2.2.1对数与对数运算_图文

新疆
源头学子 小屋
http://w ww .xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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引入
探究三个数2、3、8之间存在的运算关系:

(1)两个数2、3通过什么运算可以得到8?如何表示? 答:2的3次方等于8,是乘方运算,表示为:

2 ?8
3

(2)两个数8、3通过什么运算可以得到2?如何表示? 答:8的3次方根等于2,是开方运算,表示为:
3

8?2

(谁的3次方等于8)

(3)两个数2、8通过什么运算可以得到3?如何表示? 答:以2为底8的对数等于3,是对数运算,表示为:

(2的几次方等于8?或8是2的几次方?)log

2

8?3

对 数
一般地,如果 a x ? N ?a ? 0, a ? 1?,那么数x 叫做以a为底N的对数,记作

x ? loga N ,
其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

新课教学 常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作 lg N 自然对数: 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… .

为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。 并且把 loge N 简记作 lnN 。

新课教学 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:
x a ? N ? x ? loga N. 当a>0,a≠1时,

例如: 4 2 ? 16
2

? log4 16 ? 2

10 ? 100 ? log10 100 ? 2

4 ?2
10?2 ? 0.01

1 2

?

1 log 4 2 ? 2

? log10 0.01 ? ?2

探究:
1. 是不是所有的实数都有对数? logaN=b中的N可以取哪些值?

负数与零没有对数,即:N>0 2. 根据对数的定义以及对数与指数的关系, loga1=? logaa=?
loga1=0, logaa=1

3. 对数恒等式
在ab=N 中, b=logaN,则有

a ? N ? log a N ? b
b

(a>0, a≠1)

a

log a N

? N.

范例
例1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指
数式: (1) 5 =625 ;
?6
4

解: (1) log5 625? 4;
1 ? ?6; (2) log 2 64 (3) log1 5.73 ? m; 1 ?4 (4) ( ) ? 16; 2 ; (5) 10?2 ? 0.01
2.303 e ? 10. (6)

1 (2) 2 = ; 64 1 m ( ) ? 5.73 (3)
3

3

(4) log1 16 ? ?4 (5) lg 0.01 ? ?2; (6) ln 10 ? 2.303 .
2

范例
例2.求下列各式中x的值: 2 2 (1) log 64 x= ? ; 解: (1)因为 log 64 x= ? ; 3 3
- 2 3 3 - 2 3

1 所以 x=64 =(4 ) =4 = ; 16 (2) logx 8=6; (2)因为 logx 8=6, 所以 x6=8,
-2

x=8 =(2 ) =2 = 2; x =x; (3)因为 lg100 (3) lg100 所以 10 ? 100, =x,

1 6

1 3 6

1 2

10x ? 102 , 于是 x ? 2 2 - ln e ? x. (4)因为 -ln e2 ? x,所以 ln e2 ? -x, (4)
e2 ? e? x

于是 x=-2.

思考:求log(1-2x)(3x+2)中的x的取值范围.
解: 由题意得 2 1 ? ?-3<x<2. ?? ?x≠0 ? 1 ? ?x<2 1 - 2x>0 ? ? ? ?1-2x≠1 ??x≠0 ? ? 2 ?3x+2>0 ? ?x>-3

2 1 所以 x 的取值范围是{x|- <x< 且 x≠0}. 3 2

问题提出:
? 对数源于指数,对数和指数式怎样互化的?

? 指数与对数都是一种运算,而且它们互为 逆运算,指数运算有一系列性质,那么对 数运算有那些性质呢?

知识探究(一):积与商的对数
? 思考1:求下列三个对数的值:log 2 32 , log2 8,log2 4 . 你能发现这三个对数之间有哪些内在联系? ? 思考2:将 log2 32 ? log2 4 ? log2 8(log2 32 ? log2 4 ? log2 8) 推广到一般情形有什么结论?
? 思考3:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,你能证明 M (log ( ) ? log a M ? log a N ) log ( M ? N ) ? log M ? log N 等式 a a a a N ? 成立吗? ? 思考4:若a>0,且a≠1, M1, M 2 ,…, M n 均大于0,则
loga (M1M 2 M3…M n ) ? ?

新课教学 证明: (1)设 loga M ? p, loga N ? q, 由对数的定义可以得:

M ?a , N ?a
p

q

∴MN= a 即证得

p

? a ? a p ? q ? loga MN ? p ? q
q

loga (MN) ? loga M ? loga N

新课教学 证明: (2)设 loga M ? p, loga N ? q, 由对数的定义可以得:

M ?a , N ?a
p

q

M ? ∴ N
即证得

a M p ?q ?a ? log a ? p?q q N a
M log a ? log a M ? log a N N

p

知识探究(二):幂的对数
? 思考1: log2 3 和 般情形呢?
log 2 81有什么关系?推广到一

? 思考2:如果a>0,且a≠1,M>0,你有什么方 n log M ? n loga M 成立. 法证明等式 a
? 思考3: 吗? n log ? 思考4:如果a>0,且a≠1,M>0,则 a M 等于什么?
log2 x2 ? 2log2 x 对任意实数 x 恒成立

新课教学 证明:

(3)设 loga M ? p,
由对数的定义可以得:M

?a ,
p
n

∴ M ?a
n

np

? loga M ? np

即证得

loga M n ? n loga M(n? R)

上述关于对数运算的三个基本性质如 何用文字语言描述? ? 两数积的对数,等于各数的对数的和; ? 两数商的对数,等于被除数的对数减去除数 的对数;

? 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数.

