题目高中数学复习专题讲座探索性问题

题目 高中数学复习专题讲座 探索性问题 高考要求 高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径, 解决非传统完备问题 的能力,是命题者根据学科特点,将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而 成的,要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题 重难点归纳 如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成 的一个系统, 那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问 题 条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征 解决探索性问题,对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较 高要求,高考题中一般对这类问题有如下方法 (1)直接求解; (2)观察——猜测——证明; (3)赋值推断; (4)数形结合; (5)联想类比; (6)特殊——一般——特殊 典型题例示范讲解
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例 1 已知函数 f ( x ) ? 有最大值

bx ? c (a,c∈R,a>0,b 是自然数)是奇函数,f(x) ax 2 ? 1

1 2 ,且 f(1)> 2 5

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(1)求函数 f(x)的解析式; (2)是否存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、Q 两点,并且使得 P、Q 两点关于点(1,0)对称,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,说明理由 命题意图 本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程 及综合分析问题的能力 知识依托 函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、 对称问题 错解分析 不能把 a 与 b 间的等量关系与不等关系联立求 b; 忽视 b 为 自然数而导致求不出 b 的具体值;P、Q 两点的坐标关系列不出解 技巧与方法 充分利用题设条件是解题关键 本题是存在型探索题 目,注意在假设存在的条件下推理创新,若由此导出矛盾,则否定假设,否 则,给出肯定的结论,并加以论证 解 (1)∵f(x)是奇函数 ∴f(–x)=–f(x),即
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? bx ? c bx ? c ?? 2 2 ax ? 1 ax ? 1

∴–bx+c=–bx–c ∴c=0 ∴f(x)=

bx ax 2 ? 1

由 a>0,b 是自然数得当 x≤0 时,f(x)≤0, 当 x>0 时,f(x)>0 ∴f(x)的最大值在 x>0 时取得
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∴x>0 时, f ( x) ?

1 a 1 x? b bx

? 2

1 a b2

当且仅当 即x?

a 1 x? b bx

1 时,f(x)有最大值 a

1 2 a b2

?

1 2



a =1,∴a=b2 b2



2 b 2 ,∴ > ,∴5b>2a+2 ② 5 a ?1 5 1 把①代入②得 2b2–5b+2<0 解得 <b<2 2 x 又 b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)= 2 x ?1
又 f(1)> (2) 设存在直线 l 与 y=f(x)的图象交于 P、 Q 两点, 且 P、 Q 关于点 (1, 0)对称,

? x0 ? x 2 ? 1 ? y0 ? 0 P(x0,y0)则 Q (2–x0,–y0), ∴? ,消去 y0, 得 x02–2x0–1=0 ? 2 ? x0 ? ? y0 2 ? ? ( 2 ? x0 ) ? 1
解之,得 x0=1± 2 , ∴P 点坐标为( 1 ? 2 ,

2 2 )或( 1 ? 2 ,? ) 4 4

进而相应 Q 点坐标为 Q( 1 ? 2 ,?
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2 2 )或 Q(1 ? 2 , ) 4 4
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过 P、Q 的直线 l 的方程 x–4y–1=0 即为所求 例 2 如图,三条直线 a、b、c 两两平行,直
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p 线 a、b 间的距离为 p,直线 b、c 间的距离为 , 2
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A

B

a

p b N c

A、B 为直线 a 上两定点,且|AB|=2p,MN 是 p M 2 在直线 b 上滑动的长度为 2p 的线段 (1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN 的外心 C 的轨迹 E; (2)接上问,当△AMN 的外心 C 在 E 上什么位置时,d+|BC|最小, 最小值是多少?(其中 d 是外心 C 到直线 c 的距离) 命题意图 本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想 及分析、探索问题、综合解题的能力 知识依托 求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程 错解分析 ①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键,如何建系是 难点,②第二问中确定 C 点位置需要一番分析 技巧与方法 本题主要运用抛物线的性质,寻求点 C 所在位置,然后 加以论证和计算,得出正确结论,是条件探索型题目 解 (1)以直线 b 为 x 轴,以过 A 点且与 b 直线垂直的直线为 y 轴建 立直角坐标系 设△AMN 的外心为 C(x,y),则有 A(0,p)、M(x–p,0),N(x+p,0), 由题意,有|CA|=|CM|
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2 2 2 2 ∴ x ? ( y ? p ) ? ( x ? x ? p ) ? y ,化简,得

x2=2py 它是以原点为顶点,y 轴为对称轴,开口向上的抛物线 (2)由(1)得,直线 c 恰为轨迹 E 的准线
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p 由抛物线的定义知 d=|CF|,其中 F(0, )是抛物线的焦点 2

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∴d+|BC|=|CF|+|BC| 由两点间直线段最短知,线段 BF 与轨迹 E 的交点即为所求的点 直线 BF 的方程为 y ?

