2018-2019学年高中数学人教B版必修二学案:2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率

数学 2.2 2.2.1 直线的方程 直线方程的概念与直线的斜率 [学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点 的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系. [预习导引] 1.直线的方程的概念 一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方 程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程;这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的斜率 (1)通常把直线 y=kx+b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率. y1-y2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),为直线 l 上任意两点,且 x1≠x2,则直线 l 的斜率为 k= . x1-x2 3.直线的倾斜角 (1)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与 x 轴平行或重合的直 线的倾斜角为零度角. (2)由斜率 k 的定义可知 ①当 k=0 时,直线平行于 x 轴或与 x 轴重合; ②当 k>0 时,直线的倾斜角为锐角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大; ③当 k<0 时,直线的倾斜角为钝角,k 值增大,直线的倾斜角也随着增大; ④垂直于 x 轴的直线的倾斜角等于 90° . 要点一 直线的倾斜角 例 1 设直线 l 过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将 l 绕坐标原点按逆时针方向旋转 45° ,得到 直线 l1,那么 l1 的倾斜角为( A.α+45° B.α-135° C.135° -α ) 数学 D.当 0° ≤α<135° 时,倾斜角为 α+45° ;当 135° ≤α<180° 时,倾斜角为 α-135° 答案 D 解析 根据题意,画出图形,如图所示: 因为 0° ≤α<180° ,显然 A,B,C 未分类讨论,均不全面, 不合题意.通过画图(如图所示)可知: 当 0° ≤α<135° 时,l1 的倾斜角为 α+45° ; 当 135° ≤α<180° 时,l1 的倾斜角为 45° +α-180° =α-135° .故选 D. 规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答. 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情 况分类讨论. 跟踪演练 1 一条直线 l 与 x 轴相交,其向上的方向与 y 轴正方向所成的角为 α(0° <α<90° ),则 其倾斜角为( A.α C.180° -α 或 90° -α 答案 D 解析 如图,当 l 向上方向的部分在 y 轴左侧时,倾斜角为 90° +α;当 l 向上方向的部分在 y 轴右侧时,倾斜角为 90° -α.故选 D. ) B.180° -α D.90° +α 或 90° -α 要点二 直线的斜率 例 2 已知直线 l 过 P(-2,-1),且与以 A(-4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的 取值范围. 解 数学 根据题中的条件可画出图形,如图所示, 3 又可得直线 PA 的斜率 kPA=- , 2 4 直线 PB 的斜率 kPB= , 3 结合图形可知当直线 l 由 PB 变化到与 y 轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到 90° ,故斜率 4 ? 的取值范围为? ?3,+∞?, 当直线 l 由与 y 轴平行的位置变化到 PA 位置时,它的倾斜角由 90° 增大到 PA 的倾斜角,故斜 3? 率的变化范围是? ?-∞,-2?. 综上可知,直线 l 的斜率的取值范围是 ?-∞,-3?∪?4,+∞?. 2? ?3 ? ? 规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k=tan α(α≠90° )解决. (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 y2-y1 k= (x1≠x2)求解. x2-x1 (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解. 跟踪演练 2 已知两点 A(-3,4),B(3,2),过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB 有公共点. (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 解 如图所示,由题意可知 kPA= 2-0 =-1,kPB= =1. -3-1 3-1 4-0 (1)要使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 k≤-1,或 k≥1. (2)由题意可知,直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间,又 PB 的倾斜角是 45° ,PA 的 倾斜角是 135° ,所以 α 的取值范围是 45° ≤α≤135° . 要点三 斜率公式的应用 数学 y 例 3 已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,且 2≤x≤3,求 的最大值和最小值. x 解 如图所示,由于点(x,y)满足关系式 2x+y=8,且 2≤x≤3,可知点 P(x,y)在线段 AB 上移动,并且 A,B 两点的坐标可分别求得为 A(2,4),B(3,2). y 由于 的几何意义是直线 OP 的斜率, x 2 且 kOA=2,kOB= , 3 y 2 所以可求得 的最大值为 2,最小值为 . x 3 y2-y1 规律方法 若所求最值或范围的式子可化为 的形式,则联想其几何意义,利用图形数形 x2-x1 结合来求解. y+3 跟踪演练 3 已知实数 x,y 满足 y=x2-x+2(-1≤x≤1),试求 的最大值和最小值. x+2 解 y+3 由 的几何意义可知,它表示经过定点 P(-2,-3)与曲线段 AB 上任一点(x,y)的直线的斜率 x+2 k,由图可知 kPA≤k≤kPB,由已知可得 A(1,2),B(-1,4). 则 kPA= 2-?-3? 5 4-?-3? = ,kPB= =7. 1-?-2? 3 -1-?-2? 5 ∴ ≤k≤7, 3 y+3 5 ∴ 的最大值为 7,最小值为 . 3 x+2 数学 1.下图中标注的 α 表示直线

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