傅里叶级数和傅里叶变换_图文

傅里叶级数和傅里叶变换

内容
? 傅里叶级数 1. 周期函数的傅里叶展开 2. 奇函数及偶函数的傅里叶展开 3. 复数形式的傅里叶级数
? 傅里叶积分 1. 实数形式的傅里叶积分 2. 复数形式的傅里叶积分 3. 傅里叶变换式的物理意义—频谱
? 傅里叶变换 1. 傅里叶变换的定义 2. 多维傅氏变换 3. 广义傅里叶变换(不要求)
? 积分变换(不要求)

一个有趣的数学现象 u

1

矩形波

??1, 当? ? ? t ? 0

u(t)

?

? ?

1,

当0 ? t ? ?

?? o ?

t

?1

正弦波 sin(t), sin(2t ), sin(3t ),

矩形波可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加

4 sin t, 4 ? 1 sin 3t, 4 ? 1 sin 5t, 4 ? 1 sin 7t,

?

?3

?5

?7

4 sin t
?

4 (sin t ? 1 sin 3t)

?

3

4 (sin t ? 1 sin 3t ? 1 sin 5t)

?

3

5

4 (sin t ? 1 sin 3t ? 1 sin 5t ? 1 sin 7t)

?

3

5

7

4 (sin t ? 1 sin 3t ? 1 sin 5t ? 1 sin 7t ? 1 sin 9t)

?

3

5

7

9

u(t) ? 4 (sin t ? 1 sin 3t ? 1 sin 5t ? 1 sin 7t ? )

?

3

5

7

(?? ? t ? ? , t ? 0)

物理意义:把一个比较复杂的周期运动 看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。

一点历史
? 1807年法国数学家傅里叶(J. Fourier, 17681830)在向法国科学院呈交一篇关于热传导 问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三 角函数的无穷级数,但遭到拉格朗日 (Lagrange)的强烈反对,论文从未公开露面 过。
? 1822年,他在研究热传导理论时发表了 《热的分析理论》,提出并证明了将周期函 数展开为正弦级数的原理,奠定了傅里叶级 数的理论基础。

傅里叶、傅利叶、傅立叶 Fourier

傅里叶变换
在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为 较简单的运算,人们常采用变换的方法来达到目的.例如 在初等数学中,数量的乘积和商可以通过对数变换化为较 简单的加法和减法运算.在工程数学里积分变换能够将分 析运算(如微分、积分)转化为代数运算,正是积分变换 的这一特性,使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成 为重要的方法之一.积分变换的理论方法不仅在数学的诸 多分支中得到广泛的应用,而且在许多科学技术领域中, 例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理 等方面,作为一种研究工具发挥着十分重要的作用.

7.1 傅里叶级数

7.1.1 周期函数的傅里叶展开

定义7.1.1 傅里叶级数 傅里叶级数展开式 傅里叶系数

若函数

f (x) 以

2l

为周期,即 为

f (x ? 2l) ? f (x)

的光滑或分段光滑函数,且定义域为 [?l, l] ,则可取三角

函数族

1, cos πx , cos 2πx ,..., cos kπx ,...

l

l

l

sin πx , sin 2πx ,..., sin kπx ,...

l

l

l

(7.1.2)

作为基本函数族,将 f (x) 展开为傅里叶级数(即下式右端

? 级数)

f

(x)

?

a0

?

? k ?1

(ak

cos

kπx l

?

bk

sin

kπx ) l

(7.1.3)

式(7.1.3)称为周期函数 f (x) 的傅里叶级数展开式
(简称傅氏级数展开),其中的展开系数称为傅里叶系数(简 称傅氏系数).
函数族 (7.1.2)是正交的.即为:其中任意两个函数的乘 积在一个周期上的积分等于零,即

??
? ?

l 1? cos kπx d x ? 0

?l

l

(k ? 0)

??
?

l
1? sin
?l

kπx d x ? 0 l

???
?

l

cos kπx ? cos nπx d x ? 0

? ?l

l

l

??
? ?

l
sin
?l

kπx ?sin l

nπx l

dx

?0

(k ? n)
积化和差公式积分
(k ? n)

??
??

l cos kπx ?sin nπx d x ? 0

?l

l

l

利用三角函数族的正交性,可以求得(7.1.3)的展开系数为

? ?
? ?

a0

?

1 2l

l
f (x)d x
?l

? ?
?

ak

?