1 1 x ? p 联立方程组 4 2

1 ? x ? p (1 ? 17 ) 1 1 ? ? 4 ?y ? x ? p ? 4 2 得? ? ? y ? 9 ? 17 p. ? x 2 ? 2 py ? ? 16 ?
即 C 点坐标为(

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1 ? 17 9 ? 17 p, p) 4 16

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此时 d+|BC|的最小值为|BF|=

17 p 2

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例 3 已知三个向量 a 、 b 、 c ,其中每两个之间的夹角为 120°,若|

a |=3,| b |=2,| c |=1,则 a 用 b 、 c 表示为
解析
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如图– a 与 b , c 的夹角为 60°,且| a |=|– a |=3

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由平行四边形关系可得– a =3 c +

3 b, 2

b -a c a

3 ∴ a =–3 c – b 2
答案
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a =–3 c –

3 b 2

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例 4 假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为 1–p,且各引擎是否有故 障是独立的,如有至少 50%的引擎能正常运行,飞机就可成功飞行,则对 于多大的 p 而言,4 引擎飞机比 2 引擎飞机更为安全? 2 解析 飞机成功飞行的概率分别为 4 引擎飞机为
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2 2 3 3 4 2 2 2 4 C2 4 P (1 ? P) ? C4 P (1 ? P) ? C4 P ? 6P (1 ? P) ? 4P (1 ? P) ? P

2 引擎飞机为 C2 ? P(1 ? P) ? C2 P ? 2P(1 ? P) ? P
1 2 2

2

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要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全,则有

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6P2(1–P)2+4P2(1–P)+P4≥2P(1–P)+P2,解得 P≥ 即当引擎不出故障的概率不小于

2 3

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2 时,4 引擎飞机比 2 引擎飞机安全 3

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学生巩固练习 1 已知直线 l⊥平面α ,直线 m ? 平面β ,有下面四个命题,其中正 确命题是( ) ①α ∥β ? l⊥m ②α ⊥β ? l∥m ③l∥m ? α ⊥β ④l⊥m ? α ∥β A ①与② B ①与③ C ②与④ D ③与④ 2 某邮局只有 0.60 元, 0.80 元, 1.10 元的三种邮票 现有邮资为 7.50 元的邮件一件,为使粘贴邮票的张数最少,且资费恰为 7.50 元,则最少要 购买邮票( ) A 7张 B 8张 C 9张 D 10 张 3 观察 sin220°+cos250°+sin20°cos50°
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=

3 3 ,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°= , 4 4
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写出一个与以上两式规律相同的一个等式 4 在四棱锥 P—ABCD 中,侧棱 PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,问底面的边 BC 上是否存在点 E (1)使∠PED=90°; (2)使∠PED 为锐角 证明你的结论 5 已知非零复数 z1,z2 满足|z1|=a,|z2|=b,|z1+z2|
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P

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A B C

D

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=c(a、b、c 均大于零) ,问是否根据上述条件求出

z2 ?请说明理由 z1

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6

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是否存在都大于 2 的一对实数 a、 b(a>b)使得 ab,

b ,a–b,a+b 可以 a

按照某一次序排成一个等比数列,若存在,求出 a、b 的值,若不存在,说 明理由 7 直线 l 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线有两个交点,对于 抛物线上另外两点 A、B 直线 l 能否平分线段 AB?试证明你的结论 8 三个元件 T1、T2、T3 正常工作的概率分别为 0.7、0.8、0.9,将它们 的某两个并联再和第三个串联接入电路,如图甲、乙、丙所示,问哪一种接 法使电路不发生故障的概率最大?
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参考答案 1 解析 ①l⊥α 且α ∥β ? l⊥β ,m ? β ? l⊥m ②α ⊥β 且 l⊥α ? l∥β ,但不能推出 l∥m ③l∥m,l⊥α ? m⊥α ,由 m ? β ? α ⊥β ④l⊥m,不能推出α ∥β 答案 B 2 解析 选 1.1 元 5 张,0.6 元 2 张,0.8 元 1 张 故 8 张 答案 B 3 解析 由 50°–20°=(45°–15°)=30°
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可得 sin2α +cos2(α +30°)+sinα cos(α +30°)= 答案 4 AB>
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3 4

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sin2α +cos2(α +30°)+sinα cos(α +30°)=
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(1)当 AB≤

1 AD 时,边 BC 上存在点 E,使∠PED=90°;当 2
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1 AD 时,使∠PED=90°的点 E 不存在 2

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(只须以 AD 为直径作圆看

该圆是否与 BC 边有无交点) (证略) (2)边 BC 上总存在一点,使∠PED 为锐角,点 B 就是其中一点 连接 BD, 作 AF⊥BD, 垂足为 F, 连 PF, ∵PA⊥面 ABCD, ∴PF⊥BD, 又△ABD 为直角三角形,∴F 点在 BD 上,∴∠PBF 是锐角 同理,点 C 也是其中一点
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∵|z1+z2|2=(z1+z2)( z1 + z2 )=|z1|2+|z2|2+(z1 z2 + z1 z2)

