2017年江苏省南京市溧水高级中学高三二模考试数学试题及答案

高三年级二模热身考试
数 学 Ⅰ
考试时间:120 分钟 一、

(文理)
满分:160 分

填空题: 本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案写在答题卡相应位置上.
B ? ?1, 4? ,则 A
B?

1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?m, 4,7, 8? ,若 A 2.函数 y ?



1 x -x

的定义域为

3. 已 知 复 数 是 .



是虚数单位) ,则

的实部

4.“

”是“

”的

条件 (从“充分不必要”、 “必

要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个). 5.从 1,2,3,4,5 中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为 .

6. 已 知 双 曲 线 为 .

的离心率为

,则实数

的值

7.从高三年级随机抽取 200 名学生,将他们的某次考试数学成绩绘制成频率分布直方图.由 图中数据可知成绩在[130,140)内的学生人数为
频率/组距



0.035 0.020 0.010 0.005
110 120 130 140 150 160 -1-

成绩

第 7 题图

第 12 题图

8.设函数

,若

,则

的值为

. .

9.已知圆柱的底面半径为 2,母线长与底面的直径相等,则该圆柱的表面积为

10. 在 直 角 三 角 形

中 ,

, 若

, 则



11. 已 知

为正常数,

为正实数,且



的最小值

.

12.已知函数

的部分图像如图所示,则



13. 等差数列

的前

的和为

, 若



-2-



,则正整数

.

14 .已知函数

,若对于任意

都有

成立,则

的最大值是

.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域写出文字说明、证明过程或演算 步骤)

15.(本小题满分 14 分)设函数

+2.

(1)求

的最小正周期和值域;

( 2 )在锐角△

中,角

的对边分别为

,若

求角 B.

-3-

E 16 . (本小题满分 14 分)如图,在五面体 中,已知 F D , , , A , B C . 平面

(1)求证:



(2)求三棱锥

的体积.

17.(本小题满分 14 分)某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地年产值在 50 万元到 500 万元

-4-

的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则:奖金

(单位:万元)随年

产值

(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于 7 万元,同时奖金不超过年

产值的



( 1 ) 若 某 企 业 年 产 值 100 万 元 , 核 定 可 得 9 万 元 奖 金 , 试 分 析 函 数

(

为常数 ) 是否为符合政府要求的奖励函数模

型,并说明原因(已知

);

(2)若采用函数

作为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的值.

-5-

18.已知椭圆 的一个顶点,

的左、右焦点分别为

,点

是椭圆

是等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程;

(2)过点

分别作直线

交椭圆于

两点,设两直

线的斜率分别为

,且

,试探究直线

是否过定

点,若直线

过定点,请求出定点的坐标;否则,请说明理由.

-6-

19. (本小题满分 16 分)设各项均为正数的数列

的前

项和为

,已知





对一切

都成立.

(1)求

的值;

(2)求

的值,使数列

为等差数列;

(3)若

,求数列

的通项公式.

-7-

20.(本小题满分 16 分)已知函数

其中

是自然对数的底

数,

.

(1)当

时,解不等式



(2)若

在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围;

(3)当

时,求整数

的所有可能的值,使方程



上有解.

高三数学周练九试题
数 学 Ⅰ 答案 一、 填空题: 本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分。 请把答案写在答题卡相应位置上。

1、

2、

3、

1

4、 必要不

-8-

充分

5、

6、

2

7、

60

8、 0

9、

10 、

18

11 、

12、
二、解答题.

