贵州省黔东南州2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷

贵州省黔东南州 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的) 1.已知实数集 R,集合 A={x|0<x<2},B={x∈z|x +4≤5x},则(?RA)∩B=( ) A.{x|2≤x≤3} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{x|2≤x≤4} 2. 已知 a 是实数, 若复数 A.1 3. 已知 A.θ=π B. (i 为虚数单位) 在复平面内对应的点在虚轴上, 则 a 的值为( C.﹣1 +3 D. , 则| |=1 的充要条件是( D. ) )
2

, 是两个单位向量, 其夹角为 θ, 若向量 =2 B. C.

4. 已知正项等差数列{an}满足: an ﹣an+1﹣an﹣1=0 (n≥2) , 等比数列{bn}满足: bn+1?bn﹣1﹣2bn=0 (n≥2) ,则 log2(an+bn)=( ) A.﹣1 或 2 B.0 或 2 C.1 D.2 5.如图,如果输入 a=3,那么输出的 n 值为( )

2

A.2

B.4

C.3

D.5

6.已知 a,b,c 是三条不同的直线,且 a?平面 α,b?平面 β,α∩β=c,给出下列命题: ①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a、b 中一条相交; ②若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b,则必有 a∥c; ④若 a⊥b,a⊥c,则必有 α⊥β;其中正确的命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

7.设动点 P(x,y)在区域 Q: 部分为线段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为( A.π B.2π
2

上,过点 P 任作直线 l,设直线 l 与区域 Q 的公共

) C.3π D.4π 弧度的角速度按逆时针方向

8.抛物线 x =4y 的准线 l 与 y 轴交于点 P,若 l 绕点 P 以每秒

旋转 t1 秒后,恰好与抛物线第一次相交于一点,再旋转 t2 秒后,恰好与抛物线第二次相相交 于一点,则 t2 的值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 9.设函数 f0(x)=﹣sinx,f1(x)=f′0(x) ,f2(x)=f′1(x) ,…,fn+1(x)=f′n(x) ,n∈N , 则 f2015(x)=( ) A.cosx B.﹣sinx C.sinx D.﹣cosx 10.已知一块大理石表示的几何体的三视图如图所示,将该大理石切削、打磨加工成球体, 则能得到的最大球体的体积为( )
*

A.

B.

C.36π

D.

11.若函数 f(x)= a 的取值范围是( A.[﹣ , ] ) B.[﹣

+

,其中 x∈[﹣

,a],若 f(x)的值域是[﹣ ,1],则



]

C.[



]

D.[



]

12.对于定义域内的函数 f(x) ,若存在非零实数 x0,使函数 f(x)在(﹣∞,x0)和(x0,+∞) 上均有零点,则称 x0 为函数 f(x)的一个“给力点”.现给出下列四个函数: ①f(x)=3
x﹣1

+ ;

②f(x)=2+lg|x﹣1|;

③f(x)=
2

﹣x﹣1; ) D.②④

④f(x)=x +ax﹣1(a∈R) ,则存在“给力点”的函数是( A.①② B.②③ C.③④

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. 已知命题 p: ?x0∈R, ax0 +x0+ ≤0 (a>0) , 且命题 p 是真命题, 则 a 的取值范围为__________.
2

14. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1, 2S2, 3S3 成等差数列, 则{an}的公比为__________. 15.任取实数 a,b∈[﹣1,1],则 a,b 满足|b|≥| |的概率为__________.

16.已知函数 f(x)在 R 上满足

=0(λ≠0) ,且对任意的实数 x1≠x2(x1 >0 成立,如果实数 t 满足 f(lnt)﹣f(1)≤f(1)

>0,x2>0)时,有

﹣f(ln ) ,那么 t 的取值范围是__________.

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ ABC 中,2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) . (1)求角 C 的大小; (2)若 AB=2,且 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 18.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名,按年龄所在的区间分组:第 1 组:[20,25) ;第 2 组:[25,30) ;第 3 组:[30,35) ;第 4 组:[35,40) ;第 5 组:[40,45].得到的频率分布直方图如下图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在满足条件(1)时,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19. 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, PA=AD=1, E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且 = = λ, (0<λ<1) .

