高中数学人教A版必修4第3章《三角恒等变换》章节检测试题(教师版)

高中数学学习材料
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一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在题中横线上) π
1.1-tatna1n221π2=__________. π
解析:原式=12×1-2tatann1221π2=12tanπ6= 63.

答案:

3 6

2.已知 sinθ2+cosθ2=23 3,那么 sinθ=__________,cos2θ=__________.

解析:将 sinθ2+cosθ2=23 3两边平方可求出 sinθ,再用余弦二倍角公式求得 cos2θ.

答案:13

7 9

5.sin163°sin223°+sin253°sin313°的值为__________. 解 析 : 原 式 = sin(180°- 17°)·sin(180°+ 43°) + sin(270°- 17°)·sin(270°+ 43°) = - sin17°sin43°+
cos17°cos43°=cos60°=12. 答案:12
6.已知 sin(4π-x)=35,则 sin2x 的值为__________.
解析:sin2x=cos(2π-2x)=cos2(π4-x)=1-2sin2(4π-x)=1-2×??35??2=275.
答案:275 7.已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 tanA,tanB 是方程 3x2-5x+1=0 的两个实数根,则△ABC 是

________三角形.

?tanA+tanB=53,
解析:由题设得
??tanAtanB=13,

5 ∴tan(A+B)=1t-anAta+nAttaannBB=1-3 31=52.在△ABC 中,tanC=tan[π

-(A+B)]=-tan(A+B)=-52<0,∴C 是钝角, ∴△ABC 是钝角三角形. 答案:钝角

8.化简 2 1+sin4+ 2+2cos4的结果是__________. 答案:2sin2
9.在△ABC 中,若 sin2B=sinAsinC,则 cos2B+cosB+cos(A-C)的值为__________. 解析:cos2B+cosB+cos(A-C)=cos2B-cos(A+C)+cos(A-C)=1-2sin2B+2sinAsinC=1. 答案:1
10.当 0<x<π4时,函数 f(x)=cosxscinoxs-2x sin2x的最小值是__________.
解析:f(x)=-tan2x1+tanx=-??tanx-1 12??2+14,当 tanx=12时,f(x)有最小值为 4.

答案:4 11.若11+ -ttaannαα=2011,则co1s2α+tan2α=__________.
解析:∵11+-ttaannαα=2011, ∴co1s2α+tan2α=11-+ttaann22αα+1-2tatannα2α =?11+-ttaannα2α?2=11+ -ttaannαα=2011. 答案:2011 12.化简1+sinco4sx4x·1+cocso2sx2x·1+cocsoxsx=__________.













2sin2xcos2x cos2x cosx 2cos22x ·1+cos2x·1+cosx



sin2x cosx 1+cos2x·1+cosx



2sinxcosx 2cos2x

cosx ·1+cos



sinx 1+cosx



tan

x 2

.

答案:tan2x

13.sin12°3?t4acno1s22°1-2°3-2?=__________.













3???sin12°c-os123°cos12°???
sin12°×2?2cos212°-1?



3?sin12°- 3cos12°? 2sin12°cos12°cos24°



2

3?sin12°cos60°-cos12°sin60°? sin24°cos24°



2×22sin32si4n°?c1o2s°2-4°60°?=-4sin34s8in°48°=-4 3.

答案:-4 3
14.在△ABC 中,A,B,C 是其三个内角,设 f(B)=4sinB·cos2??π4-B2??+cos2B.当 f(B)-m<2 恒成立时,实
数 m 的取值范围是__________.
解析:原式=4sinB·1+cos2??2π-B??+cos2B=2sinB(1+sinB)+(1-2sin2B)=2sinB+1.
∵f(B)-m<2 恒成立, ∴2sinB+1-m<2 恒成立,即 m>2sinB-1 恒成立. ∵0<B<π,∴0<sinB≤1. ∴-1<2sinB-1≤1,故 m>1.

答案:m≥1 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分 14 分)已知 cos2θ=78,θ∈??π2,π??,求 sin??θ+π6??-sin2θ 的值.