13、

13

14、

15. 解: (1)

=



所 以

的 最 小 正 周 期 为



值 域 为

.……7 分

(2)由

为锐角∴



,∴

-9-



……14 分

16 . ( 1 )因为



平面



平面



所以

平面





平面

,平



平面



所以



……………7 分

(2)在平面

内作

于点

,因为

平面



平面



- 10 -

所以

, 又



平面



,所以

平面

, 所以

是三棱锥

的高.在直角三角形

中,





所以



因为

平面



平面

,所以



又由(1)知,

,且

,所以

,所以



- 11 -

所以三棱锥

的体积

.…… 14 分

17. 解

(1) 对 于 函 数 模 型 f(x) =

(

为常数),

时,



代入解的



所以 f(x)=

..............3 分

当 x∈[50,500] 时 , f(x) 是 增 函 数 , 但 x = 50 时 , f(50) = 8

,即

f(x)≤

不恒成立, 故该函数模型不符合要求. .............. 7 分

(2)对于函数模型

,即



为 正 整 数 , 函 数 在 [50,500] 递 增 ;

解 得

- 12 -

; ............. 9 分

要使 f(x)≤

对 x∈[50,500]恒成立,即



恒成立,a≥317.4,所以



综上所述,所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 318................. 14 分 18.解(1)因为 b=2,△F1MF2 是等腰直角三角形,所以 c=2,所以 a=2, 故椭圆的方程为+=1.............(5 分) (2)证明:①若直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=kx+m,

A 点坐标为(x1,y1),B 点坐标为(x2,y2),[来源:学|科|网 Z|X|X|K]
联立方程得,消去 y,得 (1+2k )x +4kmx+2m -8=0,[来源:学科网 ZXXK] 则 x1+x2=-,x1x2=. ............8 分 由题知 k1+k2=+=8,所以+=8, 即 2k+(m-2)=8.所以 k-=4,整理得 m=k-2. ............10 分 故直线 AB 的方程为 y=kx+k-2,即 y=k-2. 所以直线 AB 过定点...............12 分 ②若直线 AB 的斜率不存在,设直线 AB 的方程为 x=x0,A(x0,y0),B(x0,-y0), 则由题知+=8, 得 x0=-.此时直线 AB 的方程为 x=-,显然直线 AB 过点............15 分 综上可知,直线 AB 过定点.............16 分
2 2 2

19.(1)令 n = 1,得 分

.令 n = 2,得



.......4

- 13 -

(2)要使数列 0. ………6 分

是等差数列,必须有

,解得 λ

=

当 λ = 0 时,

,且

.当 n≥2 时,



整理,得



从而



化简,得

,所以



综上所述,



) ,

所以 λ

= 0 时,数列

是等差数列 .

………10 分

(3) 若 λ

= 1 , 则



. 又 ∵









, 化简, 得

. ①

- 14 -

∴当

时,

.②

② ? ①,得



∴ = 1 时上式也成立,



) .

∵当 n = 1 时,



∴n

∴ 数 列 {an} 是 首 项 为

1 , 公 比 为

2

的 等 比 数 列 ,



) .………………16 分 20. 解(1)因为 e >0,所以不等式 f(x)>0, 又因为 a<0,所以不等式可化为 x<0.
x

即 ax +x>0.

2

所以不等式 f(x)>0 的解集为.……4分

(2)f′(x)=(2ax+1)e +(ax +x)e
x

x

2

x

=[ax +(2a+1)x+1]e ,

2

x

①当 a=0 时,f′(x)=(x+1)e ,f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立, 当且仅当 x=-1 时取等号,故 a=0 符合要求;…………6分 ②当 a≠0 时,令 g(x)=ax +(2a+1)x+1, 因为 Δ =(2a+1) -4a=4a +1>0, 所以 g(x)=0 有两个不相等的实数根 x1,x2, 不妨设 x1>x2, 因此 f(x)有极大值又有极小值.
2 2 2

若 a>0,因为 g(-1)·g(0)=-a<0,所以 f(x)在(-1,1)内有极值点, 故 f(x)在[-1,1]上不单调.…………8分 若 a<0,可知 x1>0>x2.

- 15 -

因为 g(0)=1>0,且 g(x)的图象开口向下,要使 f(x)在[-1,1]上单调,

则必须满足
x

……10分
x

(3)当 a=0 时, 方程为 xe =x+2,由于 e >0,所以 x=0 不是方程的解. 所以原方程等价于 e --1=0,令 h(x)=e --1, 因为 h′(x)=e +>0 对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,[来源:学科网] 所以 h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数, 又 h(1)=e-3<0,h(2)=e -2>0,h(-3)=e -<0,h(-2)=e >0, 所以方程 f(x)=x+2 有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上. 所以整数 k 的所有值为-3,1. ………………16 分
2 -3 -2

x

x

x

高三年级二模热身考试
数 学 Ⅱ 理 (附加题)
满分:40 分 考试时间:30 分钟

每题 10 分,共计 40 分. 请在答题卡指定区域内写出文字说明、证明过程或演算步骤.