?1 l

l ?l

f (x) cos( kπx) d x l

? ?
??bk

?1 l

l ?l

f (x)sin( kπx) d x l

(7.1.4)

关于傅里叶级数的收敛性问题,有如下定理:
狄利克雷(Dirichlet)定理 7.1.1 若函数 f (x) 满足条件:

(1) 处处连续,或在每个周期内只有有限个第一类间断点; (2) 在每个周期内只有有限个极值点,则级数(7.1.3)收敛,

则 在收敛点有:

? f

(

x)

?

a0

?

? k ?1

(ak

cos

kπx l

?

bk

sin

kπx l

)

在间断点有:

? 1 [
2

f

(x

? 0) ?

f

(x ? 0)] ?

a0

?

?
(ak
k ?1

cos

kπx l

? bk

sin

kπx ) l

7.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开

定义 7.1.2 傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数

若周期函数 f (x) 是奇函数,则由傅里叶系数的计算公式

(7.1.4)可见,所有 a0 , ak 均等于零,展开式(7.1.3)成为

? f

(x)

?

?
bk
k ?1

sin

kπx l

(7.1.5)

这叫作傅里叶正弦级数.容易检验(7.1.5)中的正弦级数在

x ? 0, x ? l 处为零.

由于对称性,其展开系数为

2l

kπx

? bk ? l

f (x)sin(
0

l

)d x

若周期函数 f (x) 是偶函数,则由傅里叶系数计算公

式可见,所有 bk 均等于零,展开式(7.1.3)成为

? f

(x)

?

a0

?

? k ?1

ak

cos

kπx l

这叫作傅里叶余弦级数.

(7.1.6)

同样由于对称性,其展开系数为

2l

kπx

? ak ? l

f (x) cos(
0

l

)d x

(7.1.7)

由于余弦级数的导数是正弦级数,所以余弦级数的导数在

x ? 0, x ? l 处为零.

而对于定义在有限区间上的非周期函数 g(x) 的傅里叶级
数展开,需要采用类似于高等数学中的延拓法,使其延拓为周

期函数.

7.1.3复数形式的傅里叶级数
定义7.1.3 复数形式的傅里叶级数 取一系列复指数函数

?i kπx
,e l ,

?i 2πx ?i πx

i πx i 2πx

, e l , e l ,1, e l , e l ,

i kπx
,e l ,
(7.1.8)

作为基本函数族,可以将周期函数 f (x) 展开为复数形式的

傅里叶级数

??

i kπx

f (x) ?

Ck e l

k ???

(7.1.9)

利用复指数函数族的正交性,可以求出复数形式的傅里叶系数

? ? Ck

?

1 2l

l

f

i kπx
(x)[e l

]*

d

x

?

1

?l

2l

l

?i kπx

f (x)[e l ]d x

?l

(7.1.10)

式中“*”代表复数的共轭

上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为2l 的函数 f (x) 可以分解

为频率为 nπ ,复振幅为 cn 的复简谐波的叠加.nπ 称为谱点,

l

l

所有谱点的集合称为谱.对于周期函数 f (x) 而言,谱是离散的.

尽管 f (x) 是实函数,但其傅里叶系数却可能是复数,

且满足: C?k ? Ck* 或 C?k ? Ck

(7.1.11)

7.2 实数与复数形式的傅里叶积分

上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开,下面讨论非 周期函数的级数展开.

7.2.1 实数形式的傅里叶积分

定义 7.2.1 实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分 傅里叶积分表示式

设非周期函数 f (x) 为一个周期函数 g(x) 当周期

时的极限情形.这样,g(x) 的傅里叶级数展开式

? g(

x)

?

a0

?

? k ?1

(ak

cos

kπx l

?

bk

sin

kπx l

)

(7.2.1)

在 l ? ? 时的极限形式就是所要寻找的非周期函数

的傅里叶展开.下面我们研究这一极限过程:

设不连续的参量

?k

? kπ l

(k ? 0,1, 2,

),

??k

? ?k

? ?k?1

?

π l

故(7.2.1)为

?
? g(x) ? a0 ? (ak cos?k x ? bk sin ?k x) k ?1

傅里叶系数为

? ?
? ?

a0

?

1 2l

l
f (x) d x
?l

? ?
? ?

ak

?1 l

l ?l

f (x) cos?k x d x

? ?
??bk

?1 l

l ?l

f (x) sin ?k x d x

(7.2.2) (7.2.3)

代入到 (7.2.2),然后取 l ? ? 的极限.

