东北师大附中2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.5-18 “点差法”在解析几何题中的应用教案

课题: “点差法”在解析几何题中的应用
课时:18 课型:复习课 复习引入: 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法:设弦 的两个端点坐标分别为 ? x1 , y1 ? 、 ? x2 , y2 ? ,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与 弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法” ,此法有着不可忽视的作用,其特 点是巧代斜率.本文列举数例,以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程 例 1 已知椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ,求斜率为的平行弦中点的轨迹方程. 2

解 设弦的两个端点分别为 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , PQ 的中点为 M ? x, y ? .

x12 x2 2 2 则 (1) (2) ? y1 ? 1 , ? y2 2 ? 1 , 2 2

?1? ? ? 2 ? 得:
?

x12 ? x2 2 ? ? y12 ? y2 2 ? ? 0 , 2

x1 ? x2 y1 ? y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 0 . 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ? 2 ,? x ? 4 y ? 0 . x1 ? x2

又 x1 ? x2 ? 2 x, y1 ? y2 ? 2 y,

弦中点轨迹在已知椭圆内,所求弦中点的轨迹方程为 x ? 4 y ? 0 (在已知椭圆内). 例 2 直线 l : ax ? y ? ? a ? 5 ? ? 0 (是参数)与抛物线 f : y ? ? x ? 1? 的相交弦是 AB ,
2

则弦 AB 的中点轨迹方程是

.

解 设 A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? , AB 中点 M ? x, y ? ,则 x1 ? x2 ? 2 x .

l : a ? x ? 1? ? ? y ? 5 ? ? 0 ,? l 过定点 N ?1, ?5 ? ,? k AB ? kMN ?
又 y1 ? ? x1 ? 1? , (1) y2 ? ? x2 ? 1? , (2)
2 2

y?5 . x ?1

-1-

?1? ? ? 2 ? 得: y1 ? y2 ? ? x1 ? 1?2 ? ? x2 ? 1?2 ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2 ? ,
? k AB ?
于是

y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2 . x1 ? x2

y?5 ? 2 x ? 2 ,即 y ? 2 x 2 ? 7 . x ?1
2

弦中点轨迹在已知抛物线内, 所求弦中点的轨迹方程为 y ? 2 x ? 7(在已知抛物线内) . 2 求曲线方程 例 3 已知 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 y ? 32 x 上,其中 A ? 2,8 ? ,且 ?ABC 的重心 G
2

是抛物线的焦点,求直线 BC 的方程. 解 由已知抛物线方程得 G ? 8, 0 ? .设 BC 的中点为 M ? x0 , y0 ? , 则 A、G、M 三点共线,

? 2 ? 2 x0 ?8 ? ???? ? ? 1? 2 且 AG ? 2 GM ,? G 分 AM 所成比为,于是 ? , 8 ? 2 y 0 ? ?0 ? ? 1? 2
解得 ?

? x0 ? 11 ,? M ?11, ?4 ? . ? y0 ? ?4

设 B ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? ,则 y1 ? y2 ? ?8 . 又 y12 ? 32 x1 , (1) y2 2 ? 32 x2 , (2)

?1? ? ? 2 ? 得: y12 ? y2 2 ? 32 ? x1 ? x2 ? ,? kBC

?

y1 ? y2 32 32 ? ? ? ?4 . x1 ? x2 y1 ? y2 ?8

? BC 所在直线方程为 y ? 4 ? ?4 ? x ? 11? ,即 4 x ? y ? 40 ? 0 .
例 4 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的一条准线方程是 x ? 1 ,有一条倾斜角为 的直 2 4 a b
? 1 1? , ? ,求椭圆方程. ? 2 4?

线交椭圆于 A、B 两点,若 AB 的中点为 C ? ?

x12 y12 1 解 设 A ? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? , 则 x1 ? x2 ? ?1, y1 ? y2 ? , 且 2 ? 2 ? 1 , (1) 2 a b x2 2 y2 2 ? 2 ?1 a2 b
, ( 2 )

?1? ? ? 2 ?





x12 ? x2 2 y12 ? y 2 2 ? ? a2 b2



-2-

b 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 2b 2 y1 ? y2 b 2 ?1 (3)又 ? 2 ,? a 2 ? 2b 2 , ? ?? 2 ? ? 2 ? ,?1 ? k AB ? x1 ? x2 x1 ? x2 a a ? y1 ? y2 ? a 1 2

a2 (4) ? 1 ,? a 2 ? c , c
而 (5)由(3) , (4) , (5)可得 a 2 ? a 2 ? b2 ? c2 ,

1 2 1 ,b ? , 2 4

x2 y 2 所求椭圆方程为 ? ? 1. 1 1 2 4
3 求直线的斜率 例 5 已知椭圆

x2 y 2 ? 9? ? ? 1 上不同的三点 A ? x1 , y1 ? , B ? 4, ? , C ? x2 , y2 ? 与焦点 F ? 4, 0 ? 25 9 ? 5?