解:∵cos2θ=78,θ∈??π2,π??,

∴cosθ<0,∴cos2θ=2cos2θ-1=78,

∴cos2θ=1156,∴cosθ=- 415,sinθ=14,

∴sin??θ+π6??-sin2θ=sinθ·cosπ6+cosθsinπ6-2sinθcosθ=14× 23-

415×12+2×14×

415= 83-

815+

15 8



3 8.

16.(本小题满分 14 分)已知 tan(4π+θ)+tan(π4-θ)=4,且-π<θ<-π2,求 sin2θ-2sinθcosθ-cos2θ 的值.

解:由 tan(4π+θ)+tan(π4-θ)=4,得: csoins??π4π4++θθ??+csoins??4ππ4--θθ??=cossin?π4?4π++θθ?c+osπ4?-4π-θ?θ?

=?cosπ4·cosθ?21-?sinπ4sinθ?2

=cos2θ-2 sin2θ=4.则 cos2θ=34.

∵-π<θ<-π2,

∴cosθ=- 23,sinθ=-12, ∴sin2θ-2sinθ·cosθ-cos2θ

=14-2× 23×12-34=-1+2

3 .

17.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,已知 tanB=sinAco+s?sCin-?CB-? B?,试判断△ABC 的形状.

解:在△ABC 中,A+B+C=π,则 A=π-(B+C), 因为 tanB=sinAco+s?sCin-?CB-? B?,

所以csoinsBB=sin?B+coCs??+C-sinB??C-B?

=cosBc2ocsoCs+BssininCBsinC, 所以 sinB=cosBcos2Cs+inCsinBsinC, 整理得 cos(B+C)=0. 因为 0<B+C<π, 所以 B+C=π2. 即△ABC 为直角三角形.

18.(本小题满分 16 分)求证:2-2sicno?αs4+α-34πs?icno4αs?α+π4?=11+ -ttaannαα.

证明:左边=?2c-os22αs+in?sαin+2απ4?+?co2πs?c2αo-s?αs+in2π4α??

=2-co2s2cαo-s2?sαin+2απ4?=1c-osc2oαs-?2sαi+n2απ2?=co1s+2α-sins2inα2α =?cosα+?sisninαα+??ccoossαα?-2 sinα?

=ccoossαα+ -ssiinnαα=11+ -ttaannαα=右边.

19.(本小题满分 16 分)已知 cos(α-β2)=-27 7,sin(α2-β)=12且 α∈(π2,π),β∈(0,π2). 求:(1)cosα+2 β;(2)tan(α+β). 解:(1)∵π2<α<π,0<β<π2, ∴π4<α-β2<π,-π4<α2-β<π2,

∴sin(α-β2)= 1-cos2?α-β2?= 721,

cos(α2-β)=

1-sin2?α2-β?=

3 2.

∴cosα+2 β=cos[(α-β2)-(α2-β)]

=cos(α-β2)·cos(α2-β)+sin(α-β2)·sin(α2-β)

=(-27 7)× 23+

721×12=-

21 14 .

(2)∵π4<α+2 β<34π,

∴sinα+2 β=

1-cos2α+2 β=5147,

α+β ∴tanα+2 β=sinα+2 β=-5 3 3,
cos 2

α+β ∴tan(α+β)=1-2tatann2α2+2 β=5113.

20.(本小题满分 16 分)已知 A,B,C 是△ABC 的三个内角,若co1s+2B-sins2inB2B=2+ 3,求角 B. 解:因为co1s+2B-sins2inB2B=2+ 3, 所以sin2B+cocso2sB2B-+si2ns2iBnBcosB=2+ 3, 所以?cosB+?sisninBB+??ccoossBB?-2 sinB?=2+ 3.

所以scionsBB+-csoinsBB=2+ 3,所以t1a-nBta+nB1=2+ 3,

解得 tanB= 33,∵A,B,C 是△ABC 的三个内角,∴B=π6.


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