? 对于系数 a0 ,若

lim
l??

l
f (x)d x
?l

有限,则

? lim
l ??

a0

?

lim
l ??

1 2l

l
f (x)d x ? 0
?l

而余弦部分为



l

? ?, ??k

??
l

?0

,不连续参变量 ?k 变为

? 连续参量,以符号 代替.对 k 的求和变为对连续参量

? 的积分,上式变为

? ? ? 1 [

?
f (x) cos?x d x]cos?x d?

0 π ??

同理可得正弦部分

? ? ?[1

?
f (x)sin ?x d x]sin ?x d?

0 π ??

若令

? ?
??

A(?)

?

1 π

?
f (x) cos?x d x
??

? ?
?

B(?

)

?

1

?
f (x) sin ?x d x

??

π ??

(7.2.4)

式(7.2.4)称为 f (x) 的(实数形式)傅里叶变换式.

故(7.2.2)在 l ? ? 时的极限形式变为(注意到
g(x) ? f (x) )

?

?

? ? f (x) ? A(?) cos?x d? ? B(?) sin ?x d? (7.2.5)

0

0

上式(7.2.5)右边的积分称为(实数形式)傅里叶积分.

(7.2.5)式称为非周期函数 f (x) 的(实数形式)傅里
叶积分表示式.

事实上,上式(7.2.5)还可以进一步改写为

?
f (x) ? ?0 [A(?) cos?x ? B(?)sin?x]d?

?
f (x) ? ?0 C(?) cos[?x ??(x)]d?

(7.2.6)

C

(?

)

?

[

A2

(?

)

?

B

2

(?

1
)]2

,

?(?) ? arctan[B(?) / A(?)]

上式(7.2.6)的物理意义为:C(?) 称为 f (x) 的振幅谱, 称为 f (x) 的相位谱.可以对应于物理现象中波动(或振动)

我们把上述推导归纳为下述严格定理: 1.傅里叶积分定理
定理7.2.1 傅里叶积分定理 若函数 f (x) 在区间 (??, ?)
上满足条件
(1) f (x) 在任一有限区间上满足狄利克雷条件;
(2) f (x) 在 (??, ?) 上绝对可积,则 f (x) 可表为傅 里叶积分形式(7.2.5),且在 f (x) 的连续点处傅里叶积分值=

f (x) ;在间断点处傅里叶积分值= [ f (x ? 0) ? f (x ? 0)] 2
2.奇函数的傅里叶积分
定义 7.2.2 实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换

若 f (x) 为奇函数,我们可推得奇函数 f (x) 的傅里叶积

分为傅里叶正弦积分:
?
f (x) ? ?0 B(?) sin ? xd?

(7.2.7)

式(7.2.7)满足条件 f (0) ? 0
其中 B(?) 是 f (x) 的 傅 里叶正弦变换:

? B(?) ? 2

?
f (x)sin ?xdx

?0

(7.2.8)

3. 偶函数的傅里叶积分 定义 7.2.3 实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶余弦变换

若 f (x) 为偶函数,f (x) 的傅里叶积分为傅里叶余弦积分:

? f (x) ? 2

?
A(?) cos?xd?

π0

(7.2.9)

式(7.2.9)满足条件 f ?(0) ? 0 .其中 B(?) 是

的傅里叶余弦变换:

? A(?) ? 2

?
f (x) cos?xdx

π0

上述公式可以写成另一种对称的形式

(7.2.10)

? ?
?

f

(x)

?

?

?

2 π

0

B(?)sin ?x d?

?

? ?? B(?) ?

2 π

0

f (x)sin ?x d x

(7.2.11)

? ?
?

f

(

x)

?

?

2 π

0

A(?) cos?xd?

?

?

? ?? A(?) ?

2 π

0

f (x) cos?xdx

(7.2.12)

7.2.2 复数形式的傅里叶积分

定义7.2.4 复数形式的傅里叶积分 复数形式的傅里叶变换式 对于上述实数形式的傅里叶变换,我们觉得还不够紧凑.下
面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换,而且很多情形下,复数

形式(也称为指数形式)的傅氏积分变换使用起来更加方便.