的距离成等差数列.(1)求证: x1 ? x2 ? 8 ; (2)若线段 AC 的垂直平分线与轴的交点为, 求直线 BT 的斜率 k . (1)证 略. (2)解 ? x1 ? x2 ? 8 ,设线段 AC 的中点为 D ? 4, y0 ? . 又 A、C 在椭圆上,

x12 y12 x2 y2 (1) 2 ? 2 ? 1 , (2) ? ? 1, 25 9 25 9

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 , ?? ?1? ? ? 2 ? 得: 25 9

?

9 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 9 8 36 ?? ?? ? ?? . x1 ? x2 25 ? y1 ? y2 ? 25 2 y0 25 y0

直线 DT 的斜率 k DT ?

25 y0 25 y0 ,直线 DT 的方程为 y ? y0 ? ? x ? 4 ? .令 y ? 0 ,得 36 36

9 ?0 5 64 ? 64 ? ? . ,即 T ? x? , 0 ? ,直线 BT 的斜率 k ? 5 64 4 25 ? 25 ? 4? 25
4 确定参数的范围
2 例 6 若抛物线 C : y ? x 上存在不同的两点关于直线 l : y ? m ? x ? 3? 对称, 求实数的取

-3-

值范围. 解 当 m ? 0 时,显然满足.

当 m ? 0 时 , 设 抛 物 线 C 上 关 于 直 线 l : y ? m ? x ? 3? 对 称 的 两 点 分 别 为

P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? , 且 PQ 的中点为 M ? x0 , y0 ? , 则 y12 ? x1 , (1)y2 2 ? x2 , (2) ?1? ? ? 2 ?
得: y12 ? y2 2 ? x1 ? x2 ,? k PQ ? 又 k PQ ? ?

y1 ? y2 1 1 ? ? , x1 ? x2 y1 ? y2 2 y0

1 m ,? y0 ? ? . m 2 5 .中点 M 在 2

中点 M ? x0 , y0 ? 在直线 l : y ? m ? x ? 3? 上,? y0 ? m ? x0 ? 3? ,于是 x0 ? 抛物线 y ? x 区域内
2

? y0

2

5 ? m? ? x0 ,即 ? ? ? ? ,解得 ? 10 ? m ? 10 . 2 ? 2?

2

综上可知,所求实数的取值范围是 ? 10, 10 . 5 证明定值问题 例 7 已知 AB 是椭圆

?

?

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 不垂直于轴的任意一条弦,是 AB 的中点, a 2 b2

O 为椭圆的中心.求证:直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值.
证明 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 且 x1 ? x2 ,

x12 y12 x2 2 y2 2 则 2 ? 2 ? 1, (1) 2 ? 2 ? 1 , (2) a b a b

?1? ? ? 2 ? 得:

x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 , ? ? a2 b2

b 2 ? x1 ? x2 ? b 2 ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 y1 ? y2 ? ?? 2 ?? 2 ,? k AB ? . x1 ? x2 x1 ? x2 a ? y1 ? y2 ? a ? y1 ? y2 ?
又 kOP ? 6

y1 ? y2 b2 1 b2 ,? k AB ? ? 2 ? ,? k AB ? kOP ? ? 2 (定值). x1 ? x2 a kOP a

处理存在性问题 例8 已知双曲线 x 2 ?

1 2 过 B ?1,1? 能否作直线 l , 使 l 与双曲线交于,Q 两点, y ? 1, 2
-4-

且是线段 PQ 的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由. 解 假设这样的直线存在,设 P, Q 的坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? ,则 x1 ? x2 ? 2 ,

y1 ? y2 ? 2 ,又 x12 ?

1 2 1 (1) x2 2 ? y2 2 ? 1 , (2) y1 ? 1 , 2 2 1 ?1? ? ? 2 ? 得: ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 , 2

2 ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 0
? PQ 的斜率 k ?

y1 ? y2 ?2 x1 ? x2

又直线 l 过 P, Q, B 三点,? l 的方程为 y ? 1 ? 2 ? x ? 1? ,即 y ? 2 x ? 1 . 但若将 y ? 2 x ? 1 代入 x 2 ? 所以满足题设的直线不存在.

1 2 y ? 1 整理得方程 2 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,而此方程无实数解, 2

-5-


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