2018年高中数学人教版选修2-3课件:2.3.2 离散型随机变量的方差_图文

?2.3.2 离散型随机变量的方差 ? 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差和标准 差的概念和意义. ? 2.能计算简单的离散型随机变量的方差和标准差, 并能解决实际问题. ? 3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差 的求法. ? A,B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大 的产品时,出次品的概率如下表: A 机床 次品数 X1 P 次品数 X2 P 0 0.7 0 0.8 1 2 0.2 0.06 B 机床 1 0.06 2 0.04 3 0.04 3 0.10 ? [问题1] 试求E(X1),E(X2). ? [提示1] E(X1)=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04 =0.44. ? E(X2)=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. ? [问题2] 由E(X1)和E(X2)的值说明了什么? ? [提示2] E(X1)=E(X2). ? [问题3] 试想利用什么指标可以比较加工质量? ? [提示3] 样本方差. 离散型随机变量的方差与标准差的概念 ? 1.方差的定义:设离散型随机变量X的分布列为: X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn ? 则(xi-E(x))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值 E(X)的偏 n ? (xi-E(X))2pi i=1 ?离程度,而D(X)=____________________为这些偏 离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X) 方差 的平均偏离程度.称 D(X)为随机变量X的 __________. n 2 .标准差的概念:方差为 D(X) = ? (xi - E(X))2pi ,其 i=1 算术平方根 D?X? 标准差 ________________________为随机变量 X 的___________ . 离散型随机变量方差的性质 ? 1.当a,b为常数时,随机变量Y=aX+b,则D(Y)= D(aX+b)=a2D(X). ? (1)当a=0时,D(Y)=D(b)=0; ? (2)当a=1时,D(Y)=D(X+b)=D(X); ? (3)当b=0时,D(Y)=D(aX)=a2D(X). ? 2.D(X)=E(X2)-(E(X))2. 两点分布和二项分布的方差 ? 1.两点分布的方差:若离散型随机变量X服从两点 分布,则D(X )=_________________. p(1-p) ? 2.二项分布的方差:若离散型随机变量X服从参数 为n,p的二项分布,即________________,则D(X) =________________. X~B(n,p) np(1-p) ? 对随机变量X的方差、标准差的理解 ? (1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定 义式是相同的; ? (2)随机变量X的方差和标准差都反映了随机变量X取 值的稳定性和波动、集中与离散程度; ? (3)D(X)越小,稳定性越高,波动越小; ? (4)标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实 际问题中应用更广泛. ? 1.已知X~B(n,p),E(X)=2,D(X)=1.6,则n,p 的值分别为( ) ? A.100,0.8 B.20,0.4 ? C.10,0.2 D.10,0.8 ? 解析: E(X)=np=2,D(X)=np(1-p)=1.6, ? ∴p=0.2,n=10. ? 答案: C 1 2.已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=3,k=3,6,9.则 D(X)等于( A.6 C.3 ) B.9 D.4 1 1 1 解析: E(X)=3×3+6×3+9×3=6. 1 1 1 2 2 D(X)=(3-6) ×3+(6-6) ×3+(9-6) ×3=6. 2 答案: A ? 3.已知随机变量ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 4 5 0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1 ? 则D(ξ)=________. ? 解析: E(ξ)=0.1×0+0.15×1+0.25×2+0.25×3 +0.15×4+0.1×5=2.5, ? 所以D(ξ)=(0-2.5)2×0.1+(1-2.5)2×0.15+(2- 2.5)2×0.25+(3-2.5)2×0.25+(4-2.5)2×0.15+(5- 2.5)2×0.1=2.05. ? 答案: 2.05 ? 4.编号为1,2,3的三位同学随意入座编号为1,2,3的三 个座位,每位同学一个座位,设与座位编号相同的 学生的个数为ξ,求D(ξ). 解析: ξ=0,1,2,3. 2 1 3 1 P(ξ=0)= =3;P(ξ=1)= =2; 3! 3! 1 1 P(ξ=2)=0;P(ξ=3)= =6. 3! 所以,ξ 的分布列为 ξ P 0 1 3 1 1 2 2 0 3 1 6 1 1 1 E(ξ)=0×3+1×2+2×0+3×6=1, 1 1 1 2 2 2 D(ξ)=(0-1) ×3+(1-1) ×2+(2-1) ×0+(3-1) ×6= 2 1. 合作探究 课堂互动 方差和标准差的计算 已知 η 的分布列为: η P 0 1 3 10 2 5 20 1 15 50 2 15 60 1 15 (1)求方差及标准差; (2)设 Y=2η-E(η),求 D(Y). ? [思路点拨] (1)利用方差公式求解,首先求出均 值E(η),然后利用D(η)定义求方差;(2)由于E(η)是一 个常数,所以D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η). 1 2 1 2 (1) ∵ E(η) = 0× 3 + 10× 5 + 20× 15 + 50× 15 1 +60×15=16. 1 2 1 2 2 D(η)=(0-16) ×3+(10-16) ×5+(20-16) ×15+(50- 2 2 1 2 16) ×15+(60-16) ×15=38

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