(Ⅰ)若 λ= ,求证:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)求三棱锥 E﹣FCD 体积最大值.

20.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,离心率为 ,

过椭圆 E 内一点 P (1, 1) 的两条直线分别与椭圆交于点 A、 C 和 B、 D, 且满足 其中 λ 为正常数. (1)当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 λ= ,求椭圆的方程.



, =λ



(2)当 λ 变化时,kAB 是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

21.已知函数 f(x)=e ﹣x +a 的图象在点 x=0 处的切线为 y=bx(e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈R 时,求证:f(x)≥﹣x +x; (3)若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 k 的取值范围.

x

2

四、 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延长线于点 P, 交 AD 的延长线于点 E. 2 (1)求证:AB =DE?BC;

(2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.

五、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.己知圆 C1 的参数方程为 (φ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 cos(θ﹣ ) .

极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=2

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程他为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由.

六、 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x+2|﹣a) . (1)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求 a 的取值范围.

贵州省黔东南州 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的) 2 1.已知实数集 R,集合 A={x|0<x<2},B={x∈z|x +4≤5x},则(?RA)∩B=( ) A.{x|2≤x≤3} B.{2,3,4} C.{1,2,3,4} D.{x|2≤x≤4} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出集合的等价条件,利用集合的基本运算进行求解即可. 2 2 解答: 解:B={x∈z|x +4≤5x}={x∈z|x ﹣5x+4≤0}={x∈z|1≤x≤4}={1,2,3,4}, 则?RA={x|x≥2 或 x≤0}, 则(?RA)∩B={2,3,4}, 故选:B 点评:本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.

2. 已知 a 是实数, 若复数 A.1 B.

(i 为虚数单位) 在复平面内对应的点在虚轴上, 则 a 的值为( C.﹣1 D.

)

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的乘除运算化简,由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 的值. 解答: 解:由 ∵复数 则 = 是纯虚数, = ,

在复平面内对应的点在虚轴上,∴ ,解得:a=1.

故选:A. 点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

3. 已知

, 是两个单位向量, 其夹角为 θ, 若向量 =2 B. C.

+3

, 则| |=1 的充要条件是( D.

)

A.θ=π

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:平面向量及应用;简易逻辑. 分析:根据向量数量积的运算结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:∵ ∴ ? =| || , 是两个单位向量,其夹角为 θ,

|cosθ=cosθ,

若| |=1, 则( ) =(2
2

+3

) =4

2

2

+12

?

+9

2

=1,

即 4+9+12cosθ=1, 即 cosθ=﹣1, 即 θ=π, 故| |=1 的充要条件是 θ=π, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 结合平面向量的数量积的定义和公式是解决 本题的关键. 4. 已知正项等差数列{an}满足: an ﹣an+1﹣an﹣1=0 (n≥2) , 等比数列{bn}满足: bn+1?bn﹣1﹣2bn=0 (n≥2) ,则 log2(an+bn)=( ) A.﹣1 或 2 B.0 或 2 C.1 D.2
2

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: 根据数列的递推关系, 结合等差和等比数列的定义和性质求出数列的通项公式即可得到 结论. 解答: 解:由 an ﹣an+1﹣an﹣1=0(n≥2) ,得 an =an+1+an﹣1, ∵{an}是正项等差数列, 2 ∴an =an+1+an﹣1=2an, ∴an=2, (n≥2) , ∵bn+1?bn﹣1﹣2bn=0(n≥2) , ∴bn+1?bn﹣1=2bn(n≥2) , ∵{bn}是等比数列, 2 ∴bn+1?bn﹣1=bn =2bn(n≥2) , ∴bn=2, (n≥2) , 则 log2(an+bn)=log2(2+2)=log24=2, 故选:D. 点评:本题主要考查对数的基本运算,根据等差数列和等比数列的性质,求出数列的通项公式 是解决本题的关键. 5.如图,如果输入 a=3,那么输出的 n 值为( )
2 2

