湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 1.4.1正弦、余弦函数的图象教案 新人教A版必修4

1.4.1 正弦、余弦函数的图象
教学目标: 知识目标: (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的 形状; (2)根据关系 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些 有关问题; 能力目标: (1)理解并掌握用单位圆作正弦函数、 余弦函数的图象的方法; (2)理解并掌握用“五点法”作正弦函 数、余弦函数的图象的方法; 德育目标:通过作正弦函数和余弦函数图象,培养学生认真负责,一丝不苟的学习和工 作精神; 教学重点:用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象; 教学难点:作余弦函数的图象。 教学过程: 一、复习引入: 1. 弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。 2.正、余弦函数定义:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P (x,y) P 与原点的距离 r( r ? 则比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0 )
记作: 记作:

2

2

P (x, y)
r

y 叫做 ? 的正弦 r x 比值 叫做 ? 的余弦 r

y r x cos ? ? r sin ? ?

?

3.正弦线、余弦线:设任意角α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,则有

sin ? ?

y x ? MP , cos ? ? ? OM r r

向线段 MP 叫做角α 的 正弦线,有向线段 OM 叫做角α 的余弦线. 二、讲解新课: 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法) :为了作三角 函数的图象,三角函数的自变量要用弧度制来度量,使自变量与函数值都为实数.在一般情 况下,两个坐标轴上所取的单位长度应该相同,否则所作曲线的形状各不相同,从而影响初 学者对曲线形状的正确认识. (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴 的交点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. (预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应).

1

第二步:在单位圆中画出对应于角 0,

?
6



? ? , ,?,2π 的正弦线正弦线 (等价于 “列 3 2

表” ).把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x ∈[0,2π ]的图象.

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移 动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动, 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正 弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象.

(2)余弦函数 y=cosx 的图象 探究 1:你能根据诱导公式,以正弦函数图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函 数的图象? 根据诱导公式 cos x ? sin( x ?

?
2

) ,可以把正弦函数 y=sinx 的图象向左平移

? 单位即得 2

余弦函数 y=cosx 的图象. (课件第三页“平移曲线” )
y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线. 思考:在作正弦函数的图象时,应抓住哪些关键点? 2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (描点法) : 正弦函数 y=sinx, x∈[0, 2π ]的图象中, 五个关键点是: (0,0) ( (2?,0)
2

3? ? ,1) (?,0) ( ,-1) 2 2

余弦函数 y=cosx

x?[0,2?]的五个点关键是哪几个?(0,1) (

3? ? ,0) (?,-1) ( ,0) 2 2

(2?,1) 只要这五个点描出后,图象的形状 就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五 点法作正弦函数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以 3、讲解范例: 例 1 作下列 函数的简图 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ], (2)y=-COSx ●探究 2. 如何利用 y=sinx,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来 得到 (1)y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕的图象; (2)y=sin(x- π /3)的图 象? 小结:函数值加减,图像上下移动;自变量加减,图像左右移动。 ● 探究3. 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y =-cosx , x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:这两个图像关于 X 轴对称。 ●探究4. 如何利用 y=cos x,x∈〔0,2π 〕 的图象,通过图形变换(平移、翻转等)来得到 y= 2-cosx ,x∈〔0,2π 〕的图象? 小结:先作 y=cos x 图象关于 x 轴对称的图形,得到 y=-cosx 的图象, 再将 y=-cosx 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=2-cosx 的图象。 ●探究5. 不用作图,你能判断函数 y=sin( x - 3π /2 )和 y=cosx 的图象有何关系吗?请在同一坐标 系中画出它们的简图,以验证你的猜想。 小结:sin( x - 3π / 2 )= sin[( x - 3π /2 ) +2 π ] =sin(x+π /2)=cosx 这两个函数相等,图象重合。 例 2 分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

(1) sin x ?

1 ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

三、巩固与练习 四、小 结:本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法 2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系 五、课后作业:

3


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