www.js663.com:河北省五校2015届高三上学期摸底数学试卷(文科)

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河北省五校 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},则?NM=() A.{2,3,4} B.{0,2,3,4,5} C.{0,5} D.{3,5} 2. (5 分)“(x﹣1) (y﹣2)≠0”是“x≠1 或 y≠2”成立的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件

3. (5 分)已知 a=log34,b=( ) ,c= A.a>b>c B.b>a>c

0

10,则下列关系中正确的是() C.a>c>b
2

D.c>a>b

4. (5 分)在等差数列{an}中,若 a2,a10 是方程 x +12x﹣8=0 的两个根,那么 a6 的值为: () A.﹣12 B.﹣6 C.12 D.6 5. (5 分)已知 M(﹣2,0) 、N(2,0) ,|PM|﹣|PN|=4,则动点 P 的轨迹是() A.双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D.双曲线右边一支

6. (5 分)已知实数 x,y 满足 A.10
x

,则 z=4x+y 的最大值为() C. 2 D.0

B. 8
3

7. (5 分)f(x)=2 +x 的零点所在区间为() A.(0,1) B.(﹣1,0) C.(1,2)

D.(﹣2,﹣l)

8. (5 分)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是() A. B. C. D.

9. (5 分)已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B. 2 C.

,则| |=() D.1

10. (5 分)若 m+n=1(mn>0) ,则 + 的最小值为() A.1 B. 2 C. 3 D.4

11. (5 分)设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C. 若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α 12. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为() A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)抛物线 的焦点坐标是.

14. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是.

15. (5 分) 已知定义在 R 上的函数 ( f x) , 满足 ( f 1) = , 且对任意的 x 都有 ( f x+3) = 则 f=. 16. (5 分)在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为. 3 ①函数 y=2x ﹣3x+1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R,若 x+y≠0,则 x≠1,或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x +y =1,则
2 2



的最大值为



④若△ ABC 为钝角三角形,则 sinA<cosB.

三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn= +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. sinx?cos x+2cos x,x∈R.
2

18. (12 分)已知函数 f(x)=2 (1)求 f(x)的最小正周期;

(2)已知 f(

)= ,α∈,求 cos(α+

)的值.

19. (12 分)在△ ABC 中,已知内角 A= (1)若 x= ,求边 AC 的长;

,边 BC=2

.设内角 B=x,面积为 y.

(2)求 y 的最大值. 20. (12 分) 如图, 底面是正三角形的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, D 是 BC 的中点, AA1=AB=2. (Ⅰ)求证:A1C∥平面 AB1D; (Ⅱ)求的 A1 到平面 AB1D 的距离.

21. (12 分)已知椭圆 E 的两个焦点分别为(﹣1,0)和(1,0) ,离心率 e=



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=x+m(m≠0)与椭圆 E 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴 于点 T,当 m 变化时,求△ TAB 面积的最大值. 22. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,﹣1) ,求曲线 y=f(x)在点 P 的切线方程; (2)若 f(x)≤0 恒成立求 m 的取值范围; (3)求函数 f(x)在区间上最大值.

河北省五校 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={2,3,4},N={0,2,3,4,5},则?NM=() A.{2,3,4} B.{0,2,3,4,5} C.{0,5} D.{3,5} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合补集的定义即可得到结论.

解答: 解:∵M={2,3,4},N={0,2,3,4,5}, ∴?NM={0,5}, 故选:C 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)“(x﹣1) (y﹣2)≠0”是“x≠1 或 y≠2”成立的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 考查其逆否命题:“x=1 且 y=2”可以推出“(x﹣1) (y﹣2)=0”,但反之不能,即可 得出. 解答: 解:考查其逆否命题:“x=1 且 y=2”可以推出“(x﹣1) (y﹣2)=0”,但反之不能, ∴逆否命题为充分不必要条件,即原命题也是充分不必要条件, 故选:A. 点评: 本题考查了逆否命题与充要条件,属于基础题.