A.2

B.4

C.3

D.5

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 P,Q,n 的值,当 P=40,Q=31 时,不 满足条件 P≤Q,退出循环,输出 n 的值. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 a=3,P=0,Q=1,n=0 满足条件 P≤Q,P=1,Q=3,n=1 满足条件 P≤Q,P=4,Q=7,n=2 满足条件 P≤Q,P=13,Q=15,n=3 满足条件 P≤Q,P=40,Q=31,n=4

不满足条件 P≤Q,退出循环,输出 n 的值为 4. 故选:B. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 P,Q,n 的值是解题的关 键,属于基本知识的考查. 6.已知 a,b,c 是三条不同的直线,且 a?平面 α,b?平面 β,α∩β=c,给出下列命题: ①若 a 与 b 是异面直线,则 c 至少与 a、b 中一条相交; ②若 a 不垂直于 c,则 a 与 b 一定不垂直; ③若 a∥b,则必有 a∥c; ④若 a⊥b,a⊥c,则必有 α⊥β;其中正确的命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型;空间位置关系与距离. 分析:①可运用反证法,若 c 与 a,b 都不相交,即平行,由平行公理即可判断; ②若 a 不垂直于 c,假设 a∥c,b⊥c,则 a⊥b,即可判断; ③运用线面平行的判定定理和性质定理,即可判断; ④若 a⊥b,a⊥c,若 b∥c,推不出 a⊥β,也即推不出 α⊥β,即可判断. 解答: 解:对于①,由于 a?平面 α,b?平面 β,α∩β=c,若 c 与 a,b 都不相交,即平行, 则 c∥a,c∥b,即有 a∥b,与 a,b 异面矛盾,则①正确; 对于②,若 a 不垂直于 c,假设 a∥c,b⊥c,则 a⊥b,则②错误; 对于③,若 a∥b,a?β,即有 a∥β,α∩β=c,a?α,则必有 a∥c,则③正确; 对于④,若 a⊥b,a⊥c,若 b∥c,推不出 a⊥β,也即推不出 α⊥β,则④错误. 综上可得,①③正确. 故选 C. 点评:本题考查空间直线和平面的位置关系,熟记线线、线面和面面的位置关系,掌握线面平 行、垂直和面面垂直的判定和性质定理是解题的关键.

7.设动点 P(x,y)在区域 Q: 部分为线段 AB,则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为( A.π B.2π

上,过点 P 任作直线 l,设直线 l 与区域 Q 的公共

) C.3π D.4π

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:由约束条件作出可行域,利用数形结合得到圆的最大直径,则圆的最大面积可求. 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域, 得到如图的△ MNO 及其内部, 其中 M(0,4) ,N(2,2) ,0 为坐标原点 ∵直线 l 与区域 Ω 的公共部分为线段 AB, ∴当直线 l 与 y 轴重合时,|AB|=|OM|=4 达到最大值, 此时圆的半径为 2,

此时以 AB 为直径的圆的面积为 S=π?2 =4π, 故选:D

2

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据条件利用数形结合是解决本题的关键.
2

8.抛物线 x =4y 的准线 l 与 y 轴交于点 P,若 l 绕点 P 以每秒

弧度的角速度按逆时针方向

旋转 t1 秒后,恰好与抛物线第一次相交于一点,再旋转 t2 秒后,恰好与抛物线第二次相相交 于一点,则 t2 的值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的方程, 找出 p 的值, 进而得到其准线方程和 P 的坐标, 根据直线 l 过 P 点, 设出直线 l 的斜率为 k 时与抛物线相切,表示出此时直线 l 的方程,与抛物线联立,消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程,令根的判别式等于 0 列出关于 k 的方程,求出方程的解即可得到 k 的值,从而确定出直线 l 的倾斜角,用求出的倾斜角除以角速度即可求出此时所用的时间 t1=3.同理,旋转 t2 秒后,恰好与抛物线第二次相相交于一点,则 t2=3. 2 解答: 解:根据抛物线的方程 x =4y,得到 p=1, 所以此抛物线的准线方程为 y=﹣1,P 坐标为(0,﹣1) , 令恒过 P 点的直线 y=kx﹣1 与抛物线相切, 联立直线与抛物线,消去 y 得:x ﹣4kx+4=0,得到△ =k ﹣1=0,即 k =1, 解得:k=1 或 k=﹣1, 由直线 l 绕点 P 逆时针旋转,k=﹣1 不合题意,舍去, 则 k=1,此时直线的倾斜角为 又 P 的角速度为每秒 弧度,
2 2 2

