人教A版数学必修2课件:3.1.1倾斜角与斜率_图文

1、理解直线的倾斜角和斜率的概念;
2、掌握过两点的直线的斜率公式; 3、通过坐标法的引入,培养学生联

系、对应转化等辩证思维。

1.一条直线的位置由哪些条件确定呢? 答:两点确定一条直线。 2.一点能否确定一条直线 的位置吗?
y

l
P 1 ( x1 , y1 )

o
P2 ( x2 , y2 )

x

一、直线的倾斜角:
1、定义:
当直线l与x轴相交时, 我们取x轴作为基准,x轴 正向与直线l向上方向之间 所成的角 ? 叫做直线的 倾斜角。

y

l

o

?
x

? ?0 规定:1.当直线与x轴平行或重合时,
? ? 90 2.当直线与x轴垂直时,
0

0

按倾斜角分类,直线可分几类?
y o
y p

l x

o

?

p

l
x

y p o

l

y o p?

?

x

x

l

2、范围:

0 ? a ? 180
?

?

练习:下列图中标出的直线的倾斜角对不对? 如果不对,违背了定义中的哪一条?
y y y y

o

?
x

o

? x

? o
(3)

?
x o (4) x

(1)

(2)

日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比) ? 前进量
升 高 量 前进量

二、直线的斜率:
设直线的倾斜程度为k
k AC ? CB AB
C 升

? tan ?

A

?
前进量

高 量

B

1、定义:
我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值 叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示,即:k ? tan ?

是否每条直线都有斜率?
1.如果倾斜角是零度角?
2.如果倾斜角是锐角? 3.如果倾斜角是直角? 4.如果倾斜角是钝角?

k ?0
k ? tan ?

k不存在
0

k ? tan ? ? ? tan 180 ? ?

?

?

练习:已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

3 ?1?a ? 30 ? k ? tan30 ? 3 ? ? ?2?a ? 45 ? k ? tan45 ? 1
?
?

?3?a ? 60 ? k ? tan60 ? 3 ? ?4?a ? 120 ? ?5?a ? 150 ? k ? ? tan(180 ?150 ) ? ?
?
?
? ?

? k ? ? tan( 180? ?120? ) ? ? 3

3 3

由两点确定的直线的斜率:
倾斜角是锐角时
y
y2
P2 ( x2 , y2 )

? tan ? 当αk 为锐角时,

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

?

Q( x2 , y1 )

且x1 ? x2 , y1 ? y2

能不能构造 ? ?P 一个直角三 2 PQ 1 角形去求?

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

QP y ? y 2 2 1 k ? tan? ? tan?P2 P Q ? ? 1 P x2 ? x1 1Q

?0

倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 ) P 1 ( x1 , y1 ) Q( x2 , y1 ) ?

当α为钝角时, ? ? 180 ? ? ,
且x1 ? x2 , y1 ? y2
tan? ? tan( 180? ? ? ) ? ? tan?

?

在Rt?P2QP 中 1
P2Q

y ? y 2 1 tan? ? ? P 1Q x1 ? x2 y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1

o

x2

x1

x

?0

1.当直线平行于x轴,或与x轴重合时, ? ? ? 0 上述公式还适用吗?为什么?
y
P 1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y2 )

k ?0

y2 ? y1 k? x2 ? x1

x1

o

x2

答:成立,因为分子 x 为0,分母不为0, k =0

? ? 90 , tan90 (不存在 ) 2.当直线平行于 y轴,或与 y轴重合时, k不存在 上述公式还适用吗?为什么?
? ?

y

y2

P2 ( x2 , y2 ) P 1 ( x1 , y1 )

y1

y2 ? y1 k? x2 ? x1
答:斜率不存在, 因为分母为0。

o

x

三、直线的斜率公式:
经过两点 P 1 ( x1, y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的斜率公式:

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
P2 P1 P1 P2

例1:如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2), 求直线AB、BC、CA的斜率,并判断这些 直线的倾斜角是什么角?
y. 2?2 k AB ? ?0 解: B A . ?8? 4 . . . . . . . o ?2?2 ?4 1 x . k BC ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2 C 2 ? (?2) 4 kCA ? ? ?1 4?0 4 ? k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零

? kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

? kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角

练习:已知P 1 (1,2), P 2 ( x,3), P 3 (?3,?1)在一条

直线上, 求x的值.
解: ? P 1, P 2, P 3在一条直线上

?kP1P2 ? kP2 P3
3 ? 2 ?1 ? 3 即 ? x ?1 ? 3 ? x

7 x? . 3

【总一总★成竹在胸】
楼梯坡度
平面解 析几何

直线的斜率

斜率定义

核心
知识?方法?思想

几何意义

应用


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