3. (5 分)已知 a=log34,b=( ) ,c= A.a>b>c B.b>a>c

0

10,则下列关系中正确的是() C.a>c>b D.c>a>b

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数函数的性质,分别求出 a,b,c 的范围,即可得到结论. 解答: 解:a=log34>1,b=( ) =1,c=
0

10<0,

∴a>b>0, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 利用对数函数和指数函数的性质是解决此类问题 的关键.比较基础. 4. (5 分)在等差数列{an}中,若 a2,a10 是方程 x +12x﹣8=0 的两个根,那么 a6 的值为: () A.﹣12 B. ﹣6 C. 12 D. 6 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据韦达定理求得 a2+a10 的值,进而根据等差中项的性质求得 a6. 2 解答: 解:∵a2,a10 是方程 x + 12x﹣8=0 的两个根, ∴a2+a10=﹣12 ∵2a6=a2+a10, ∴a6=﹣6
2

故选 B 点评: 本题主要考查了等差数列的性质. 等差中项在解决等差数列问题时经常被用到, 应 熟练记忆并灵活运用. 5. (5 分)已知 M(﹣2,0) 、N(2,0) ,|PM|﹣|PN|=4,则动点 P 的轨迹是() A.双曲线 B. 双曲线左边一支 C. 一条射线 D.双曲线右边一支 考点: 双曲线的定义. 专题: 数形结合. 分析: 由于动点 P 满足|PM|﹣|PN|=4|=|MN|,那么不符合双曲线的定义(定义要求||PM|﹣ |PN||<|MN|) ,则利用几何性质易得答案. 解答: 解:因为|MN|=4,且|PM|﹣|PN|=4, 所以动点 P 的轨迹是一条射线. 故选 C. 点评: 本题考查双曲线定义.

6. (5 分)已知实数 x,y 满足 A.10 B. 8

,则 z=4x+y 的最大值为() C. 2 D.0

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出足约束条件 即可求出 4x+y 的最大值. 解答: 解:已知实数 x、y 满足 , 的平面区域, 再将平面区域的各角点坐标代入进行判断,

在坐标系中画出可行域,如图中阴影三角形, 三个顶点分别是 A(0,0) ,B(0,2) ,C(2,0) , 由图可知,当 x=2,y=0 时, 4x+y 的最大值是 8. 故选:B.

点评: 本题考查线性规划问题,难 度较小.目标函数有唯一最优解是最常见的问题,这 类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解. 7. (5 分)f(x)=2 +x 的零点所在区间为() A.(0,1) B.(﹣1,0) C.(1,2)
x 3

D.(﹣2,﹣l)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式求得 f(﹣1)?f(0)<0,根据函数零点的判定定理,可得 f(x) x 3 =2 +x 的零点所在区间. 解答: 解:∵连续函数 f(x)=2 +x ,f(﹣1)= ﹣1=﹣ ,f(0)=1+0=1, ∴f(﹣1)?f(1)=﹣ ×1<0,根据函数零点的判定定理,f(x)=2 +x 的零点所在区间为 (﹣1,0) , 故选 B. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用, 连续函数只有在某区间的端点处函数 值异号,才能推出此函数在此区间内存在零点,属于基础题. 8. (5 分)若将函数 f(x)=sin2x+cos2x 的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称, 则 φ 的最小正值是() A. B. C. D.
x 3 x 3

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简, 由所得到的图象关于 y 轴对称, 根据对 称轴方程求出 φ 的最 小值. 解答: 解:函数 f(x)=sin2x+cos2x= 所得图象是函数 y= sin(2x+ ﹣2φ) , sin(2x+ )的图象向右平移 φ 的单位,

图象关于 y 轴对称,可得 即 φ=﹣ ,

﹣2φ=kπ+



当 k=﹣1 时,φ 的最小正值是



故选:C. 点评: 本题考查三角函数的图象变换,考查正弦函数图象的特点,属于基础题.

9. (5 分)已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B. 2 C.

,则| |=() D.1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 将|2 ﹣ |= 平方,然后将夹角与| |=1 代入,得到| |的方程,解方程可得. ,

解答: 解:因为 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= 所以 4
2

﹣4 ? +

2

=10,即| | ﹣2 (舍) ,

2

| |﹣6=0,

解得| |=3

或| |=﹣

故选 A. 点评: 本题解题的关键是将模转化为数量积, 从而得到所求向量模的方程, 利用到了方程 的思想.

