第1讲空间点线面的位置关系

第 1 讲 空间点、直线、平面之间的 位置关系 一、考点分析 考情分析 理解空间点、线、面的位置关系;会用数学 语言表述空间点、线、面的位置关系.了解 公理 1、2、3 及公理 3 的推论 1、2、3,并能 正确判定;了解公理 4 和等角定理. 考点新知 理解空间直线、平面位置关系的定义, 能判定空间两直线的位置关系;了解异面直 线所成角.

二、知识点 1. 公理 1:如果一条直线上有________在一个平面内,那么________在这个平面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他的公共点,这些公共点的集合 是________. 公理 3:经过不在同一直线上的三点,________. 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,________. 推论 2:经过两条相交直线,________. 推论 3:经过两条平行直线,________. 2. 空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 1 相交直线 在同一平面内 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 3. 平行直线的公理及定理 (1) 公理 4:平行于同一条直线的两条直线________. (2) 定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别________并且方向________,那么这 两个角相等.

三、基础演练 1.已知点 P、Q,平面 ? ,将命题“ P ? ? ,Q ?

??

PQ ?

? ”改成文字叙述是________.

2.有下列命题:①空间四点共面,则其中必有三点共线;②空间四点不共面,则其中任何三点 不共线;③空间四点中有三点共线,则此四点共面;④空间四点中任何三点不共线,则此四 点不共面.其中正确的命题是________.(填序号) 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,与 AD1 平行的对角线有________条. 4. 如图所示,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,CD,DA 的中点,则 (1) 当 AC,BD 满足条件________时,四边形 EFGH 为菱形; (2) 当 AC, BD 满足条件________时, 四边形 EFGH 是正方形.

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5. 设 P 表示一个点,a,b 表示两条直线,α 、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中正 确的命题是________.(填序号) ① P∈a,P∈ ? ? a ? ? ; ② a∩b=P,b ? β ? a ? β ; ③ a∥b,a ? α ,P∈b,P∈α ? b ? α ; ④ α ∩β =b,P∈α ,P∈β ? P∈b.

四、典型例题 题型 1 平面的基本性质 例 1 画一个正方体 ABCDA1B1C1D1,再画出平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线,并且说明 理由.

变式训练 1 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 A1C1 面上有一点 P(如图所示,其中 P 点不在对角线 B1D1) 上. (1) 过 P 点在空间作一直线 l ,使 l ∥直线 BD,应该如何作图?并说明理由; π (2) 过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与直线 BD 成 α 角,其中 α∈?0, ?,这样 2? ? 的直线有几条,应该如何作图?

题型 2 共点、共线、共面问题 例 2 如图,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, 1 1 ∠BAD=∠FAB=90°,BC∥= AD,BE∥= FA,G、H 2 2 分别为 FA、FD 的中点. (1) 证明:四边形 BCHG 是平行四边形.
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(2) C、D、F、E 四点是否共面?为什么?

变式训练 2 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC、BD 交 于点 M,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点.求证: (1) C1、O、M 三点共线; (2) E、C、D1、F 四点共面.

题型 3 空间直线位置关系问题 例 3 已知 A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1) 求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2) 若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角.

变式训练 3 已知四棱锥 P-ABCD 的顶点 P 在底面的射影恰好是底面菱形 ABCD 的两条对角线的交点, 若 AB=3,PB=4,则 PA 长度的取值范围为________.

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五、能力提升 1.给出下列四个命题: ① 没有公共点的两条直线平行;② 互相垂直的两条直线是相交直线; ③ 既不平行也不相交的直线是异面直线;④ 不同在任一平面内的两条直线是异面直线. 其中正确命题是________.(填序号) 2. 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个 正四面体中: ① GH 与 EF 平行; ② BD 与 MN 为异面直线; ③ GH 与 MN 成 60°角; ④ DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的是________.(填序号) 3. 若直线 l 不平行于平面 ? ,且 l ? ① ② ③ ④

? 内的所有直线与 l 异面; ? 内不存在与 l 平行的直线; ? 内存在唯一的直线与 l 平行; ? 内的直线与 l 都相交.

? ,则下列命题正确的是________.(填序号)

4. 从正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点中任意取 4 个不同的顶点,这 4 个顶点可能是: (1) 矩形的 4 个顶点; (2) 每个面都是等边三角形的四面体的 4 个顶点; (3) 每个面都是直角三角形的四面体的 4 个顶点; (4) 有三个面是等腰直角三角形,有一个面是等边三角形的四面体的 4 个顶点. 其中正确的结论有________个. 5. 若 P 是两条异面直线 l 、m 外的任意一点,则下列命题中假命题的是________.(填序号) ① 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、m 都平行; ② 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、m 都垂直; ③ 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、m 都相交; ④ 过点 P 有且仅有一条直线与 l 、m 都异面.

6. 如图,在四面体 ABCD 中作截面 PQR,若 PQ、CB 的延长线交于 M,RQ、DB 的延长线交于 N,RP、DC 的延长线交于 K.求证: M、N、K 三点共线.

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7. 已知:a、b、c、d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a、b、c、d 共面.

六、总结点评 1. 证明点线共面的常用方法:一是依据题中所给条件先确定一个平面,然后证明其余的 点或线都在面内;二是将所有元素分成几个部分,然后分别确定几个平面,再证这些平面重 合;三是采用反证法. 2. 证明三线共点的方法:通常先证明两条直线的交点在第三条直线上,而第三条直线是 两个平面的一条交线. 3. 异面直线的证明方法:一是应用判定定理(过平面内一点与平面外一点的连线与平面内 不经过该点的直线是异面直线);二是采用反证法.判定异面直线时通常采用排除法(既不相交 也不平行)或判定定理. π 4. 对于异面直线所成的角,要注意角的范围是?0, ?以及两条直线垂直的定义,平移法 2? ? 是解决此类问题的关键.

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