基本初等函数指数对数与幂函数早练专题练习(五)含答案人教版高中数学新高考指导

高中数学专题复习
《基本初等函数指数函数对数函数与幂函数》单 元过关检测
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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)

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评卷人 得分

一、选择题

1.若函数

f (x)

? log a (x3

? ax)

(a ? 0, a

? 1) 在区间 (? 1 ,0) 内单调递增, 则 2

a

的取

值范围是( )

(A) [1 ,1) 4

(B) [ 3 ,1) 4

(D) (1, 9 ) (20 20 天津理 ) 4

(C) (9 ,??) 4

2 . 为 了 得 到 函 数 y ? 3? (1)x 的 图 象 , 可 以 把 函 数 y ? (1)x 的 图 象

3

3

()

A.向左平移 3 个单位长度
C.向左平移 1 个单位长度 4 文 5)

B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 1 个单位长度(2020 全国

3.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=( b )x 的图象只可能是 a
()

(2020 上海理 8)

4.设 a ?1,函数

f ( x) ?

l o ga

x在区间 [a, 2a ]上的最大值 与最 小值之 差 为

1 2

,则

a?( )

A. 2

B.2

C. 2 2

D.4(2020 全国 1)

5 . 已 知 f ( x) ? (x? a)(x? b)? ,2 并 且 ?, ? 是 方 程 f (x) ? 0 的 两 根 , 实 数 a,b,? ,?
的大小关系可能是--------------------------------------------------------------------------------------------( )
(A)? <a<b< ? (B)a<? < ? <b (C)a<? <b< ? (D)? <a< ? <b

6 . 函 数 y ? l o g2 (x2 ? 2 |x |的) 单 调 递 增 区 间 是 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-------------------------( )

(A) (??, ?2) (B) (0,1)

(C)(0,2)

( D) (2, ??)

n
7.设 y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13) 成等比数列,则 ? f (2k) = k ?1
()
A,n(2n+3) B,n(n+4) C,2n(2n+3) D,2n(2n+4) (石家庄一模)

8.函数 y=f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=x+ 4 ,且当 x∈[-3,-1]时,n≤f(x) x
≤m,则 m-n 的最小值为( )A,1/3 B,2/3 C,1 D,4/3 (郑州质
检)

1 9.设 a ? 1,函数 f ( x)? l oag x在区间 [a , 2a 上] 的最大值 与最 小值之 差 为 2 ,则

a ?(

)(07全国Ⅰ)

A. 2

B.2

C. 2 2

D.4

A

10.设[x]表示不超过 x 的最大整数(如[2]=2, [ 5 ]=1),对于给定的 4

n?N*,定义

Cnx

?

n( n? 1) x( x? 1)

(n?? (x??

x? x?

? ?

1) ,

x

?

?1,

???

,





1)

x?

? ??

3 2

,

3???

时,函数

C

x n

的值

域是( D

)

A



?16 ?? 3

,

28???

B



?16 ?? 3

,

56

? ??

C



? ??

4,

28 3

? ??

?

?28,56?

D



? ??

4,

16 3

? ??

?

? ??

28 3

,

28???

第 II 卷(非选择题)

请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

? ? 1 1 . 已 知 幂 函 数 y ? m2 ? 5m ? 7 xm2?6 在 区 间 ?0, ??? 上 单 调 递 增 , 则 实 数 m 的 值


A.3

B.2

C.2 或 3

D. ?2 或 ?3

12 . 已 知 函 数 y ? f (x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 x ? 0 时 , f (x) ? lg x , 则 f (?1 0 0)
的值为 ▲

1 3.方程 2ax2 ? x?1 ? 0在 ?0,1? 内恰有 一解 ,则实数 a 的取 值范围





6. (1, ??)

14.某种商品在近 30 天内每件的销售价 P(元)与时间 t (天)的函数关系近似





P

?

t {

?

20,

(1 ? t ? 24,t ? N ) ,商品的 日销售 量 Q (件)与 时间 t (天) 的

? t ? 100, (25 ? t ? 30,t ? N )

函数关系 近似 满足 Q ? ?t ? 40(1 ? t ? 30,t ? N) ,求 这种商品 日销 售金额 的 最大值, 并指出日销售金额最大的一天是 30 天中第几天?

