高中数学人教A版必修1课件:指数运算及指数函数习题课_图文

指数运算及指数函数习题课

-1-

1.掌握根式的性质及分数指数幂的运算性质. 2.能对指数函数的图象进行综合运用.

1

2

3

4

1.根式的性质 (1)( )n=a. (2)当 n 为奇数时 , 当 n 为偶数时,
n

= ; , ≥ 0, = || = . -, < 0
4



【做一做 1】 若 x<y,则化简 (x-y) + ( - )3 的结果 是 . 解析 :∵x<y,∴x-y<0, ∴
4

4

3

(x-y) + ( -)3=y-x+x-y=0.

4

3

答案 :0

1

2

3

4

2.根式与分数指数幂的互化


=



(a>0,m,n∈N*,且 m>1).
5

【做一做 2】 用分数指数幂表示根式 的结果为 解析 :原式 =
1 答案: 4
5

x· 3

4

.
1 3 x2 · 4

=

5

5 4

=

5 1 ( 4 )5

=

1 4 .

1

2

3

4

3.负分数指数幂


=



1

=

1 * (a>0,m,n∈N ,且 m>1). -1 + ()
-1 -1

【做一做 3】 化简: 解析:
-1 +-1 ()
-1

= _____. +
-1 -1 -1

=

-1 +-1 -1 -1

=

-1 -1 -1

=

1
-1

+

1 -1

= + .

答案 :a+b

1

2

3

4

4.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象性质
a>1 图象 0<a<1

①定义域:R,值域 :(0,+∞)
性 质

②图象都过点(0,1)
当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 当 x>0 时,0<y<1;当 x<0 时,y> 1 在 R 上是减函数
1

③在 R 上是增函数
对称 ④指数函数 y=ax 和 y = 性

(a>0,且 a ≠1)的图象关于 y 轴对称

1

2

3

4

【做一做4-1】 函数y=3x-2的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:将函数y=3x的图象向下平移2个单位,得到函数y=3x-2的图 象,从而可知y=3x-2的图象不经过第二象限. 答案:B

1

2

3

4

【做一做 4-2】 函数 y= 解析 :由已知得 答案 :(-∞,-3]
1 +2 2

1 +2 -2 的定义域是 2

.

? 2≥0,∴ 2-x-2≥2,∴-x-2≥1,∴x≤-3,∴所求

函数的定义域为 (-∞,-3].

解决指数函数性质的综合问题应关注两点 剖析:(1)指数函数的单调性与底数有关,因此讨论指数函数的单 调性时,一定要明确底数与1的大小关系.与指数函数有关的函数的 单调性也往往与底数有关,其解决方法一般是利用函数单调性的定 义. (2)指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以 具有奇偶性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一
3

指数幂 (根式 )的化简与计算
6

【例 1】 (1)化简( 2 · a) ÷ (2)计算
1 -2 4

= -

;
6 2
1 6

+

1 6 6
2 3

-

1 3

+ ÷ +

3+ 2 +4× 3- 2
1 6 1 (32

3

= = .
1 62

.

解析 :(1)原式 =
-2 -2 1 62 1 62

1 ·2

= +

2 3

1 ·2

· = ×
1 × 8

2 11 + 3 2 6

(2)原式 =(2 ) + (6

-

3 1 2) 3

1 22 )2- 4

3 62

= 24 +

+

5+2 × ? 3 × = 21. 答案 :(1)a (2)21

题型一

题型二

题型三

题型四

反思1.进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分 数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. 2.在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符 号,则可以对根式进行化简运算. 3.对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表 示.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 (1)已知函数 f(x)=2 ,若 f(a)<f(2b),则 (a-b)3 +
x

3

(a-2b )2 = (2)若 2 =3,
x

;
1 y 2

= , 则22x+y=

3 2

.

解析 :(1)∵f(x)=2x 在 R 上为增函数, ∴当 f(a)<f(2b)时 ,a<2b. ∴
3

(- )3 +
2x+y 2x y

(a-2b)2 = ? + 2b-a=b.
x 2 y

(2)2

=2 · 2 =(2 ) · 2 =3 2 ×

2 3

= 6.