所以直线 l 恰与抛物线第一次相切,则 t1=3. 同理,旋转 t2 秒后,恰好与抛物线第二次相相交于一点,则 t2=3, 故选 C. 点评:本题以抛物线为载体,考查抛物线的简单性质,直线与曲线相切位置关系的应用,解题 的一般式步骤是;设出直线的方程,联立直线与曲线方程,整理可得一元二次方程,方程判别 式等于 0,求解参数的值. 9.设函数 f0(x)=﹣sinx,f1(x)=f′0(x) ,f2(x)=f′1(x) ,…,fn+1(x)=f′n(x) ,n∈N , 则 f2015(x)=( )
*

A.cosx

B.﹣sinx

C.sinx

D.﹣cosx

考点:导数的运算;函数的周期性. 专题:导数的概念及应用. 分析:由题意对函数的变化规律进行探究,发现呈周期性的变化,且其周期是 4,即可得到结 论. 解答: 解:由题意 f0(x)=﹣sinx, f1(x)=f0′(x)=﹣cosx, f2(x)=f1′(x)=sinx, f3(x)=f2′(x)=cosx, f4(x)=f3′(x)=﹣sinx, 由此可知,在逐次求导的过程中,所得的函数呈周期性变化,从 0 开始计,周期是 4, ∵2015=4×503+3, 故 f2015(x)=f3(x)=cosx 故选:A. 点评:本题考查函数的周期性,探究过程中用的是归纳推理,对其前几项进行研究得出规律, 求解本题的关键一是要归纳推理的意识,一是对正、余弦函数的导数求法公式熟练掌握. 10.已知一块大理石表示的几何体的三视图如图所示,将该大理石切削、打磨加工成球体, 则能得到的最大球体的体积为( )

A.

B.

C.36π

D.

考点:球内接多面体;简单空间图形的三视图. 专题:计算题;空间位置关系与距离. 分析:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径 r, 即可求出最大球体的体积. 解答: 解:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的 半径 r,则 8﹣r+6﹣r= ∴r=2, ∴最大球体的体积为 = . ,

故选:B. 点评:本题考查三视图,考查几何体的内切圆,考查学生的计算能力,属于基础题. ,其中 x∈[﹣ ,a],若 f(x)的值域是[﹣ ,1],则

11.若函数 f(x)= a 的取值范围是( A.[﹣ , ] ) B.[﹣

+



]

C.[



]

D.[



]

考点:两角和与差的正弦函数;三角函数的最值. 专题:三角函数的求值. 分析:化简可得 f(x)=sin(2x+ 等式可得. 解答: 解:化简可得 f(x)= ∵x∈[﹣ ,a],∴2x+ ∈[﹣ ,2a+ + ], =sin(2x+ ) , ) ,由题意和三角函数的性质可得 ≤2a+ ≤ ,解不

∵f(x)的值域是[﹣ ,1], ∴ ≤2a+ ≤ ,解得 ≤a≤

故选:C 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及三角函数的值域,属中档题. 12.对于定义域内的函数 f(x) ,若存在非零实数 x0,使函数 f(x)在(﹣∞,x0)和(x0,+∞) 上均有零点,则称 x0 为函数 f(x)的一个“给力点”.现给出下列四个函数: ①f(x)=3
x﹣1

+ ;

②f(x)=2+lg|x﹣1|; ③f(x)=
2

﹣x﹣1; ) D.②④

④f(x)=x +ax﹣1(a∈R) ,则存在“给力点”的函数是( A.①② B.②③ C.③④

考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型;函数的性质及应用. 分析:由指数函数的值域,即可判断①;令 f(x)=0,解出方程,即可判断②; 运用导数,求出单调区间和极值,可得 f(x)与 x 轴只有一个交点,即可判断③; 运用二次方程的判别式,即可判断④. 解答: 解:对于①,f(x)=3 力点”;
x﹣1