21. 变 换

是逆时针旋转

角的旋转变换,对应的变换矩阵是

;变换

对应的变换矩阵是

.

(1)求点



作用下的点

的坐标;

(2)求曲线

依次在

变换的作用下所得曲线的方程.

- 16 -

22. 在 直 角 坐 标 系

中 , 直 线

的 参 数 方 程

(

为参数),

若以直角坐标系



点为极点,

为极轴,且长

度单位相同,建立极坐标系,得曲线

的极坐标方程为

.

(1)求直线

的倾斜角;

(2)若直线

与曲线

交于

两点,求

.

- 17 -

23. 已知正项数列

中,

用数学归纳法证明:

24. 如 图 , 在 三 棱 锥

中,平面

⊥平面





.

(1) 求直线

与平面

所成角的正弦值;

(2) 若动点

在底面三角形

上,二面角



- 18 -

余弦值为

,求

的最小值.

高三周练九试题
数 学 Ⅱ(附加题) 答案
每小题 10 分,共 40 分。请在答题卡制定区域内写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. 解:(1) 所以点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P'的坐标是 P'(-1,2). ………………5 分)

(2)



是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是

,



,也就是

,即

,

- 19 -

所以,所求曲线的方程是

.

…………………10 分

2. 解:(1)

设直线 l 的倾斜角为 θ ,则且 θ ∈[0,π ),∴θ =,即直线

l 的倾斜角为.

(2)l
2 2

的直角坐标方程为 y=x+,ρ =2cos 的直角坐标方程为 ………10 分 所以 n=1 时,不等式成立;

+ =1,∴圆心到直线 l 的距离 d=,∴AB= 3. 证明:当 n=1 时,a2=1+=,a1<a2,
*

假设当 n=k(k∈N )时,ak<ak+1 成立,显然 ak>0. 则当 n=k+1 时, ak+2-ak+1=1+-ak+1=1+-



>0,
*

所以 n=k+1 时,不等式成立.综上所述,不等式 an<an+1(n∈N )成立. 4.解 (1)取 AC 中点 O, ∵AB=BC,∴OB⊥OC.∵平面 ABC⊥平面 APC, 平面 ABC∩平面 APC=AC,∴OB⊥平面 PAC.∴OB⊥OP. 以 O 为坐标原点,OB,OC,OP 分别为 x,y,z 轴建立 如图所示空间直角坐标系. ∵AB=BC=PA=,∴OB=OC=OP=1. 从而 O(0,0,0),B(1,0,0),A(0,-1,0),C(0,1,0),

………10 分

P(0,0,1),



= ( - 1,1,0) ,

= (1,0 , - 1) ,



- 20 -

(0,1,1). 设平面 PBC 的法向量 n1=(x,y,z),



·n1=0,

·n1=0 得方程组

取 n1 = (1,1,1) , ∴ cos 〈

, n1 〉 =

·n1,|

||n1|)=. 设 PA 与平面 PBC 所成角为 θ ,

则 sin θ =|cos〈

,n1〉|=.

∴直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为. (2)由题意平面 PAC 的法向量 n2=(1,0,0). 设平面 PAM 的法向量为 n3=(x,y,z),M(m,n,0).



=(0,1,1),

=(m,n+1,0),

又 ∴取 n3=.



·n3=0,

·n3=0,

∴cos〈n2,n3〉===. ∴ =9.
2

- 21 -

∴n+1=3m 或 n+1=-3m(舍去).∴

=(m,3m,0).



=(1,1,0),

∴cos〈



〉==.

则 sin〈 ∴d=AB·=.



〉=,

∴B 点到 AM 的最小值为垂直距离 d=.

- 22 -


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