答案 :(1)b (2)6

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

指数函数图象的应用
1 | | 的图象 , 2 1 2 1 - 2

【例 2】 画出函数 y =

并根据图象写出函数的值域及单调区间. 分析 :因为 y=
1 | | 2

=

, ≥ 0, , < 0,

所以 ,分段画出函数的图象即可.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :∵y=

1 | | 2

=

2 , < 0,

1 2

, ≥ 0,
1 2

∴在同一坐标系内画出函数 y=

(x≥0)及 y=2x(x<0)的图象 .

这两段图象合起来就是所求函数的图象 ,如图所示 .

由图象可知函数的值域是(0,1],递增区间是(-∞,0],递减区间是 [0,+∞).

题型一

题型二

题型三

题型四

反思根据函数图象的变换规律,有以下结论: (1)函数y=ax+b(a>0,且a≠1)的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1) 的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度而得到; (2)函数y=ax+b的图象,可由指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象向 上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度而得到; (3)函数y=a-x的图象与函数y=ax的图象关于y轴对称;函数y=-ax的 图象与函数y=ax的图象关于x轴对称;函数y=-a-x的图象与函数y=ax 的图象关于原点对称;函数y=a|x|的图象关于y轴对称,当x≥0时,其图 象与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图象相同;当x<0时,其图象与x>0时 的图象关于y轴对称.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 函数 y= ( )

(0<a<1)的图象的大致形状是 ||

解析:当x>0时,y=ax(0<a<1),故排除A,B;当x<0时,y=-ax,与 y=ax(0<a<1,x<0)的图象关于x轴对称,故选D. 答案:D

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三 与指数函数有关的函数的奇偶性问题

【例 3】 已知函数 f(x ) =

2 +1 . 2 -1

(1)求f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性. 分析:(1)要使f(x)有意义,只需分母不为零即可;(2)利用奇、偶函 数定义求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)由 2x-1≠0,得 2x≠1,即 x ≠0, 因此函数 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (2)由 (1)知,函数 f(x)的定义域关于原点对称. 又 f(-x) =
2 +1 2 -1
- -

=

1 +1 2 1 -1 2

=

1+2 1-2

=

2 +1 ? 2 -1

= ? (x),

所以 f(x)是奇函数.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 若 f(x) =

1 + 是奇函数 , 则a= 2 -1 1 2 -1
-

. +

解析 :易知 f(x)的定义域关于原点对称.因为 f(-x)=-f(x),即
1 = ? + 恒成立,取 2 -1 1 经检验a= 符合题意. 2 1 答案: 2

x=1,得 -2+a=-(1+a),所以 a=

1 , 2

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

与指数函数有关的函数单调性问题
10 -10- 10 +10
-

【例 4】 已知函数 f(x ) =

.

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)是其定义域内的增函数.

题型一

题型二

题型三

题型四

(1)解 :因为函数 f(x)的定义域是 R,且 f(-x) = 所以 f(x)是奇函数 . (2)证明 :f(x) =
10 -10- 10 +10
-

10- -10 10 +10
-

= ? (x),

=

102 -1 102 +1

=1?

2 102 +1 2

, 在定义域R 内任 ?

取 x1,x2,且 x2>x 1,则 x2-x 1>0,f(x 2)-f(x1) = 112 10
21

1022 +1

+1

=

1022 -1021 2 · 22 , 21 (10 +1)(10 +1)

设 g(x)=10x,且知函数 g(x)在其定义域内为增函数,所以当 x2>x1时 , 102 2 ? 1021 > 0. 又因为 1021 + 1>0, 102 2 + 1>0,所以 f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x2)>f(x1), 故 f(x)在其定义域内是增函数 .

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 4】 已知函数 f(x) = ( ) A.单调递减,且无最小值 B.单调递减 ,且有最小值 C.单调递增 ,且无最大值 D.单调递增,且有最大值 解析 :函数 f(x) = (0,1),无最值 . 答案 :A

1 , 则该函数在( -∞,+∞)内 2 +1

1 在R 上为减函数 ,2x+1>1,故 f(x ) 2 +1

=

1 ∈ 2 +1


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