10. (5 分)若 m+n=1(mn>0) ,则 + 的最小值为() A.1 B. 2 C. 3 D.4

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵m+n=1(mn>0) , ∴m,n>0. ∴ + =(m+n) =2+ =4,当且仅当 m=n= 取等号.

故选:D. 点评: 本题考 查了“乘 1 法”和基本不等式的性质,属于基础题. 11. (5 分)设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C. 若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断 A、B、D;由面面垂直的性质定理 判断 C. 解答: 解:A 不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面直线;B 不对,由面面平行的判定定理知少相交条件; C 不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线; 故选:D. 点评: 本题考查了线面的位置关系, 主要用了面面垂直和平行的定理进行验证, 属于基础 题. 12. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为() A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 构造函数 g(x)=f(x)﹣2x﹣4,利用导数研究函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则∵函数 g(x)单调递增, ∴由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 点评: 本题主要考查不等式的求解, 利用条件构造函数, 利用导数研究函数的单调性是解 决本题的关键. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)抛物线 的焦点坐标是(0,1) .

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 抛物线方程即 x =4y,从而可得 p=2, =1,由此求得抛物线焦点坐标. 解答: 解:抛物线 即 x =4y,
2 2

∴p=2, =1,故焦点坐标是(0,1) , 故答案为 (0,1) . 点评: 本题主要考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,属于基础题.

14. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是



考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图复原几何体为一三棱锥,底面三角形一边为 2,此边上的高为 ,三棱 锥的高为 1,根据椎体体积公式计算即可. 解答: 解:由三视图复原几何体为一三棱锥,底面三角形一边为 2,此边上的高为 , 三棱锥的高为 1 所以 V= Sh= 故答案为: 点评: 本题考查三视图求几何体的体积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何 体是解题的关键. 1 5. (5 分) 已知定义在 R 上的函数 ( f x) , 满足 ( f 1) = , 且对任意的 x 都有 ( f x+3) = 则 f=﹣5. 考点: 函数的周期性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件可证函数的周期为 6,可得=f(4)= 解答: 解:∵对任意的 x 都有 f(x+3)= ∴f(x+6)= =f(x) , , ,代值 可得. ,

∴函数 f(x)为周期函数,且周期 T=6, ∴f=f(335×6+4)=f(4) =f(1+3)= =﹣5

故答案为:﹣5 点评: 本题考查函数的周期性,得出函数的周期为 6 是解决问题的关键,属基础题. 16. (5 分)在下列给出的命题中,所有正确命题的序号为①②③. 3 ①函数 y=2x ﹣3x+1 的图象关于点(0,1)成中心对称; ②对?x,y∈R,若 x+y≠0,则 x≠1,或 y≠﹣1; ③若实数 x,y 满足 x +y =1,则
2 2

的最大值为



④若△ ABC 为钝角三角形,则 sinA<cosB. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题考查的知识点是判断命题真假, 比较综合的考查了函数的性质, 我们可以根据 对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断,可以得到正确的结论. 3 解答: 解:①函数 y=2x ﹣3x+1=的图象关于点(0,1)成中心对称,假设点(x0,y0) 在函数图象上,则其关于①点(0,1)的对称点为(﹣x0,2﹣y0)也满足函数的解析式, 则①正确; ②对?x,y∈R,若 x+y≠0,对应的是直线 y=﹣x 以外的点,则 x≠1,或 y≠﹣1,②正确; ③若实数 x, y 满足 x +y =1, 则 2,0)连线的斜率,其最大值为
2 2

= ,③正确;

, 可以看作是圆 x +y =1 上的点与点 (﹣

2

2

④若△ ABC 为钝角三角形,若 A 为锐角,B 为钝角,则 sinA>cosB,④错误. 故答案为:①②③ 点评: ③的判断中使用了数形结合的思想,是数学中的常见思想,要加深体会. 三、解答题(共 70 分) 17. (10 分)知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=5,S15=225. (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)设 bn= +2n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等差数列的前 n 项和;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ) 设出等差数列的首项和等差, 根据等差数列的通项公式及前 n 项和的公式把 已知条件 a3=5,S15=225 化简,得到关于首项和公差的两个关系式,联立两个关系式即可求 出首项和公差,根据首项和公差写出数列的通项公式即可; (Ⅱ)把求出的通项公式 an 代入 bn= +2n 中,得到 bn 的通项公式,然后列举出数列的各