∴c2=a2+b2+(z1 z2 + z1 z2) 即
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z1 z2 + z1 z2=c2–a2–b2

∵z1≠0,z2≠0,∴z1 z2 + z1 ·z2=

z z z1 z 2 z 2 z1 z1 z 2 =|z2|2( 1 )+|z1|2( 2 ) ? z2 z1 z2 z1

即有

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b2(

z1 z )+a2( 2 )=z1z2+z1z2 z2 z1

∴b2(

z1 z )+a2( 2 )=c2–a2–b2 z2 z1

∴a2(

z2 2 2 2 2 z2 ) +(a +b –c )( )+b2=0 z1 z1 z2 z 的一元二次方程,解此方程即得 2 的值 z1 z1
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这是关于 6 解
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∵a>b,a>2,b>2,
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b b ,a–b,a+b 均为正数,且有 ab>a+b> ,ab>a+b>a–b a a b 假设存在一对实数 a,b 使 ab, ,a+b,a–b 按某一次序排成一个等比数 a
∴ab,
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列,则此数列必是单调数列 数列只能有两种情形,即 ①ab,a+b,a–b,

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不妨设该数列为单调减数列,则存在的等比

b , 或 a

②ab,a+b,

b b ,a–b 由(a+b)2≠ab· a a
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所以②不可能是等比数列,若①为等比数列,则有

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?(a ? b) 2 ? ab(a ? b) ? ? b ?(a ? b)(a ? b) ? ab ? a ?

?a ? 7 ? 5 2 ? 解得? 10 ? 7 2 ?b ? 2 ?
b 成等比数列的惟一的一组值 a
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经检验知这是使 ab,a+b,a–b,

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因此当

a=7+ 5 2 ,b= 7 解

b 10 ? 7 2 时,ab,a+b,a–b, 成等比数列 a 2

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如果直线 l 垂直平分线段 AB,连 AF、BF,∵F(

p ,0)∈l 2

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∴|FA|=|FB|,设 A(x1,y1),B(x2,y2),显然 x1>0,x2>0,y1≠y2, 于是有(x1–
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p 2 2 p ) +y1 =(x2– )2+y22, 2 2
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整理得 (x1+x2–p)(x1–x2)=y22–y12=–2p(x1–x2) 显然 x1≠x2(否则 AB⊥x 轴,l 与 x 轴重合,与题设矛盾)得 x1+x2–p=–2p 即 x1+x2=–p<0,这与 x1+x2>0 矛盾, 故直线 l 不能垂直平分线段 AB 8 解 设元件 T1、T2、T3 能正常工作的事件为 A1、A2、A3,电路不发 生故障的事件为 A,则 P(A1)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9 (1)按图甲的接法求 P(A) A=(A1+A2) ·A3, 由 A1+A2 与 A3 相互独立,则 P(A)=P(A1+A2) ·P(A3)
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又 P(A1+A2)=1–P( A1 ? A2 )=1–P( A1 · A2 ) 由 A1 与 A2 相互独立知 A1 与 A2 相互独立,得
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P( A1 · A2 )=P( A1 ) ·P( A2 )=[1–P(A1) ] · [1–P(A2) ] = (1–0.7) ×(1–0.8)=0.06, ∴P(A1+A2)=0.1–P( A1 · A2 )=1–0.06=0.94, ∴P(A)=0.94×0.9=0.846 (2)按图乙的接法求 P(A) A=(A1+A3) ·A2 且 A1+A3 与 A2 相互独立, 则 P(A)=P(A1+A3) ·P(A2) , 用另一种算法求 P(A1+A3) ∵A1 与 A3 彼此不互斥, 根据容斥原理 P(A1+A3)=P(A1)+P(A3)–P(A1A3) , ∵A1 与 A3 相互独立, 则 P(A1·A3)=P(A1) ·P(A3)=0.7×0.9=0.63,P(A1+A3) =0.7+0.9–0.63=0.97 ∴P(A)=P(A1+A3)·P(A2)=0.97×0.8=0.776 (3)按图丙的接法求 P(A) ,用第三种算法 A=(A2+A3)A1=A2A1+A3A1, ∵A2A1 与 A3A1 彼此不互斥, 据容斥原理,则 P(A)=P(A1A2)+P(A1A3)–P(A1A2A3) , 又由 A1、 A2、 A3 相互独立, 得P (A1· A2) =P (A1) P (A2) =0.8×0.7=0.56, P(A3A1)=P(A3)·P(A1)=0.9×0.7=0.63, P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=0.7×0.8×0.9=0.504, ∴P(A)=0.56+0.63–0.504=0.686 综合(1) 、 (2) 、 (3)得,图甲、乙、丙三种接法电路不发生故障的概 率值分别为 0.846,0.776,0.686 故图甲的接法电路不发生故障的概率最大 课前后备注
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