15. 若 2 lg (x-2y )= lg x+ lg y,则 y 的值为 x
16.函数 y ? x? 2 ? 1 的定义域是 lg( 2? x )

评卷人 得分

三、解答题

17.如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形,其中 AB=1 米,高 0.5 米,CD=2a(a> 1 )米.上部 CmD 是个半圆,固定点 E 为 CD 的中
2 点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 CD 平行的伸缩横杆.
(1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将三角通风窗 EMN 的通风面积 S(平
方米)表示成关于 x 的函数 S ? f ?x? ;
(2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大?
并求出这个最大面积.

m

m

M

N

D

E

CD

E

C

M

N

A

B

A

B

( 第 19

题)

1 8 .设定义 在[0 ,2 ] 上 的函数 f (x) 满足下 列条件 :

①对于 x ?[0, 2],总有 f ( 2? x)? f (x),且 f (x ) ? 1, f (1) ? 3 ;

②对于 x, y ? [1, 2,] 若 x ? y ? 3 ,则 f ( x)? f ( y)? f ( x? y? 2)? .1

证明:(1 )对于 x, y ? [0,1],若 x ? y ? 1,则 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)? 1

(2)

1 f( )?
3n

2 3n

?1( n? N*);

(3) x ?[1, 2]时, 1 ? f (x) ? 13? 6x.

19.时值 5 月,荔枝上市.某市水果市场由历年的市场行情得知,从 5 月 10 日 起的 60 天内,荔枝的售价 S(t)(单位:元/kg)与上市时间 t(单位:天)的关系 大致可用如图 1 所示的折线 ABCD 表示,每天的销售量 M(t)(单位:吨)与上市时 间 t(单位:天)的关系大致可用如图 2 所示的抛物线段 OEF 表示,其中 O 为坐标 原点,E 是抛物线的顶点.
(1)请分别写出 S(t),M(t)关于 t 的函数关系式;
(2)在这 60 天内,该水果市场哪天的销售额最大?

S(元)

M(吨)

10 A B

6

C

5

图1

10 D
2

E F
图2

O 10 20 40 60 t(天)

O 10

40 60 t(天)

20.已知定义在实数集 R 上的偶函数 f(x)的最小值为 3,且当
x ? 0时,f ( x) ? 3ex ? a(a 为 常数 )
(1)求函数 f(x)的解析式 (2 ) 求 最 大 的 整 数 m(m>1) , 使 得 存 在 实 数 t , 对 任 意 的
x ?[1, m],都有f (x ? t) ? 3ex

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.B 2.D 3.A 4.D 5. 6. 7.F 解析:由已知 f(x)=2x+1,按等差数列求和,选 8.CF 解析:m,n 分别为 f(x)在[-3,-1]上的最大、最小值,也是[1,3]的最大、最小值, m=f(1)=5,n=f(2)=4,m-n=1,选 C

9. 10.
第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11.A
12. ?2
13. 14. 15. 16.
评卷人 得分

三、解答题

17.(1)(一)

0≤x ?

1 时,由平面几何知识,得 2

MN ?1 2a ?1

?

x 1



2

∴ MN ? 2(2a ?1)x ?1, S ? f ? x? ? ?(2a ?1)x2 ? (a ?1)x ? 1 . … … … … … 3 分
4

(二) 1 ? x ? a ? 1 时, S ? f ?x? ? 1 ? 2 a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1) ? a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1) ,

2

2

2

2

2

2

2



S

?

f

(

x)

?

????(2a ?

?

1)

x

2

? (a ?1)x ?

1, 4

x ?[0, 1), 2

………………………………5 分

? ??

a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1), x ? (1 , a ? 1).

2

2

22

( 2 ) ( 一 ) 0 ≤ x ? 1 时 , S ? f ? x? ? ? (2a ?1)x2 ? (a ?1)x ? 1 .

2

4

∵ a ? 1 ,∴ a ?1 ? 1 ? ?a ? 0 ,∴ a ?1 ? 1 .

2

2(2a ?1) 2 2(2a ?1)

2(2a ?1) 2



1 2

?

a ≤1,当

x

?0时, [f

(x)]max

?

f

(0)

?

1 4





a ?1,当

x

?

a ?1 2(2a ?1)

时 , [ f (x)]max

?

f[ a ?1 ] ? 2(2a ?1)

a2 4(2a ?1)

.……………7



(二) 1 ? x ? a? 1 时,

2

2

S ? f ?x? ? 1 ? 2 a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1) ? a2 ? (x ? 1)2 ? (x ? 1)

2

2

2

2

2

?

