【步步高】2014-2015学年高中数学 第三章 3.3.3函数的最大(小)值与导数检测试题 新人教A版选修1-1

3.3.3

函数的最大(小)值与导数

课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、 最 小值(其中多项式函数一般不超过三次).

1.最大值:如果在函数定义域 I 内存在 x0,使得对任意的 x∈I,总有______________, 则称 f(x0)为函数在______________的最大值. 2.一般地,如果在区间[a,b]上的函数 y=f(x)的图象是一条______________的曲线, 那么 f(x)必有最大值和最小值. 此性质包括两个条件: (1)给定函数的区间是____________; (2)函数图象在区间上的每一点必须______________.函数的最值是比较整个__________的 函数值得出的,函数的极值是比较______________的函数值得到的. 3.一般地,求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下: (1)求 f(x)在(a,b)内的________; (2)将 f(x)的各极值与________________________比较,其中________的一个是最大 值,________的一个是最小值.

一、选择题 1.下列结论正确的是( ) A.若 f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值 B.若 f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值 C.若 f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是 x=a 和 x=b 时取得 D.若 f(x)在[a,b]上连续,则 f(x)在[a,b]上存在最大值和最小值 2 2.函数 f(x)=x -4x+1 在[1,5]上的最大值和最小值是( ) A.f(1),f(3) B.f(3),f(5) C.f(1),f(5) D.f(5),f(2) 3.函数 y= x在[0,2]上的最大值是( ) e 1 2 A.当 x=1 时,y= B.当 x=2 时,y= 2 e e 1 1 C.当 x=0 时,y=0 D.当 x= ,y= 2 2 e 4.函数 y= x+ 1-x在(0,1)上的最大值为( ) A. 2 B.1 C.0 D.不存在 3 5.已知函数 f(x)=ax +c,且 f′(1)=6,函数在[1,2]上的最大值为 20,则 c 的值为 ( ) A.1 B.4 C.-1 D.0 15 2 6.已知函数 y=-x -2x+3 在[a,2]上的最大值为 ,则 a 等于( ) 4 3 1 1 1 3 A.- B. C.- D.- 或- 2 2 2 2 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.函数 f(x)=ln x-x 在(0,e]上的最大值为________. 1 x ? π? 8.函数 f(x)= e (sin x+cos x)在区间?0, ?上的值域为__________________. 2? 2 ?
1

x

9.若函数 f(x)=x -3x-a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M-N 的 值为________. 三、解答题 10.求下列各函数的最值. 1 (1)f(x)= x+sin x,x∈[0,2π ]; 2 3 2 (2)f(x)=x -3x +6x-2,x∈[-1,1].

3

11.已知 f(x)=x -x -x+3,x∈[-1,2],f(x)-m<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

3

2

能力提升 1 2 x 12.设函数 f(x)= x e . 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

13.若 f(x)=ax -6ax +b,x∈[-1,2]的最大值为 3,最小值是-29,求 a、b 的值.

3

2

1.求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时 x 对应的函数值,通 过比较大小确定函数的最值. 2.在求解与最值有关的函数综合问题时,要发挥导数的解题功能,同时也要注意对字 母的分类讨论;而有关恒成立问题,一般是转化为求函数的最值问题. 3.3.3 函数的最大(小)值与导数 答案
2

知识梳理 1.f(x)≤f(x0) 定义域上 2.连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近 3.(1)极值 (2)端点处的函数值 f(a),f(b) 最大 最小 作业设计 1.D [函数 f(x)在[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不 会在端点处取得,而在[a,b]上一定存在最大值和最小值.] 2.D [f′(x)=2x-4,令 f′(x)=0,得 x=2. ∵f(1)=-2,f(2)=-3,f(5)=6. ∴最大值为 f(5),最小值为 f(2).] x x e -x·e 1-x 3.A [y′= x 2 = x ,令 y′=0 得 x=1. ?e ? e 1 2 ∵x=0 时,y=0,x=1 时,y= ,x=2 时,y= 2, e e 1 ∴最大值为 (x=1 时取得).] e 1 1 1 4.A [y′= - .由 y′=0,得 x= . 2 2 x 2 1-x 1 1 又 0<x< 时,y′>0, <x<1 时,y′<0, 2 2 1 1 + 1- = 2.] 2 2 2 5.B [∵f′(x)=3ax ,∴f′(1)=3a=6, ∴a=2. 2 3 当 x∈[1,2]时,f′(x)=6x >0,即 f(x)在[1,2]上是增函数,∴f(x)max=f(2)=2×2 +c=20,∴c=4.] 6.C [y′=-2x-2,令 y′=0,得 x=-1.当 a≤-1 时,最大值为 f(-1)=4,不 15 2 合题意.当-1<a<2 时,f(x)在[a,2]上单调递减,最大值为 f(a)=-a -2a+3= ,解得 4 1 a=- 或 2 3 a=- (舍去).] 2 7.-1 1 1-x 解析 f′(x)= -1= , 令 f′(x)>0 得 0<x<1, 令 f′(x)<0 得 x<0 或 x>1, ∴f(x) 所以 ymax=

