第3专题 带电粒子在电场和磁场中的运动_图文

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第1 3专题
主编
WL·12-ZT

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带电粒子在电场、磁场以及复合场(组合场)

中的运动是高中物理中的重点内容,这类问题
对考生的空间想象能力、分析综合能力、应 用数学知识处理物理问题的能力都有较高的

要求,是考查考生多种能力的良好载体,是历

年高考的热点.近三年高考试题中每年都会涉

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及,且分值较高,如2009年高考全国理综卷Ⅰ 第26题、全国理综卷Ⅱ第25题、重庆理综卷 第25题、四川理综卷第25题;2010年高考全国 理综卷Ⅱ第26题、全国理综卷Ⅰ第26题;2011 年高考全国理综卷第25题、四川理综卷第25 题、重庆理综卷第25题等等,多属于中等难度

和较难的题,常常成为试卷的压轴题.题目一

般是运动情景复杂(有的试题还与生产、生活

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实际、科学研究、前沿科技等紧密联系)、综 合性强,将场的性质、力的平衡、运动学规律 、牛顿运动定律、功能关系以及交变电场等 知识有机地结合起来,考查考生的空间想象能 力、物理过程和运动规律的综合分析能力,获 取并处理信息、构建模型的能力,以及应用数

学知识解决物理问题的能力.预计在2012年高

考中仍然会出现带电粒子在电场、磁场以及

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复合场(组合场)中运动的问题.试题更趋于综 合能力的考查,且与力学内容(特别要注意与 简谐运动)相结合,构成大型综合试题.此外,试 题对数学知识的要求更高,如圆、正弦定理、 余弦定理、三角函数、对数、数列求和等等.

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一、不计重力的带电粒子在电场中的运动

1.带电粒子在电场中加速 当电荷量为q、质量为m、初速度为v0的带电

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粒子经电压U加速后,速度变为vt,由动能定理
1 2qU 2 1 2 v v t -? 0 .若v0=0,则有vt= 得:qU=? m? m? 2 2 m

? ,这个关

系式对任意静电场都是适用的. 对于带电粒子在电场中的加速问题,常用的处 理方法有:

(1)牛顿运动定律结合直线运动规律. (2)动量定理和动能定理.

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(3)能的转化与守恒定律,同时应突出动能定 理的应用.

2.带电粒子在匀强电场中的偏转
此类问题要紧紧抓住运动的分解与合成的思 路和方法.设电荷量为q、质量为m的带电粒

子由静止开始经电压U1加速后,以速度v1垂直

进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中,

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带电粒子在匀强电场中做类平抛运动,其运动 轨迹是一条抛物线,如图所示.

1 2 v 1 由动能定理,有:qU1=? 2 m?

设两平行金属板间的电压为U2,板间距离为d,

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板长为L. (1)带电粒子进入两板间后 粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动, 有: vx=v1,L=v1t

粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的

匀加速直线运动,有:

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1 2 F qE qU 2 vy=at,y=? 2 at ,a=? m =? m =? md

(2)带电粒子离开极板时
2 2 1 2 qU 2 L U 2 L 侧移距离y=? 2 at = 2mdv12 = 4 dU 1

?

?

偏转角度φ的正切值tan

at qU 2 L U 2 L φ= v1 = mdv12 = 2dU1

??

?

若距偏转极板右侧D距离处有一竖立的屏,在

求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用

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的推论:所有离开偏转电场的运动电荷好像都 是从极板中心沿中心与射出点的连线射出的. 这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离y'=(D
L +? )tan 2

φ.

以上公式要求在能够证明的前提下熟记,并能

通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角

度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量

的关系.

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二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动 1.匀速直线运动:若带电粒子的速度方向与磁 场方向平行,则粒子做匀速直线运动.

2.匀速圆周运动:若带电粒子的速度方向与匀
强磁场的方向垂直,则粒子做匀速圆周运动.

设质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度

v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动,其角

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速度为ω,轨道半径为R,运动周期为T,则有:
2? 2 v2 2 2 qvB=m? =mRω =mvω=m(? T ) R=m(2πf) R R
2? m mv 1 qB 所以R= qB 、T= qB (与v、R无关),f=? T =? 2? m .

?

?

3.对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运

动的问题,应注意把握以下几点.

(1)粒子圆轨迹圆心的确定方法 ①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置

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及通过某一位置时的速度方向,可在已知的速 度方向的位置作速度的垂线,同时作两位置连

线的中垂线,两垂线的交点即为圆轨迹的圆
心,如图甲所示.

②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体

位置的速度方向,可在两位置上分别作两速度

的垂线,两垂线的交点为圆轨迹的圆心,如图

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乙所示. ③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位 置的速度方向及圆轨迹半径R,可在该位置上 作速度的垂线,垂线上距该位置R处的点为圆 轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位 置的哪一侧),如图丙所示.

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(2)粒子圆轨迹半径的确定方法

mv ①可直接运用公式R= qB 来确定.

?