利用欧拉公式则有

cos?x ? 1 (ei?x ? e?i?x ), sin ?x ? 1 (ei?x ? e?i?x )

2

2i

代入式(7.2.5)得到

? ? f (x) ? ? 1[A(?) ? iB(?)]ei?xd? ? ? 1[A(?) ? iB(?)]e?i?xd?

02

02

? ?? 将右端的第二个积分中的

换为

,则

? ? f (x) ? ? 1[A(?) ? iB(?)]ei?xd? ? 0 1[A(| ? |) ? iB(| ? |)]ei?xd?

02

?? 2

上述积分能合并为

? f (x) ? ? F (?)ei?xd? ??

(7.2.13)

其中

F

(?)

?

? [A(?) ??[A(| ? |)

? ?

iB(?)] / 2, iB(| ? |)] / 2,

(? ? 0) (? ? 0)

将(7.2.4)代入上式可以证明无论对于 ? ? 0 ,还是

? ? 0 均可以合并为
? F (?) ? 1 ? f (x)[ei?x ]*dx 2π ??

(7.2.14)

证明:(1)? ? 0 时

? ? F(?) ? 1 ? f (x)[cos(?x) ? i sin(?x)]dx ? 1 ? f (x)[ei?x ]*dx

2π ??

2π ??

(2) ? ? 0 时

? ? F (?) ? 1 ? f (x)[cos | ? | x ? i sin | ? | x)]dx ? 1 ? f (x)ei|?|xdx

2π ??

2π ??

? ? ? 1 ? f (x)e?i?xdx ? 1 ? f (x)[ei?x ]*dx

2π ??

2π ??

证毕.
(7.2.13)是 f (x) 的复数形式的傅里叶积分表示式,
(7.2.14)则是 f (x) 的复数形式的傅里叶变换式.
上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换(对)形式

?
? ?

f

(x)

?

?

? ??F(?) ?

1 2π
1 2π

? F (?)ei?xd?
??
? f (x)e?i?xdx
??

(7.2.15)

7.2.3 傅里叶变换式的物理意义——频谱

傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系.频谱这个术语来 自于光学.通过对频谱的分析,可以了解周期函数和非周期函数的 一些基本性质.

若已知 f (x) 是以 T 为周期的周期函数,且满足狄利

克雷条件,则可展成傅里叶级数

??
? f (x) ? a0 ? (an cos?n x ? bn sin ?n x) n?1

(7.2.16)

其中

?n

?

n?

?

2nπ T

,我们将

a cos? x ? b sin ? x

n

n

n

n

称为 f (x) 的第 n 次谐波,?n 称为第 n 次谐波的频率.

由于
an cos?n x ? bn sin ?n x ? an2 ? bn2 cos(?n x ??n )

其中

?

b ? arctan n

n

a

n

称为初相,

称为第 n 次谐波的振幅,记为 An ,即

An ? an2 ? bn2 (n ? 1, 2, )

(7.2.17)

若将傅里叶级数表示为复数形式,即

??
? f (x) ? Cnei?nx n???

(7.2.18)

其中

| Cn

|?| C?n

|?

An 2

?

1 2

an2 ? bn2

恰好是 n 次谐

n 波的振幅的一半.我们称 Cn 为复振幅.显然 次谐波的振幅

与复振幅有下列关系:

A ? 2 | C | (n ? 0,1, 2, )

n

n

(7.2.19)

当取 n ? 0,1, 2, 这些数值时,相应有不同的频率

和不同的振幅,所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化
的分布情况.频谱图通常是指频率和振幅的关系图. An 称为函数 f (x) 的振幅频谱(简称频谱).
? 若用横坐标表示频率 n ,纵坐标表示振幅 An ,把点

(? , A ), (n ? 0,1, 2, ) 用图形表示出来,这样的图

n

n

形就是频谱图. 由于 n ? 0,1, 2,

,所以频谱 An 的图形是

不连续的,称之为离散频谱.

7.3 傅里叶变换的定义

7.3.1 傅里叶变换的定义

化学中的频谱 – 光谱
? 1991年 诺贝尔化学奖 Richard R. Ernst
主要贡献之一:傅里叶变换核磁共振谱
? 傅里叶变换红外光谱(Fourier Transform Infrared, FT-IR)

由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论,最后我 们以简洁的复数形式(即指数形式)作为傅里叶变换的定义

定义7.3.1 傅里叶变换 若 f (x) 满足傅氏积分定理条件,

? 称表达式 F ?? ? ? ?? f (x)e?i?x d x ??