+ ,定义域为 R,且 f(x)> >0 恒成立,则不存在“给

对于②,f(x)=2+lg|x﹣1|,定义域为{x|x≠1,x∈R},令 f(x)=0,则 x=1+ 可令 x0=1,则存在“给力点”; 对于③,f(x)= 递减,

或 1﹣



﹣x﹣1,定义域为 R,f′(x)=x ﹣1,在﹣1<x<1 时,f′(x)<0,f(x)

2

在 x>1 或 x<﹣1 时,f′(x)>0,f(x)递增.则 x=1 处取得极小值﹣ ,x=﹣1 处取得极大 值﹣ , 则 f(x)与 x 轴只有一个交点,则不存在“给力点”; 对于④,f(x)=x +ax﹣1(a∈R) ,定义域为 R,由于判别式 a +4>0,则一定存在“给力点”. 综上可得,②④正确. 故选 D. 点评:本题考查函数的零点的判断,主要考查新定义的理解和运用,运用解方程、函数的单调 性和值域和导数是解题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知命题 p:?x0∈R,ax0 +x0+ ≤0(a>0) ,且命题 p 是真命题,则 a 的取值范围为(0, ].
2 2 2

考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析: 由已知条件便可知一元二次不等式 可求出 a 的取值范围. 解答: 解:根据已知条件知不等式 ∵a>0; ∴△=1﹣2a≥0; ∴ ; 有解; 有解, 根据判别式△ 的取值情况即

∴a 的取值范围为(0, ]. 故答案为: .

点评:考查真命题的概念,知道怎么说明一个不等式有解,以及一元二次不等式的解的情况和 判别式△ 取值的关系. 14.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则{an}的公比为 .

考点:等比数列的性质. 专题:计算题;压轴题. 分析:先根据等差中项可知 4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用 a1 和 q 分别表示出 S1, S2 和 S3,代入即可求得 q. 解答: 解:∵等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, n﹣1 2 ∴an=a1q ,又 4S2=S1+3S3,即 4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q ) , 解 .

故答案为 点评:本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 15.任取实数 a,b∈[﹣1,1],则 a,b 满足|b|≥| |的概率为 .

考点:几何概型. 专题:应用题;概率与统计. 分析:用不等式组表示平面区域,利用几何概型的概率公式,分别求出对应区域的面积,即可 得到结论. 解答: 解:∵a、b∈[﹣1,1], ∴﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1,对应区域的面积为 2×2=4, 当 a=1 时,b=± , 不等式|b|≥| |对应的区域如图(阴影部分) : 则阴影部分的面积为 2﹣2× ×1× = , 由几何概型的概率公式可得 a、b 满足|b|≥| |概率 P= . 故答案为: .

点评:本题主要考查几何概型的应用,利用不等式表示平面区域,求出相应的平面区域,求出 相应的面积是解决本题的关键.

16.已知函数 f(x)在 R 上满足

=0(λ≠0) ,且对任意的实数 x1≠x2(x1 >0 成立,如果实数 t 满足 f(lnt)﹣f(1)≤f(1)

>0,x2>0)时,有 ﹣f(ln ) ,那么 t 的取值范围是[ ,e].

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据已知条件容易判断出 f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,再根据对数的 运算,从而可得到 f(lnt)≤f(1) ,根据 f(x)的奇偶性及单调性即可得到|lnt|≤1,从而根据 对数函数的单调性解出该不等式即可. 解答: 解:根据已知条件及偶函数,增函数的定义可知: f(x)是偶函数,在(0,+∞)上是增函数; ∴由 f(lnt)﹣f(1) ∴|lnt|≤1,﹣1≤lnt≤1; ∴ ; . ]. 得:f(lnt)≤f(1) ;