(x

?

1 )2 [a2

?

(x

?

1 )2 ]



(x

?

1)2 2

? [a2

?

(x

?

1 )2 ] 2

?

1

a2 ,

2

2

2

2

等 号 成 立 ? (x ? 1)2 ? a 2 ? (x ? 1) 2 ? x ? 1 ( 2a ?1) ? (1 , a ? 1) .

2

2

2

22

∴ 当x ? 1 ( 2

2a ?1) 时 ,

[f

( x)]m a x

?

a2 2

.…………………………………………10



A . 1 ? a ≤1 时 , ∵ a2 ? 1 ? 1(a ? 2)(a ? 2 ),

2

2 42 2

2

∴ 1 ?a≤ 2

2 2

时.当

x

?

0,

[

f

(x)]max

?

f (0) ? 1 , 4

2 ? a ≤1时,当 x ? 1 (

2

2

2a ?

1), [ f

( x)]m a x

?

a2 2

.……………………………12



B . a ?1 时 , 1 a2 ? a2 ? 4a ? 3 a2 ? 0 . 2 4(2a ?1) 4(2a ?1)

当 x? 1( 2

2a ?1) 时 , [ f

( x)]m a x

?

a2 2

.……………………………………………14



综上, 1 ? a≤ 2

2 2

时,当

x ? 0 时 , [ f (x)]max

?

f (0) ?

1 4

,即

MN



AB

之间的距离

为 0 米时,三角通风窗 EMN 的通风面积最大,最大面积为 1 平方米. a ? 2

4

2

时,当 x? 1( 2

2a ?1) 时 ,

[ f (x)]max

?

a2 2



即 MN 与 AB 之 间 的 距 离 为 x ? 1 ( 2

2a ?1)

米 时 , 三 角 通 风 窗 EMN 的 通 风 面 积 最 大 , 最 大 面 积 为 1 a2 平 方 2

米.………………………16 分

18.证 明: 由 f (2 ? x) ? f (x) 知, 函数 f (x) 图像 关于 直线 x ? 1对 称, 则 根据 ②可 知:对于 x, y ? [0, 1,] 若 x ? y ? 1,则 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y)? 1.… ………… 2 分

设 x1, x2 ?[0,1] , 且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ?[0,1] .

∵ f (x2 ) ? f (x1 ) ? f [x1 ? (x2 ? x1 )] ? f (x1) ? f (x1) ? f (x2 ? x1) ?1 ? f (x1)

? f (x2 ? x1 ) ?1 ? 0 ,

∴ f (x) 在[0 ,1 ] 上是 不减函 数. …… …… ……… … … 4 分

(1)∵ f ( 1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 1 ? 1 ) ? f ( 1 ) ?1? 3f ( 1 ) ? 2,

3n?1

3n 3n 3n

3n 3n

3n

3n



f

(

1 3n

)

?

1 3

f

(

1 3n?1

)

?

2 3

?

1 32

f

(

1 3n?2

)

?

2 32

?

2 3

?

...

?

1 3n

f

(

1 3n?n

)

?

2 3n

? ... ? 2 3

? 1 ?1? 1 ? 2 ?1.…………8 分

3n?1

3n 3n

(2)对于任意

x ? ( 0, 1],则必存 在正整数 n ,使 得

1 3n

?

x?

1 3n?1

.

因为

f (x) 在(0 ,1 )上 是不 减函数, 所以

f(1)? 3n

f (x) ?

f

(

1 3n?1

)



由(1)知

f( 1 ) 3n?1

?

2 3n?1

?1? 6 1 3n

?1 ? 6x ?1.

由①可得 f ( 2)? 1,在 ②中, 令 x ? y ? 2 ,得 f ( 2)? 1,∴ f (2) ? 1.

而 f (2) ? f (0) ,∴ f (0) ? 1,又 f ( 1 ) ? f (0),∴ f ( 1 ) ? 1 ,

3n

3n

∴ x ?[0,1]时, 1 ? f (x ) ? 6x ? 1..… ……… …… 12 分

∵ x ?[1, 2]时, 2 ? x ? [0, 1,] 且 f (x) ? f (2 ? x) , ∴ 1 ? f (2 ? x) ? 6(2 ? x) ?1 ? 13 ? 6x ,

因此, x ?[1, 2]时, 1 ? f (x) ? 13? 6x.……… …. 14 分

19. 20.


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