(7.3.1)

为 f (x) 的傅里叶变换式,记作 F(?) ? F[ f (x)] .我们

称函数 F (?) 为 f (x) 的傅里叶变换,简称傅氏变换

(或称为像函数).
定义7.3.2 傅里叶逆变换 如果
? f ? x? ? 1 ?? F(?)ei?x d? 2π ??

(7.3.2)

则上式为 f (x) 的傅里叶逆变换式,记为 f (x) ? F?1[F (?)]
我们称 f (x) 为 F (?) 的傅里叶逆变换,简称傅氏逆变换

(或称为像原函数或原函数).

由(7.3.1)和(7.3.2)知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互 逆变换,即有

F?1 ?F(?)? ? F?1 ??F? f (x)??? ? ? F?1F f (x)? ? f (x)

(7.3.3)

或者简写为 ? F?1F f (x)? ? f (x)

7.3.2 多维傅氏变换
在多维( n 维)情况下,完全可以类似地定义函数

f (x1, x2 , , xn ) 的傅氏变换如下:

F(?1,?2, ,?n ) ? F[ f (x1, x2, , xn )]

? ? ??
? ??

??
?? f (x1, x2,

, x )e dx dx ?i(?1x1??2x2 ? ??nxn )

n

12

dxn

它的逆变换公式为:

f (x1, x2,

,

xn

)

?

1 (2π)n

? ? ?? ??

??
?? F (?1,?2 ,

? ? ? , )e d d ?i(?1x1??2x2 ? ??nxn )

n

12

d ?n

7.3.3 傅里叶变换的三种定义式

在实际应用中,傅里叶变换常常采用如下三种形式,由于 它们采用不同的定义式,往往给出不同的结果,为了便于相互 转换,特给出如下关系式:

1.第一种定义式

? ? F1(?) ?

1 ?? f (x)e?i?xdx, 2π ??

f (x) ?

1 2π

?? ??

F1

(?

)ei?

x

d?

2.第二种定义式

? ? F2 (?) ?

?? f (x)e?i?xdx,
??

f (x) ? 1 2π

?? ??

F2

(?)ei?

xd?

3.第三种定义式

? ? F3(?) ?

?? f (t)e?i2π?xdx,
??

f (x) ?

?? ??

F3

(?)ei

2

π?xd?

三者之间的关系为

F1(?) ?

1 2π

F2 (?)

?

1?
2π F3 ( 2π)

三种定义可统一用下述变换对形式描述

? F(?) ? F[ f (x)]

? ?

f

(x)

?

F?1[ F (?)]

特别说明:不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义, 所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如

1, 1
2? 2?

,读者应能理解.本书采用的傅氏变换(对)是大量

书籍中常采用的统一定义, 若未特殊申明,均使用的是第二种

定义式.

? ?
?

F

??

?

?

?? f (x)e?i?xdx
??

? ?
? f ?x? ?

1

?? F (?)ei?xd?

?

2π ??

? F(?) ? F[ f (x)]

? ?

f

(x)

?

F?1[ F (?)]

傅立叶的两个最主要的贡献——
? “周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和”——傅里叶的第一个 主要论点
? “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点

7.3.4 广义傅里叶变换(不要求)
前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件,那么对 一些很简单、很常用的函数,例如单位阶跃函数,正、余弦函 数等都无法确定其傅氏变换.这无疑限制了傅氏变换的应用.
所以我们引入广义傅氏变换概念系指 ? ? 函数及其相关函数
的傅氏变换.
在后面我们将看到,? 函数的傅氏变换在求解数理方程中有
着特殊的作用.这里先介绍其有关基本定义和性质.

1. ? ? 函数定义
定义7.3.3 ? ? 函数 如果一个函数满足下列条件,则称之为 ? ? 函数,并记为

?

(x)

?

?0, ???,

x?0 x?0

?



? ? (x)dx ? 1 ??

(7.3.4) (7.3.5)

我们不加证明地指出与定义7.3.3等价的 ? ? 函数的另一定义

定义7.3.4 ? ? 函数

如果对于任意一个在区间 (??, ??) 上连续的函数

? f (t) 恒有

?

?(x ?
??

x0 )

f

(x)d x

?

f

(x0 )

则称满足上式中的函数 ? (x ? x0 ) 为 ? ? 函数, 对于任意的连续可微函数 f (t) ,定义 ? (x) 函数的导数为

?

?

