2018届高三数学理一轮总复习江苏专用课件:第九章第八节 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 精品_图文

第八节 圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程 Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程 F(x,y)=0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变 量y)的一元方程. ? ?Ax+By+C=0, 即? ? ?F?x,y?=0 消去y,得ax2+bx+c=0. (1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ, 则Δ>0?直线与圆锥曲线C 相交 ; Δ=0?直线与圆锥曲线C 相切 ; Δ<0?直线与圆锥曲线C 相离 . (2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲 线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直 线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行 ;若C为抛物线, 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. [小题体验] x2 y2 1.(教材习题改编)直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位 9 4 置关系为________. 解析:直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 恒过定点(1,1), 又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 答案:相交 2.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共 点”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必 要不充分”“既不充分又不必要”). 解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线 与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:与双曲 线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点. 答案:充分不必要 3.(教材习题改编)已知抛物线方程为 y2=4x,直线 l过 定点 P(-2,1),斜率为 k.则k=________时,直线 l与 抛物线有且只有一个公共点. 1 答案:-1或 或0 2 1.直线与双曲线交于一点时,易误认为直线与双曲线相 切,事实上不一定相切,当直线与双曲线的渐近线平 行时,直线与双曲线相交于一点. 2.直线与抛物线交于一点时,除直线与抛物线相切外易 忽视直线与对称轴平行时也相交于一点. [小题纠偏] 1. 过点(0,1)作直线, 使它与抛物线 y2=4x 仅有一个公共点, 这样的直线有________条. 解析:结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条: 直线 x=0,过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1) 且与抛物线相切的直线(非直线 x=0). 答案:3 b x2 y2 2.直线y= x+3与双曲线 2 - 2 =1的交点个数是 a a b ________. b b 解析:因为直线y= x+3与双曲线的渐近线y= x平 a a 行,所以它与双曲线只有 1个交点. 答案:1 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 考点一 直线与圆锥曲线的位置关系 ?基础送分型考点——自主练透? [题组练透] x2 y2 1.双曲线C: 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线 a b l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左,右 两支都相交的充要条件是________. b b 解析:由双曲线渐近线的几何意义知- <k< . a a b b 答案:- <k< a a 2.(2016· 苏州检测)若直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没 x2 y2 有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + =1的交点 9 4 个数为________. 解析: ∵直线 mx+ ny= 4和圆 O: x2+ y2= 4没有交点, 4 ∴ 2 2> 2, m +n ∴ m2+ n2< 4. m2 n2 m2 4- m 5 2 ∴ + < + = 1- m < 1, 9 4 9 4 36 x2 y2 ∴点 (m, n)在椭圆 + = 1的内部, 9 4 x2 y2 ∴过点 (m, n)的直线与椭圆 + = 1的交点有2个. 9 4 答案: 2 2 3.(易错题 )若直线 y= kx+2与双曲线 x2- y2=6的右支交于 不同的两点,则 k的取值范围是 ________. ? ?y=kx+2, 解析: 由? 2 2 ? ?x - y = 6 得(1-k2)x2-4kx-10=0.设直线与双曲线 右支交于不同的两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 1-k ≠0, ? ? 2 2 ?Δ=16k -4?1-k ?×?-10?>0, ? 4k 则?x1+x2= 2>0, 1 - k ? ? -10 x1x2= 2>0, ? 1 - k ? ? ? 15 15 ?. 解得- <k<-1.即 k 的取值范围是?- ,- 1 3 3 ? ? ? 答案:?- ? ? 15 ,-1? 3 ? 2 [谨记通法 ] 直线与圆锥曲线位置关系的 2种判定方法及 2个关注点 (1)判定方法 ①代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关 于 x, y的方程组,消去 y(或 x)得一元方程,此方程根的个数 即为交点个数,方程组的解即为交点坐标. ②几何法:即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象 判断公共点个数. (2)关注点 ①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨 论二次项系数是否为零的情况. ②判断直线与圆锥曲线位置关系时,判别式 Δ起着 关键性的作用,第一:可以限定所给参数的范围;第 二:可以取舍某些解以免产生增根. 考点二 圆锥曲线的统一定义?重点保分型考点——师生共研? [典例引领] x2 y2 1.已知双曲线 - =1,F为其右焦点,A(4,1)为平面上 4 5 2 一点,P为双曲线上一点,则|PA|+ |PF|的最小值为 3 ________. 解析: 设P到右准线的距离为 |PQ|, 3 因为 e= , 2 2 所以 |PF|= |PQ|, 3 2 即 |PA|+ |PF|= |PA|+ |PQ|≥ AQ, 3 a2 4 8 即 A到右准线的距离 d= 4- = 4- = . c 3 3 8 答案: 3 x2

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