∴t 的取值范围为 故答案为:[

点评:考查偶函数,增函数的定义,以及对数的运算,偶函数、增函数的运用,根据对数函数 的单调性解不等式. 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ ABC 中,2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) . (1)求角 C 的大小; (2)若 AB=2,且 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ ABC 的面积. 考点:正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题:计算题;解三角形. 分析: (1)利用 2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) ,以及三角形的内角和,两角和与差的三 角函数.推出 C 的三角函数值,即可求角 C 的大小; (2)通过 AB=2,利用 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求出 B 的大小,然后求出三角形的边长, 然后求△ ABC 的面积. 解答: 解:∵2sin2C?cosC﹣sin3C= (1﹣cosC) . ∴2sin2C?cosC﹣sin(2C+C) =2sin2C?cosC﹣sin2CcosC﹣cos2CsinC =sin2CcosC﹣cos2CsinC =sinC

= (1﹣cosC) . ∴sinC= ﹣ cosC. ∴sin(C+ )= .

∵C 是三角形的内角, ∴C+ ∴C= . ,

(2)由 sinC+sin(B﹣A)=2sin2A 可得 sin(A+B)+sin(B﹣A)=2sin2A, 可得 sinBcosA=2sinAcosA,sinB=2sinA 或 cosA=0, 当 cosA=0,∴A= ∴ ,b= = = .

当 sinB=2sinA,由正弦定理可知,b=2a,由余弦定理可知:cosC= ∴a= , = .

= ,

点评:本题考查两角和与差的三角函数,正弦定理的应用余弦定理的应用,考查解三角形的知 识,考查计算能力. 18.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名,按年龄所在的区间分组:第 1 组:[20,25) ;第 2 组:[25,30) ;第 3 组:[30,35) ;第 4 组:[35,40) ;第 5 组:[40,45].得到的频率分布直方图如下图所示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在满足条件(1)时,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

考点:频率分布直方图.

专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率= ,求出第 3、4、5 组的人数,再计算用分层抽样方法在各组

应抽取的人数; (2)利用列举法求出从 6 名志愿者中取 2 名志愿者的基本事件数以及第 4 组的 2 名志愿者至 少有一名被抽中的基本事件数,求出对应的概率即可. 解答: 解: (1)第 3 组的人数为 0.06×5×100=30, 第 4 组的人数为 0.04×5×100=20, 第 5 组的人数为 0.02×5×100=10, 所以第 3,4,5 组共 60 名志愿者; 利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: , , ;

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取的人数为 3 人,2 人,1 人; (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2, 第 5 组的 1 名志愿者为 C1; 从 6 名志愿者中取 2 名志愿者有: (A1,A2) , (A1,A3) (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1)共 15 种方法; 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1)共 9 种; 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 . 点评:本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问 题,是基础题目. 19. 如图所示, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, PA=AD=1, E、F 分别为 PD、AC 上的动点,且 = = λ, (0<λ<1) .

(Ⅰ)若 λ= ,求证:EF∥平面 PAB; (Ⅱ)求三棱锥 E﹣FCD 体积最大值.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ) 分别取 PA 和 AB 中点 M、 N, 连接 MN、 ME、 NF, 四边形 MEFN 为平行四边形. 由 此能证明 EF∥平面 PAB. (Ⅱ)在平面 PAD 内作 EH⊥AD 于 H,则 EH⊥平面 ADC, EH∥PAEH=λPA=λ. 最大值. 解答: (Ⅰ)证明:分别取 PA 和 AB 中点 M、N, 连接 MN、ME、NF,则 NF 所以 NF AD,ME AD, ,由此能求出三棱锥 E﹣FCD 体积

ME,∴四边形 MEFN 为平行四边形.

∴EF∥MN,又 EF?平面 PAB,MN?平面 PAB, ∴EF∥平面 PAB. (Ⅱ)解:在平面 PAD 内作 EH⊥AD 于 H, 因为侧棱 PA⊥底面 ABCD, 所以平面 PAD⊥底面 ABCD,且平面 PAD∩底面 ABCD=AD, 所以 EH⊥平面 ADC,所以 EH∥PA. 因为 (0<λ<1) ,所以 ,EH=λPA=λ.

=

=1﹣λ,



VE﹣DFC=

×λ=

= .