新课教学 其他重要公式1:

log a m

n N ? log a N m
n

n 证明:设 logam N ? p,

n m p N ? ( a ) , 由对数的定义可以得:

N ?a
n

mp

?N ?a
n

m p n

m ? log a N ? p n

即证得

log a m

n N ? log a N m

新课教学
其他重要公式2:

logc N (a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) loga N ? logc a
由对数的定义可以得: N ? a p ,

证明:设 loga N ? p

? logc N ? logc a
logc N ? p? logc a

p

? logc N ? p logc a

logc N 即证得 loga N ? logc a

这个公式叫做换底公式

其他重要公式3:

1 loga b ? a, b ? (0,1) ? (1,??) logb a
logc N 证明:由换底公式 loga N ? logc a logb b loga b ? 取以b为底的对数得: logb a 1 logb b ? 1 ? loga b ? logb a
还可以变形,得 loga b ? logb a ? 1

范例
例3.用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
(2) loga x2 y
3

xy (1)log ; a z

xy ? log a ( xy ) ? log a z 解: (1) log a z ? loga x ? loga y ? loga z

z

(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

范例
例4.计算:
(1) log2 (25 ? 47 ) (2) log9 27

(3) log2 3 ? log3 7 ? log7 8

范例

(1) log2 (25 ? 47 )

解: (1) log2 (25 ? 47 ) ? log2 25 ? log2 47

? log2 25 ? log2 214
= 5+14 = 19 (2) log9 27 (2) log9 27 ? log32 33

3 3 ? log 3 3 ? 2 2

范例
(3) log2 3 ? log3 7 ? log7 8 解: (3) log2 3 ? log3 7 ? log7 8

lg 3 lg 7 lg 8 ? ? ? lg 2 lg 3 lg 7

lg 2 ? lg 2 3 lg 2 ? lg 2
=3

3

讲解范例

7 (1) lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 例5计算: 3

解法一:

解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg( 2 ? 3 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

讲解范例
lg 243 例5计算: ( 2) lg 9
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 ( 3) lg1.2

5 lg 3 lg 243 lg 35 5 解: ( 2) ? ? ? 2 2 lg 3 lg 9 lg 3 2
lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 2 3 ? 3 lg(10) ( 3) ? 3 ? 22 lg1.2 lg 10 3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) 3 2 ? ? 2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1
1 3 2 1 2

课堂练习
1.求下列各式的值: (1)log2 6 ? log2 3 (2)lg 5 ? lg 2

?1

?1

1 ?0 (3)log 5 3 ? log 5 3
(4)log3 5 ? log3 15 ? ?1

课堂练习
2.用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1) lg( xyz) =lgx+lgy+lgz;

xy (2) lg =lgx+2lgy-lgz; z 3 xy 1 =lgx+3lgy- lgz; (3) lg 2 z
x 1 (4)lg 2 ? lg x ? 2 lg y ? lg z y z 2

2

课堂小结
(1)对数的概念:对数、底数、真数;

常用对数;
自然对数。 (2)对数的运算: 积、商、幂的对数运算法则;

3个重要公式。

例5 20世纪30年代,里克特(C.F.Richter)制订 了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪 衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的 地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震 级M,其计算公式为 M=lgA-lgA0 其中,A是被测地震的最大振幅,A0是“标准地震” 的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实 际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100千米的 测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的 振幅是0.001,计算这次地震的振级(精确到0.1) (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算7.6级地 震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍?

解:(1)
M ? lg 20 ? lg 0.001
20 4 ? lg ? lg 20000 ? lg 2 ? lg10 ? 4.3 0.001
因此,这是一次约为里氏4.3级 的地震。

(2)由M=lgA-lgA0可得
A A M ? lg ? ? 10M ? A ? A0 ?10M A0 A0

当M=7.6时,地震的最大振幅为 A ? A ?107.6 ; 1 0 当M=5时,地震的最大振幅为 所以,两次地震的最大振幅之比是
A2 ? A0 ?105 ;

答:7.6级地震的最大振幅大约是5级地 震的最大振幅是398倍.

A1 A0 ?107.6 7.6?5 2.6 ? ? 10 ? 10 ? 398 5 A2 A0 ?10

例6 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产 生放射性碳14,碳14的衰变极有规律,其精确性可以 称为自然界的“标准时钟”.动植物在生长过程中衰 变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补充,所 以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变. 死亡后的动植物,停止了与外界环境的相互作用,机 体中原有的碳14按确定的规律衰减,我们已经知道 其“半衰期”为5730年. 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量 约占原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代.

解:因为生物体内碳14含量P与死亡年 t 数t之间的关系为: 1 5730 P?( ) 2
写成对数的形式为:

t ? log
5730

设生物体死亡时,体内每克组织中的碳14的含 量为1;湖南长沙马王堆汉墓女尸中碳14的残 留量约占原始含量的76.7%,即P=0.767,那么
t ? log
1 5730 2

1 2

P

0.767 ? 2193

所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址.


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