项,分别利用等差数列及等比数列的前 n 项和的公式化简后得到数列{bn}的前 n 项和 Tn 的 通项公式. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}首项为 a1,公差为 d,

由题意,得



解得



∴an=2n﹣1; (Ⅱ)
2


n

∴Tn=b1+b2+…+bn= (4+4 +…+4 )+2(1+2+…+n)

=

=



点评: 此题考查学生灵活等差数列的通项公式及前 n 项和的公式化简求值, 灵活运用等比 数列的前 n 项和的公式化简求 值,是一道综合题. 18. (12 分)已知函数 f(x)=2 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)已知 f( sinx?cosx+2cos x,x∈R. )的值.
2

)= ,α∈,求 cos(α+

考点: 三角函数中的恒等变换应用; 两角和与差的余弦函数; 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用三角恒等变换化简 f(x) ,求出它的最小正周期; (2)由 f( )= 求出 sin(α+ )的值. sinx?cosx+2cos x
2

)的值,考虑 α 的取值范围,求出 α+

的取值范围,

从而求出 cos(α+

解答: 解: (1)f(x)=2 = sin2x+cos2x+1 =2( sin2x+ cos2x)+1 )+1,x∈R

=2sin(2x+

∴f(x)的最小正周期为 T=

=π.

(2)∵f( =2sin(α+

)=2sin+1 )+1

= , ∴ ∵α∈, ∴ ∴ ∴ ∴ , , 时, . , ,

点评: 本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题, 解题时应注意三角函数 的化简以及由值求角和由角求值时角的范围,是中档题. 19. (12 分)在△ ABC 中,已知内角 A= (1)若 x= ,求边 AC 的长;

,边 BC=2

.设内角 B=x,面积为 y.

(2)求 y 的最大值. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件利用正弦定理可得 (2) 由三角 形内家和公式可得 0<B< ﹣ )+ .再由﹣ <2x﹣ < = ,由此求得 AC 的值. sin (2x

, 由正弦定理可得 AC=4sinx, 求得 y=2

,利用正弦函数的定义域和值域求得 y 的最大值. ,边 BC=2 = ,内角 B=x, .

解答: 解: (1)△ ABC 中,已知内角 A= 故由正弦定理可得 = ,即

,解得 AC=2

(2)由三角形内家和公式可得 0<B< ∴y= ?AC?BC?sinC=4 6sinxcosx+2 再由﹣ sin x=2 <
2

,由正弦定理可得 AC=4sinx, ﹣x)=4 sinx( cosx+ sinx)

sinx?sin( sin(2x﹣

)+

. = 时,y 取得最大值为 2 + =3 .

<2x﹣

,可得当 2x﹣

点评: 本题主要考查正弦定理,两角和差的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中 档题. 20. (12 分) 如图, 底面是正三角形的直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, D 是 BC 的中点, AA1=AB=2. (Ⅰ)求证:A1C∥平面 AB1D; (Ⅱ)求的 A1 到平面 AB1D 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 A1B 交 AB1 于 O,连接 OD,可得 OD∥A1C,即可证明 A1C∥平面 AB1D; (Ⅱ)利用 ,求 A1 到平面 AB1D 的距离.

解答: (Ⅰ)证明:连接 A1B 交 AB1 于 O,连接 OD, 在△ BA1C 中,O 为 BA1 中点,D 为 BC 中点, ∴OD∥A1C…(3 分) ∵OD?面 AB1D,∴A1C∥平面 AB1D…(6 分) (Ⅱ)解:由①可知 A1C∥平面 AB1D, ∴点 A1 到平面 AB1D 的距离等于点 C 到平面 AB1D 的距离…(8 分) ∵△AD1B 为 Rt△ , ∴ 设点 C 到面 AB1D 的距离为 h,则 解得 …(12 分) …(10 分) 即

点评: 本题考查线面平行,考查点 C 到面 AB1D 的距离,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题.