, (0<λ<1) ,

∴三棱锥 E﹣FCD 体积最大值

点评:本题考查直线与平面平行的证明,考查三棱锥的体积的最大值的求法,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养.

20.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,离心率为 ,

过椭圆 E 内一点 P (1, 1) 的两条直线分别与椭圆交于点 A、 C 和 B、 D, 且满足 其中 λ 为正常数. (1)当点 C 恰为椭圆的右顶点时,对应的 λ= ,求椭圆的方程.



, =λ



(2)当 λ 变化时,kAB 是否为定值?若是,请求出此定值;若不是,请说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由离心率,得到 ac 关系,通过 A 坐标代入到椭圆方程中,能求出 a,b,求出椭圆 方程. (3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,由 标关系,将 AB 坐标代入椭圆方程推出 =λ , =λ ,推出坐

,通过

kAB=kCD,导出 kAB=0,说明

为定值.

解答: 解: (1)因为椭圆的离心率为 ,所以

,…

因为 C(a,0) ,

,所以

,得

, ,解得 a=2,…

将它代入到椭圆方程中,得



,所以椭圆方程为



(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 由 =λ ,得 ,同理 =λ ,可得 ,…

将 A、B 坐标代入椭圆方程得

,两式相减得 ,

即 同理, 而 kAB=kCD,所以 所以 ①+②得

①… , , ② ,

即 kAB≠0,所以

为定值.…

点评:本题考查椭圆的离心率的求法,考查椭圆方程的求法,考查直线的斜率是否为定值的判 断与求法,解题时要认真审题,注意点差法的合理运用. 21.已知函数 f(x)=e ﹣x +a 的图象在点 x=0 处的切线为 y=bx(e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)当 x∈R 时,求证:f(x)≥﹣x +x; (3)若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析: (1)求出 f(x)的导数,由切线方程可得切线斜率和切点坐标,可得 a=﹣1,b=1,即 可得到 f(x)的解析式; 2 x (2)令 φ(x)=f(x)﹣(x﹣x )=e ﹣x﹣1,求出导数,单调区间和极值、最值,即可得 证;
2 x 2

(3)若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,即为 k< 导数,求得右边函数的最小值,即可得到 k 的范围. x 2 x 解答: (1)解:函数 f(x)=e ﹣x +a 的导数为 f′(x)=e ﹣2x, 在点 x=0 处的切线为 y=bx,即有 f′(0)=b,即为 b=1, 即切线为 y=x, 又切点为(0,1+a) ,即 1+a=0,解得 a=﹣1,

对?x>0 恒成立,运用

即有 f(x)=e ﹣x ﹣1; 2 x (2)证明:令 φ(x)=f(x)﹣(x﹣x )=e ﹣x﹣1, x 则 φ′(x)=e ﹣1,φ′(x)=0,则 x=0, 当 x<0 时,φ′(x)<0,φ(x)递减,当 x>0 时,φ′(x)>0,φ(x)递增, 则 φ(x)min=φ(0)=0,则有 f(x)≥x﹣x ; (3)解:若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立, 即为 k< 对?x>0 恒成立, ,x>0,则 g′(x)= ,
2

x

2

令 g(x)=

=
x

=



由(2)知,当 x>0 时,e ﹣x﹣1>0 恒成立,则当 0<x<1 时,g′(x)<0,g(x)递减, 当 x>1 时,g′(x)>0,g(x)递增, 即有 g(x)min=g(1)=e﹣2,则 k<g(x)min=e﹣2, 即 k 的取值范围是(﹣∞,e﹣2) . 点评:本题考查导数的运用:求切线方程和求单调区间及极值、最值,运用参数分离和不等式 恒成立问题转化为求函数的最值是解题的关键. 四、 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,梯形 ABCD 内接于⊙O,AD∥BC,过点 C 作⊙O 的切线,交 BD 的延长线于点 P, 交 AD 的延长线于点 E. 2 (1)求证:AB =DE?BC; (2)若 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.

考点:相似三角形的判定;相似三角形的性质;圆的切线的性质定理的证明. 专题:计算题;证明题.

