1.2.1任意角的三角函数1_图文

复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c
a

sin ? ?

O

?
b

cos? ?
tan ? ?

M

a c b c a b

新课引入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数?

其中 : OM ? a, MP ? b, OP ? r ? a ? b y P﹒ P?a, b ? MP b
2

2

sin ? ?

a

OP

?

r

O y

o b

?

?

﹒ M M

x

OM a cos ? ? ? OP r

x

MP b tan ? ? ? OM a

思考1:对于确定的角α ,上述三个比值是否随点 P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢?为什么?
y

M ?P? ? P(a,b) OP? ? OM OM ? cos ? ? ? O M x OP M? OP? 结论:可在终边上任取一点 MP ?P? M tan ? ? ? OM OM ? 思考2:为了使sinα ,cosα 的表示式更简单,你 认为点P的位置选在何处最好?

P?



MP sin ? ? OP

?OMP ∽ ?OM ?P?

2、锐角三角函数(在单位圆中)

若OP ? r ? 1 ,则
以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆.
y

P(a, b)
1

MP sin ? ? OP
x

?b

?
o

M

OM cos ? ? OP

?a b MP tan ? ? ? OM a

一、任意角的三角函数定义:
设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y)
那么:(1) 叫做

y ? 的正弦,记作 sin ?,即 sin ? ? y; (2)x 叫做? 的余弦,记作 cos? ,即 cos ? ? x ; y y tan ? (3) 叫做 ? 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。
x
y

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

x 所以,正弦,余弦,正 切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数,我们将 他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

实例剖析

1 3 例1:如图已知角α的终边与单位圆的交点是 P(? , ) 2 2
求角α的正弦、余弦和正切值。 解:根据任意角的三角函数定义:

y
1 3 P(? , ) 2 2

3 sin ? ? 2
tan? ? ? 3

1 cos ? ? ? 2

O

x

点评:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标,则可直接利用 定义求三角函数值。

5? 例2 求 的正弦、余弦和正切值. 3 5? ,易知 ?AOB 解:在直角坐标系中,作?AOB ?
3

的终边与单位圆的交点坐标为
5? ? 3 ? 所以 sin 3 2


y

5? 1 cos ? 3 2

5? tan ?? 3 3

1 ? 3 ( , ) 2 2



5? 3

o

点评:若已知角α的大小,可求 出角α终边与单位圆的交点,然 ﹒ A x 后再利用定义求三角函数值。 ﹒B

2? 练习1:求角 的正弦、余弦和正切值。 3
分析:可得点 y

1 3 P(? , ) ,故 2 2
2? 3 sin ? 3 2

P(x,y)
2? 3
M O

2? 1 cos ?- 3 2

x

2? tan ?? 3 3

练习2:求下列特殊角的正弦、余弦和正切值。

1)0 2)90 3)180 4)270 5)360?
?
?
?

?

特殊角的三角函数:

角度? 0? 30? 45? 60?90?120?180? 270? 360? 3? 角?的 ? ? ? ? 2 0 6 4 3 2 3 ? ? 2 2? 弧度数

sin ? 0

1 2

2 2

cos? 1

3 2

1

tan ? 0

3 2 3 3

2 2

1 2

0
不 存 在

1 ? 2

3 2

0
?1

?1 0

0 1
不 存 在

1

3

? 3

0

0

例3.已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦.
设角α 的终边与单位圆的交点为P(x,y),过P作PM⊥x轴 于M,过P0作P0 M0 ⊥x轴. 显然Rt?OMP∽ Rt?OM0P0 且 y

| OP0 |? (?3) ? (?4) ? 5
2 2

M0

M

α
O

sin ? ? y x

?4 ? | M 0 P0 | ? | MP | ? ? ? | MP | ? ? 5 | OP0 | | OP |

P(x,y) P0(-3,-4)

cos ? ? x ? ? | OM |?

? | OM | ? | OM 0 | ?3 ? ? | OP | | OP0 | 5

二、定义推广:
设角? 是一个任意角,P( x, y) 是终边上的任意一点,

点 P 与原点的距离 r ? x ? y ? 0
2 2

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即sin ? ? r r x x ② r 叫做 ? 的余弦,即 cos ? ? r y y ③ x 叫做 的正切,即 tan ? ? x ? x ? 0 ?

?

任意角 ? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点P 在角的终边上的位置无关.

练习1. 已知角 ? 的终边过点 P 求

?? 12,5?
? 52 ? 13



?

的三个三角函数值.
2 2

解:由已知可得:

r? x ?y ?
y 5 于是,sin ? ? ? r 13 y 5 tan ? ? ? ? x 12

?? 12?

2

x 12 cos ? ? ? ? r 13

小结: 一、任意角的三角函数定义: 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P( x, y) 那么:(1)y 叫做 ? 的正弦,记作 sin ? ,即 sin ? ? y;
(2)x 叫做

? 的余弦,记作 cos?,即 cos? ? x ; y y tan ? (3) 叫做 ? 的正切,记作 ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。
x
y

﹒ ? P?x, y
?
O
A?1,0? x

x 所以,正弦,余弦,正 切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比 值为函数值的函数,我们将 他们称为三角函数. 使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

二、定义推广:
设角? 是一个任意角,P( x, y) 是终边上的任意一点,

点 P 与原点的距离 r ? x ? y ? 0
2 2

y y 那么① 叫做 ? 的正弦,即sin ? ? r r x x ② r 叫做 ? 的余弦,即 cos ? ? r y y ③ x 叫做 的正切,即 tan ? ? x ? x ? 0 ?

?

任意角 ? 的三角函数值仅与 ? 有关,而与点P 在角的终边上的位置无关.

特殊角的三角函数:

角度? 0? 30? 45? 60?90?120?180? 270? 360? 3? 角?的 ? ? ? ? 2 0 6 4 3 2 3 ? ? 2 2? 弧度数

sin ? 0

1 2

2 2

cos? 1

3 2

1

tan ? 0

3 2 3 3

2 2

1 2

0
不 存 在

1 ? 2

3 2

0
?1

?1 0

0 1
不 存 在

1

3

? 3

0

0


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