《用二分法求方程的近似解》_课件_图文

课题:3.1.2 用二分法求方程

李店中学

马琳

复习旧知
复习提问:什么叫函数的零点?零点的 等价性什么?零点存在性定理是什么?
零点概念:对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

方程f(x)有实数根?函数y=f(x)的图象与 x轴有交点?函数y=f(x)有零点 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么, 函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得f(c )=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根.

提出问题
一元二次方程可以用公式求根,但是没有公 式可以用来求方程lnx+2x-6=0的根,能否 利用函数的有关知识来求它的根呢?

研讨新知
我们已经知道,函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内有零点;进一步的问题是,如何找到这个 零点呢?
如果能够将零点的范围尽量缩小, 那么在一定精确度的要求下,我们 我要说 可以得到零点的近似值. 我要问
我来说

研讨新知
取区间(2,3)的中点2.5,用计算器 算得f(2.5)≈-0.084,因为f(2.5)×f(3)<0,所以 零点在区间(2.5,3)内;再取区间(2.5,3)的中 点2.75,算得f(2.75)≈0.512,因为 f(2.5)×f(2.75)<0,所以零点在(2.5,2.75) 内 ;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如:端点)作为零点的近似值。
做一做

例 根据下表计算函数f (x) ? lnx ? 2x ? 6 在区 间(2,3)内精确到0.01的零点近似值?
区间(a,b)
(2 ,3 ) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) (2.5,2.562 5) (2.531 25,2.562 5) (2.531 25,2.546 875)

中点值m
2.5 2.75 2.625 2.562 5 2.531 25 2.546 875 2.539 062 5

f(m)的近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.01

精确度|a-b|
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625

(2.531 25,2.539 062 5)

2.535 156 25

0.001

0.007813

解:观察上表知:0.007813<0.01, 所以x=2.53515625≈2.54为函数 f(x)=lnx+2x-6零点的近似值。

给这种方法取个名字?

定义: 对于在区间[a,b]上连续不断、且 f(a)· f(b)<0的函数y=f(x),通过不断把函数f(x)的零 点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼 近零点,进而得到零点近似值的方法叫二分法。 想一想:你能归纳出用二分法求函数零点近似值 的步骤吗?
1、确定区间[a,b],验证f(a)· f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点c 3、计算f(c);(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点 (2) 若f(a)· f(c)<0 ,则令b= c(此时零点x0∈(a,c)) (3) 若f(c) ·f(b) <0 ,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b);否则得复2~4

巩固深化
例2、借助电子计算器或计算机用二分法求方程

2 ? 3x ? 7
x

的近似解(精确到0.1)

分析思考:原方程 的近似解和哪个函数的零点是 等价的? x 解:原方程即 2 ? 3x ? 7 ? 0 , x 令 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 ,用计算器或计算机 x 作出函数 f ( x) ? 2 ? 3x ? 7 的对应值表与图 象(如下): x 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x)=2x+3x-7 -6 -2

3

10 21 40 75 142

4

3

f? x? = ?2x+3? x?-7

2

1

-2 -1

0

1

2

4

6

8

10

-2

-3

-4

-5

-6

观察上图和表格,可知f(1)· f(2)<0,说明在区 间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点 x1=1.5,用计算器可得f(1.5)≈0.33.因为 f(1)· f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5),再取(1,1.5)的 中点x2=1.25,用计算器求得 f(1.25)≈-0.87,因此f(1.25)· f(1.5)<0,所以 x0∈(1.25,1.5),同理可得x0∈(1.375,1.5), x0∈(1.375,1.4375), 由|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,此时区间 (1.375,1.4375)的两个端点,精确到0.1的近 似值都是1.4,所以原方程精确到0.1的近似 解为1.4.

练习1 用二分法求函数f (x)=x3-3的一个

正实数零点(精确到0.1).

列表
端点或中点 的横坐标 计算端点或中点 的函数值 定区间

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2 计算端点或中点 的函数值 定区间

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2 计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5 定区间

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2 计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5 [1, 2] 定区间

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5 [1, 2]

定区间

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

x1=1.25

f(x1)= –1.0469<0 [1.25, 1.5]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

x1=1.25 x2=1.375

f(x1)= –1.0469<0 [1.25, 1.5] f(x2)= –0.4004<0 [1.375, 1.5]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

x1=1.25 x2=1.375
x3=1.4375

f(x1)= –1.0469<0 [1.25, 1.5] f(x2)= –0.4004<0 [1.375, 1.5]
f(x3)= –0.0295<0 [1.4375, 1.5]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

x1=1.25 x2=1.375
x3=1.4375 x4=1.46875

f(x1)= –1.0469<0 [1.25, 1.5] f(x2)= –0.4004<0 [1.375, 1.5]
f(x3)= –0.0295<0 [1.4375, 1.5] f(x4)=0.1684>0 [1.4375, 1.46875]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

x1=1.25 x2=1.375
x3=1.4375 x4=1.46875 x5=1.453125

f(x1)= –1.0469<0 [1.25, 1.5] f(x2)= –0.4004<0 [1.375, 1.5]
f(x3)= –0.0295<0 [1.4375, 1.5] f(x4)=0.1684>0 f ( x5 ) > 0 [1.4375, 1.46875] [1.4375, 1.453125]

列表
端点或中点 的横坐标 a0=1,b0=2
x0=1.5

计算端点或中点 的函数值 f(1)= –2,f(2)=5
f(x0)=0.375>0

定区间 [1, 2]
[1, 1.5]

x1=1.25 x2=1.375
x3=1.4375 x4=1.46875 x5=1.453125 x6=1.4453125

f(x1)= –1.0469<0 [1.25, 1.5] f(x2)= –0.4004<0 [1.375, 1.5]
f(x3)= –0.0295<0 [1.4375, 1.5] f(x4)=0.1684>0 f ( x5 ) > 0 f ( x6 ) > 0 [1.4375, 1.46875] [1.4375, 1.453125] [1.4375, 1.4453125]

用二分法求解方程的近似解:
1、确定区间[a,b],验证f(a)*f(b)<0,给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点c 3、计算f(c); (1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点 (2) 若f(a).f(c)<0,则令b= c(此时零点x0∈(a,c)) (3) 若f(c). f(b)<0,则令a= c(此时零点x0∈(c,b)) 4、判断是否达到精确度ε,即若|a-b|< ε,则得到零点 的近似值a(或b);否则得复2~4

作业
P92习题3.1A组:

1,2题


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