分析:对于(1)求证:AB =DE?BC,根据题目可以判断出梯形为等腰梯形,故 AB=CD,然 后根据角的相等证△ CDE 相似于△ BCD,根据相似的性质即可得到答案. 对于(2)由 BD=9,AB=6,BC=9,求切线 PC 的长.根据弦切公式可得 PC =PD?PB,然后 根据相似三角形边成比例的性质求出 PD 和 PB 代入即可求得答案. 解答: 解: (1)∵AD∥BC ∴AB=DC,∠EDC=∠BCD, 又 PC 与⊙O 相切,∴∠ECD=∠DBC, ∴△CDE∽△BCD,∴
2 2 2

2



∴CD =DE?BC,即 AB =DE?BC. (2)由(1)知, ∵△PDE∽△PBC, ∴ . ,

又∵PB﹣PD=9, ∴ .









点评:此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题,其中应用到弦切公式,题目 属于平面几何的问题,涵盖的知识点比较多,有一定的技巧性,属于中档题目. 五、 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.己知圆 C1 的参数方程为 (φ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 cos(θ﹣ ) .

极轴建立极坐标系,圆 C2 的极坐标方程为 ρ=2

(Ⅰ)将圆 C1 的参数方程他为普通方程,将圆 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)圆 C1,C2 是否相交,若相交,请求出公共弦的长;若不相交,请说明理由. 考点:参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (I)利用 sin φ+cos φ=1 即可把圆 C1 的参数方程
2 2 2 2 2 2

,化为直角坐标方程.

(II)由 x +y =1,x +y =2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1.利用点到直 线的距离公式可得圆心(0,0)到此直线的距离 d,即可得出弦长|AB|=2 解答: 解: (I)由圆 C1 的参数方程 消去参数 φ 可得:x +y =1.
2 2





由圆 C2 的极坐标方程 ρ=2
2 2

cos(θ﹣
2 2

) ,化为

?ρ,

∴x +y =2x+2y.即(x﹣1) +(y﹣1) =2. 2 2 2 2 (II)由 x +y =1,x +y =2x+2y.可得两圆的相交弦所在的直线方程为 2x+2y=1. 圆心(0,0)到此直线的距离 d= = .

∴弦长|AB|=2

=



点评:本题考查了曲线的参数方程极坐标方程化为直角坐标方程、两圆的相交弦长、点到直线 的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 六、 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x+2|﹣a) . (1)当 a=7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥3 的解集是 R,求 a 的取值范围. 考点:函数恒成立问题;函数的定义域及其求法;指、对数不等式的解法. 专题:综合题;推理和证明. 分析: (1)分类讨论,不等式的解集是以下不等式组解集的并集: 或



,可得函数 f(x)的定义域;

(2)不等式 f(x)≥3,|x﹣1|+|x+2|≥a+8 的解集为 R,求出|x﹣1|+|x+2|的最小值,即可求 a 的 取值范围. 解答: 解: (1)由已知得|x﹣1|+|x+2|>7, 不等式的解集是以下不等式组解集的并集: 或 或 ,

解得函数 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣4)∪(3,+∞) . (2)不等式 f(x)≥3,|x﹣1|+|x+2|≥a+8 的解集为 R ∵|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, ∴a+8≤3, 即 a≤﹣5. 所以 a 的取值范围是(﹣∞,﹣5]. 点评:本题考查不等式的解法,考查恒成立问题,考查学生的计算能力,属于中档题.


相关文档

贵州省黔东南州高三数学第一次模拟考试试题文
贵州省黔东南州2013届高三3月第一次模拟考试试数学文试题
贵州省黔东南州2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷
贵州省黔东南州18届高三数学第一次模拟考试试题文
贵州省黔东南州届高三数学第一次模拟考试试题文(含答案)
2019届贵州省黔东南州高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题 扫描版
贵州省黔东南州2018届高三数学第一次模拟考试试题文
贵州省黔东南州2012届高三第一次高考模拟考试数学(文)试卷
贵州省黔东南州2012届高三第一次模拟考试数学试题(文)
贵州省黔东南州2019届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(扫描版)
电脑版