? ? ? ?(x) f (x) d x ? ? ? (x) f ?(x) d x

??

??

根据上式显然有

(7.3.6)

? ? ? ? (n) (x) f (x) d x ? (?1)n ? ? (x) f (n) (x) d x, n ?1, 2,3,

??

??

(7.3.7)

由 ? ? 函数定义7.3.4有

? ? ? ??

?

(n

)

(

x

?

x0

)

f

(

x)

d

x

?

(?1)n

?
?
??

(x

?

x0 )

f

(n) (x) d

x

?

(?1)n

f

(n) (x0 )

(7.3.8)

2. ? ? 函数性质

性质1 对于 a ? 0 的实常数,有

? (ax) ? 1 ? (x)
|a|

(7.3.9)

性质2 设 n ? 0,1, 2, ,则

? (n) (?x) ? (?1)n? (n) (x)



n ? 0 时,即对应为 ? (?x) ? ? (x)

,故为偶函 数.

所谓积分变换,就是把某函数类A中的任意一个函数 f (t)
? ,经过某种可逆的积分方法(即为通过含参变量 的积分)

b
F (? ) ? ? f (t)K (t,? ) d t
a
变为另一函数类 B中的函数 F (? ), 这里 K (t,? )

是一个确

定的二元函数,通常称为该积分变换的核. F(? ) 称为 f (t)

的像函数或简称为像, f (t) 称为 F(? ) 的原函数.

在这样的积分变换下,微分运算可变为乘法运算,原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数,变成像函数的常微分方程; 原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程,从而容易在像
函数类B中找到解的像;再经过逆变换,便可以得到原来要在A
中所求的解,而且是显式解.
另外需要说明的是,当选取不同的积分区域和核函数时, 就得到不同名称的积分变换:

(1)特别当核函数 K (t,?) ? e?i?t (注意已将积分参
变量 ? 改写为变量 ? ),当 a ? ??, b ? ?? ,则
? F (?) ? ?? f (t)e?i?tdt ??
称函数 F (?) 为函数 f (t) 的傅里叶(Fourier)变换,
简称 F (?) 为函数 f (t) 的傅氏变换.同时我们称 f (t)
为 F (?) 的傅里叶逆变换.

(2)特别当核函数 K(t, p) ? e? pt (注意已将积分参变量
? 改写为变量 p ),当 a ? 0, b ? ?? ,则
? F( p) ? ?? f (t)e? ptdt 0
称函数 F( p) 为函数 f (t) 的拉普拉斯 (Laplace)变换,简称
F( p) 为函数 f (t) 的拉氏变换.同时我们称 f (t) 为 F( p)
的拉氏逆变换.

7.4 积分变换
所谓积分变换,就是把某函数类A中的任意一个函数 f (t)
? ,经过某种可逆的积分方法(即为通过含参变量 的积分)
b
F (? ) ? ? f (t)K (t,? ) d t
a
变为另一函数类 B中的函数 F (? ), 这里 K (t,? ) 是一个确
定的二元函数,通常称为该积分变换的核.F(? ) 称为 f (t)
的像函数或简称为像, f (t) 称为 F(? ) 的原函数.

在这样的积分变换下,微分运算可变为乘法运算,原来的偏 微分方程可以减少自变量的个数,变成像函数的常微分方程; 原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程,从而容易在像
函数类B中找到解的像;再经过逆变换,便可以得到原来要在A
中所求的解,而且是显式解.
另外需要说明的是,当选取不同的积分区域和核函数时, 就得到不同名称的积分变换:

(1)特别当核函数 K (t,?) ? e?i?t (注意已将积分参
变量 ? 改写为变量 ? ),当 a ? ??, b ? ?? ,则
? F (?) ? ?? f (t)e?i?tdt ??
称函数 F (?) 为函数 f (t ) 的傅里叶(Fourier)变换,
简称 F (?) 为函数 f (t) 的傅氏变换.同时我们称 f (t)
为 F (?) 的傅里叶逆变换.

(2)特别当核函数 K(t, p) ? e?pt (注意已将积分参变量
? 改写为变量 p ),当 a ? 0, b ? ?? ,则
? F( p) ? ?? f (t)e? ptdt 0
称函数 F( p) 为函数 f (t) 的拉普拉斯 (Laplace)变换,简称
F( p)为函数 f (t) 的拉氏变换.同时我们称 f (t) 为 F( p)
的拉氏逆变换.


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