+1)-1=2bn+1,∴bn+1+1=2(bn+ bn+1=? ?an+1-1? ?an-1? 1),故 bn+1+1 =2,故数列{bn+1}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列.∴bn bn+1
011=

+1=2n+1,∴bn=2n+1-1. 答案 22 012-1 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分)

7.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*,且 a≠3. (1)设 bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若 an+1≥an,n∈N*,求 a 的取值范围. 解 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,

即 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n), ∴{Sn-3n}是等比数列, 因此,所求通项公式为 bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*① (2)由①知 Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,于是,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=2×3n-1+(a-3)2n-2, ? ?3? ? ? an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2=2n-2?12·2?n-2+a-3?, ? ? ? ? ?3? ? 当 n≥2 时,an+1≥an?12·2?n-2+a-3≥0?a≥-9,又 a2=a1+3>a1.综上, ? ? 所求的 a 的取值范围是[-9,+∞). 8.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由已知有 a1+a2=4a1+2,解得 a2=3a1+2=5,

故 b1=a2-2a1=3.又 an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是 an+2-2an+1=2(an+1-2an),即 bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知等比数列{bn}中 b1=3,公比 q=2,

an+1 an 3 所以 an+1-2an=3×2n-1,于是 n+1-2n=4, 2
?an? 1 3 因此数列?2n?是首项为2,公差为4的等差数列, ? ?

an 1 3 3 1 n= +(n-1)× = n- , 2 2 4 4 4 所以 an=(3n-1)·n-2. 2 分层训练 B 级 创新能力提升

1.已知{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·3=2a1,且 a4 与 2a7 的等差 a 5 中项为4,则 S5=________. 解析 设数列{an}的公比为 q,则由等比数列的性质知,a2·3=a1·4=2a1,即 a a a4=2.

5 5 由 a4 与 2a7 的等差中项为4知,a4+2a7=2×4, 5 1? a7 1 1 ? 1 ? ∴a7=2?2×4-a4?=4.∴q3=a =8,即 q=2. ? 4 1? ? 16?1-25? ? ? 1 ∴a4=a1q3=a1×8=2,∴a1=16,∴S5= 1 =31. 1-2 答案 31 2.(2011· 江苏卷)设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比 数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值为________. 解析 由题意知 a3=q, 5=q2, 7=q3 且 q≥1, 4=a2+1, 6=a2+2 且 a2≥1, a a a a 3 3 那么有 q2≥2 且 q3≥3.故 q≥ 3,即 q 的最小值为 3. 答案 3 3

3.已知数列{xn}满足 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*),且 x1+x2+x3+?+x100=1,则 lg(x101+x102+?+x200)=________. 解析 由 lg xn+1=1+lg xn(n∈N*)得 lg xn+1-lg xn=1, ∴ xn+1 =10, ∴数列{xn} xn

是公比为 10 的等比数列,∴xn+100=xn· 100,∴x101+x102+?+x200=10100(x1 10 +x2+x3+?+x100)=10100,∴lg(x101+x102+?+x200)=lg 10100=100. 答案 100 4.(2013· 盐城调研)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=2,b1=1,a2=b2,2a4=b3,且存在常数 α,β,使得 an=logαbn+β 对每 一个正整数 n 时成立,则 αβ=________. 解析 由题意,可设 an =2+(n-1)d,bn =qn
-1

?a2=b2, ,于是由 ? 得 ?2a4=b3,

?2+d=q, ?d=2?d≠0?, ? 解得? 所以 an=2n, n=22n-2, b 代入 an=logαbn 2?2+3d?=q2, q=4, ? ? + β , 得 2n = (2n - 2)logα2 + β , 即 2n(1 - logα2) = β - 2logα2 , 所 以 ?logα2=1, ? ?β-2logα2=0,

?α=2, 解得? 故 αβ=22=4. ?β=2. 答案 4 5. (2012· 镇江统考)已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 a2·4 a =65,a1+a5=18. (1)求数列{an}的通项公式 an. (2)若 1<i<21,a1,ai,a21 是某等比数列的连续三项,求 i 的值; (3)是否存在常数 k,使得数列{ Sn+kn}为等差数列?若存在,求出常数 k; 若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 a1+a5=a2+a4=18,又 a2·4=65, a 所以 a2,a4 是方程 x2-18x+65=0 的两个根. 又公差 d>0,所以 a2<a4.所以 a2=5,a4=13. ?a1+d=5, 所以? 解得 a1=1,d=4.所以 an=4n-3. ?a1+3d=13, (2)由 1<i<21, 1, i, 21 是某等比数列的连续三项, a a a 所以 a1·21=a2, 1· a i 即 81 =(4i-3)2,解得 i=3. (3)由(1)知,Sn=n· 1+ n?n-1? 4=2n2-n. 2 ·

假设存在常数 k,使数列{ Sn+kn}为等差数列, 由等差数列通项公式,可设 Sn+kn=an+b, 得 2n2+(k-1)n=an2+2abn+b 恒成立,可得 a=2,b=0,k=1.所以存在 k =1 使得{ Sn+kn}为等差数列. S2n 6. (2012· 苏北四市调研二)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, S (n∈N*)是非零常数, 若
n

则称该数列为“和等比数列”. (1)若数列{2bn}是首项为 2, 公比为 4 的等比数列, 试判断数列{bn}是否为“和 等比数列”; (2)若数列{cn}是首项为 c1,公差为 d(d≠0)的等差数列,且数列{cn}是“和等 比数列”,试探究 d 与 c1 之间的关系. 解 (1)因为数列{2bn}是首项为 2,公比为 4 的等比数列,所以 2bn=2·n-1= 4

22n-1,因此,bn=2n-1,设数列{bn}前 n 项和为 Tn,则 Tn=n2,T2n=4n2,所 T2n 以 T =4.因此数列{bn}是“和等比数列”.
n

R2n (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Rn,且 R =k(k≠0),则由{cn}是等差数列,得 Rn
n

2n?2n-1? d 2 n?n-1? 2n?2n-1? R2n =nc1+ 2 d,R2n=2nc1+ d,所以 R = =k. 2 n?n-1? n nc1+ 2 d 2nc1+ 对于 n∈N*都成立,化简得(k-4)dn+(k-2)(2c1-d)=0, ??k-4?d=0, 则有? 因为 d≠0,所以 k=4,d=2c1. ??k-2??2c1-d?=0. 因此,d 与 c1 之间的等量关系为 d=2c1. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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