21. (12 分)已知椭圆 E 的两个焦点分别为(﹣1,0)和(1,0) ,离心率 e=



(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l:y=x+m(m≠0)与椭圆 E 交于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分线交 x 轴 于点 T,当 m 变化时,求△ TAB 面积的最大值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)根据椭圆的焦点坐标,离心率,求出 a,c,可求 b,即可求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y=x+m 代入椭圆方程,求出|AB|,|MT|,可得△ TAB 的面积,配方,即可求出 三角形面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知椭圆的焦点在 x 轴上,c=1, = ∴a= ,b=1,﹣﹣﹣(2 分) ﹣﹣﹣(4 分)
2 2



∴椭圆 E 的方程为

(Ⅱ)y=x+m 代入椭圆方程,消去 y 得 3x +4mx+2m ﹣2=0 ∵直线 l 与椭圆有两个交点, 2 ∴△>0,可得 m <3(*)﹣﹣﹣(6 分) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴x1+x2=﹣ ∴弦长|AB|= ,x1x2= |x1﹣x2|= ,

,﹣﹣﹣(8 分)

AB 中点 M(﹣

, ) ,设 T(x,0) ,∴kAB?kMT=﹣1,





∴x=﹣ , ∴T(﹣ ,0) ,|TM|= ∴S= |AB||MT|= ∵m <3,∴m = 时,Smax=
2 2

﹣﹣﹣(11 分)

﹣﹣(14 分)

点评: 待定系数法是解决椭圆标准方程的关键, 直线与圆锥曲线联立, 是解决弦长问题的 常用方法. 22. (12 分)已知函数 f(x)=lnx﹣mx(m∈R) . (1)若曲线 y=f(x)过点 P(1,﹣1) ,求曲线 y=f(x)在点 P 的切线方程;

(2)若 f(x)≤0 恒成立求 m 的取值范围; (3)求函数 f(x)在区间上最大值. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;压轴题;导数的综合应用. 分析: (1)由 f(x)过点 P(1,﹣1)可得﹣1=ln1﹣m,从而解出 m=1,进而求曲线 y=f (x)在点 P 的切线 方程; (2)原式可化为 lnx﹣mx≤0 恒成立,结合 x>0 可化为 的最大值,利用导数求最值; (3)由 讨论,m 的取值,以确定函数函数 f(x)在区间上的单调 恒成立,从而化为求

性,从而求函数在区间上的最大值. 解答: 解: (1)∵f(x)过点 P(1,﹣1) , ∴﹣1=ln1﹣m,∴m=1, ∴f(x)=lnx﹣x, , f'(1)=0, ∴过点 P(1,﹣1)的切线方程为 y=﹣1. (2)∵f(x)≤0 恒成立, 即 lnx﹣mx≤0 恒成立, ∴mx≥lnx, 又∵f(x)定义域为(0,+∞) , ∴ 设 恒成立; ,





∴当 x=e 时,g'(e)=0 当 0<x<e 时,g'(x)>0,g(x)为单调增函数, 当 x>e 时,g'(x)<0,g(x)为单调减函数, ∴ ∴当 (3)∵ , 时,f(x)≤0 恒成立. ,

①当 m≤0 时,f'(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)为单增函数, ∵在 x∈上,f(x)max=f(e)=1﹣me;

②当 当 当 ∴x∈上,

,即

时,

时,f'(x)>0,f(x)为单增函数, 时,f'(x)<0,f(x)为单减函数, ; 在 为单减函数,

③当 m>1 时,即 ∴x∈上,f(x)max=f(1)=﹣m; ④当 f(x)在 ,即 时, 为单增函数,

∴x∈时,f(x)max=f(e)=1﹣me; 综上所述, 当 当 时,f(x)max=f(e)=1﹣me, 时,

当 m>1 时,f(x)max=f(1)=﹣m. 点评: 本题考查了导数的综合应用, 恒成立问题一般要转化为函数的最值问题, 本题求闭 区间上的最值问题时用到了分类讨论的数学思想, 是本题的难点, 要注意选择恰当的标准分 类,属于难题.


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