x

x

在(0,1]上是增函数,在(1,e]上是减函数. ∴当 x=1 时,f(x)有最大值 f(1)=-1. ?1 1 π ? 8.? , e ? ?2 2 2 ? ? π? x 解析 ∵x∈?0, ?,∴f′(x)=e cos x≥0, 2? ? ?π ? ∴f(0)≤f(x)≤f? ?. ?2? 1 1 π 即 ≤f(x)≤ e . 2 2 2 9.20 2 解析 f′(x)=3x -3,令 f′(x)=0, 得 x=1,(x=-1 舍去).

3

∵f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a. ∴M=18-a,N=-2-a.∴M-N=20. 1 10.解 (1)f′(x)= +cos x. 2 令 f′(x)=0,又∵0≤x≤2π , 2π 4π ∴x= 或 x= . 3 3 3 3 ?2π ? π ?4π ? 2π ∴f? ?= + ,f? ?= - , 2 ? 3 ? 3 2 ? 3 ? 3 又∵f(0)=0,f(2π )=π . ∴当 x=0 时,f(x)有最小值 f(0)=0, 当 x=2π 时,f(x)有最大值 f(2π )=π . 2 2 (2)f′(x)=3x -6x+6=3(x -2x+2) 2 =3(x-1) +3, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于 0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)最小值=-12; x=1 时,f(x)最大值=2. 即 f(x)在[-1,1]上的最小值为-12,最大值为 2. 11.解 由 f(x)-m<0,即 m>f(x)恒成立, 知 m>f(x)max, f′(x)=3x2-2x-1,令 f′(x)=0, 1 解得 x=- 或 x=1. 3 1 86 因为 f(- )= , 3 27 f(1)=2,f(-1)=2,f(2)=5. 所以 f(x)的最大值为 5, 故 m 的取值范围为(5,+∞). x 1 2 x e x 12.解 (1)f′(x)=xe + x e = x(x+2). 2 2 x e 由 x(x+2)>0,解得 x>0 或 x<-2, 2 ∴(-∞,-2),(0,+∞)为 f(x)的增区间, x e 由 x(x+2)<0,得-2<x<0, 2 ∴(-2,0)为 f(x)的减区间. ∴f(x)的单调增区间为(-∞,-2),(0,+∞); 单调减区间为(-2,0). (2)令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=-2, 2 2 ∵f(-2)= 2,f(2)=2e ,f(0)=0, e 2 ∴f(x)∈[0,2e ], 又∵f(x)>m 恒成立,∴m<0. 故 m 的取值范围为(-∞,0). 3 2 13.解 ∵f(x)=ax -6ax +b, 2 ∴f′(x)=3ax -12ax. 令 f′(x)=0,解得 x=0 或 4. ∵4 ? [-1,2],故舍去, ∴f(x)取最大值,最小值的点在 x=-1、0、2 上取得,
4

f(-1)=-7a+b,f(0)=b, f(2)=-16a+b. 当 a>0 时,最大值为 b=3,
最小值为-16a+b=-29,解得?
?a=2, ? ? ?b=3,

当 a<0 时,最大值为-16a+b=3,b=-29, 解得?
? ?a=-2 ?b=-29 ?

, 或?
?a=-2 ? ? ?b=-29

综上所述:?

?a=2 ? ? ?b=3

.

5


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