高中数学(人教A版)必修4:3-1-2-2同步试题(含详解)

高中数学(人教 A 版)必修 4 同步试题 1.已知下列四个等式: ①sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ; ②cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ; π ? ③cos? ?2+α?=-sinα; tanα-tanβ ④tan(α-β)= . 1+tanαtanβ 其中恒成立的等式有( A.2 个 B.3 个 ) C.4 个 D.5 个 解析 ①,②,③对任意角 α,β 恒成立,④中的 α,β 还要使正切函数有意义. 答案 B 2. 1-tan15° 的值为( 1+tan15° B. 3 3 ) C.1 D.- 3 A. 3 tan45° -tan15° 3 解析 原式= =tan(45° -15° )=tan30° = . 3 1+tan45° tan15° 答案 B 1 3.设 tanα,tanβ 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(b≠0)的两个实根,则 的值为 tan?α+β? ( ) b+c A. a c-a C. b b-c B. a a-c D. b b 解析 由根与系数的关系,得 tanα+tanβ=- , a c tanα· tanβ= , a 1-tanαtanβ 1 ∴ = = tan?α+β? tanα+tanβ 答案 C 4.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB,则∠C 等于( ) c 1- a c-a = . b b - a 1 π A. 3 π C. 6 2π B. 3 π D. 4 解析 由已知,得 tanA+tanB= 3(tanAtanB-1), 即 tanA+tanB =- 3. 1-tanAtanB π ∴tan(A+B)=- 3,则 tanC=-tan(A+B)= 3,则∠C= . 3 答案 A π π 1 3 5.若 0<α< ,0<β< ,且 tanα= ,tanβ= ,则 α+β 等于( 2 2 7 4 π A. 6 π C. 3 解析 由已知可求得 tan(α+β)=1. π 又 0<α+β<π,∴α+β= . 4 答案 B 4 6.若 tanα=3,tanβ= ,则 tan(α-β)=________. 3 tanα-tanβ tan(α-β)= = 1+tanαtanβ 1 3 1 = . 4 3 1+3× 3 4 3- 3 π B. 4 3π D. 4 ) 解析 答案 7. tan51° -tan6° =________. 1+tan51° tan6° 解析 原式=tan(51° -6° )=tan45° =1. 答案 1 π ? 3 ? π? 8.已知 α∈? ?2,π?,sinα=5,则 tan?α+4?=______. π 3 解析 ∵ <α<π,sinα= , 2 5 4 3 ∴cosα=- ,∴tanα=- . 5 4 3 - +1 4 π tan α + 1 1 ? ∴tan? = . ?α+4?=1-tanα= 3 7 1+ 4 2 答案 1 7 π 9.(1)已知 α+β= ,求(1+tanα)(1+tanβ). 4 (2)利用(1)的结论求(1+tan1° )· (1+tan2° )· (1+tan3° )· …· (1+tan45° )的值. 解 即 π (1)∵α+β= ,∴tan(α+β)=1, 4 tanα+tanβ =1, 1-tanαtanβ ∴tanα+tanβ=1-tanαtanβ. ∴(1+tanα)(1+tanβ)=(tanα+tanβ)+1+tanαtanβ=2. (2)由(1)知当 α+β=45° 时, (1+tanα)(1+tanβ)=2. ∴ 原 式 = (1 + tan1° )(1 + tan44° )(1 + tan2° )(1 + tan43° )…(1 + tan22° )(1 + tan23° )· (1 + tan45° ) =222· 2=223. 1 5 10.已知 tanα=- ,cosβ= ,α,β∈(0,π). 3 5 (1)求 tan(α+β)的值; (2)求函数 f(x)= 2sin(x-α)+cos(x+β)的最大值. 解 1 5 (1)tanα=- ,cosβ= ,β∈(0,π), 3 5 2 5 ∴sinβ= ,∴tanβ=2. 5 tanα+tanβ ∴tan(α+β)= = 1-tanαtanβ 1 - +2 3 =1. 1 - ?×2 1-? ? 3? 1 (2)∵tanα=- , α∈(0,π), 3 ∴sinα= 1 3 ,cosα=- . 10 10 ∴f(x)= 2(sinxcosα-cosxsinα)+cosxcosβ-sinxsinβ =- 3 1 5 2 5 sinx- cosx+ cosx- sinx 5 5 5 5 =- 5sinx. ∴f(x)的最大值为 5. 教师备课资源 3 1.已知 tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则 tanα· tanβ 等于( A.4 C.1 解析 ∵tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ B. 2 1 D. 2 ) 又 tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4, 2 1 ∴4= ,∴tanαtanβ= . 2 1-tanαtanβ 答案 D 2. sin15° +cos15° 的值为( sin15° -cos15° 3 3 2- 6 4 ) B. 2+ 6 4 A. C. D.- 3 tan15° +1 1+tan15° 解析 原式= = =-tan(45° +15° )=-tan60° =- 3. tan15° -1 -?1-tan15° ? 答案 D tan?α+β?-tanα-tanβ 3.化简 =________. tanαtan?α+β? 解析 ∵tan(α+β)= tanα+tanβ , 1-tanαtanβ ∴tan(α+β)(1-tanαtan

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