②画出几何图形,利用半径R与题中已知长度

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的几何关系来确定.在利用几何关系时,要注 意一个重要的几何特点:粒子速度的偏向角

(φ)等于对应轨迹圆弧的圆心角(α),并等于弦

切角(θ)的2倍,如图所示.

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(3)粒子做圆周运动的周期和运动时间的确定 方法
2? m ①可直接运用公式T= qB

? 来确定.

②利用匀速圆周运动线速度v与弧长s的关系
s QR 来确定:t=? =? . v v

③利用周期T与题中已知时间t的关系来确定.

若粒子在时间t内通过的圆弧所对应的圆心角

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? ? 为α,则有:t=? · T(或t=? · T). 360? 2?

(4)圆周运动中有关对称性的规律 ①从磁场的直边界射入的粒子,若再从此边界

射出,则速度方向与边界的夹角相等,如图甲
所示.

②在圆形磁场区域内,沿径向射入的粒子必沿

径向射出,如图乙所示.

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(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题.

刚好穿出或刚好不穿出磁场边界的条件通常

是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.

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此外,还可利用两种动态圆模型分析求解带电 粒子在有界匀强磁场中运动的极值问题.

模型一:如图甲所示,一束带负电的粒子以初

速度v垂直进入匀强磁场,若初速度v方向相

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同,大小不同,所有粒子运动轨迹的圆心都在 垂直于初速度的直线上,速度增大时,轨道半 径随着增大,所有粒子的轨迹组成一组动态的 内切圆. 模型二:如图乙所示,一束带负电的粒子以初 速度v垂直进入匀强磁场,若初速度v大小相

同,方向不同,则所有粒子运动的轨道半径相

同,但不同粒子的圆心位置不同,其共同规律

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是:所有粒子的圆心都在以入射点为圆心、以 轨道半径为半径的圆上,从而可以找出动态圆 的圆心轨迹. 三、带电粒子在复合场中的运动

1.高中阶段所说的复合场有四种组合形式:①

电场与磁场的组合;②磁场与重力场的组合;

③电场与重力场的组合;④电场、磁场与重力

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场的组合.每一种又可分为重叠式和分立式组 合. 2.带电粒子所受三种场力的特征

(1)洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角
有关.当带电粒子的速度与磁场方向平行时,F



=0;当带电粒子的速度与磁场方向垂直时,F洛

=qvB.洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应

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强度B所决定的平面.无论带电粒子做什么运 动,洛伦兹力都不做功. (2)电场力的大小为qE,方向与电场强度E的方 向及带电粒子所带电荷的性质有关.电场力做 功与路径无关,其数值除与带电粒子的电荷量 有关外,还与其始、末位置的电势差有关.

(3)重力的大小为mg,方向竖直向下.重力做功

与路径无关,其数值除与带电粒子的质量有关

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外,还与其始、末位置的高度差有关. 注意:①微观粒子(如电子、质子、离子、α粒 子)一般都不计重力.②对带电小球、液滴、 金属块等实际的物体,没有特殊交代时,应当 考虑其重力.③对未知名的、题中又未明确交 代的带电粒子,是否考虑其重力,则应根据题

给物理过程及隐含条件,具体分析后作出符合

实际的判断.

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3.带电粒子在复合场中运动的分析处理方法 带电粒子在复合场中运动的性质取决于带电 粒子所受的合外力及初速度,因此应把带电粒 子的运动情况和受力情况结合起来进行分析, 灵活应用动力学的三大观点解决问题,即力的

观点、动量的观点和能量的观点. (1)当带电粒子在复合场中做匀速直线运动

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(如速度选择器)时,所受合力应为0,此时可根 据平衡条件列方程求解.

(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动
时,则除所受的洛伦兹力外,其余力的合力应 为0或大小不变、方向沿半径指向圆心,例如

一带正电粒子在一负点电荷形成的电场和匀

强磁场中的运动.这类问题往往应用牛顿第二

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定律和平衡条件列方程联立求解. (3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动 时,应选用动能定理或动量守恒定律列方程求 解.

注意:如果涉及两个带电粒子的碰撞问题,要

根据动量守恒定律列方程,再与其他方程联立

求解.

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由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂,运 动情况多变,往往出现临界问题,这时应以题 目中的“恰好”、“最大”、“最高”、

“至少”等词语为突破口,挖掘隐含条件,并
根据临界条件列出辅助方程,再与其他方程联

立求解.

对于带电粒子连续通过不同场的问题,要注意

在通过场边界时的条件,如速度关系、几何角

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度关系等. 四、带电粒子在交变电磁场中的运动

带电粒子在交变电场或磁场中的运动情况比
较复杂,其运动情况不仅与场变化的规律有 关,还与粒子进入场的时刻有关.对此类问题,

一定要从粒子的受力情况入手,分析清楚粒子

在不同时间间隔内的运动情况(其运动情况通

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常具有某种对称性).另外,对于偏转电压是交 变电压的情况,若交变电压的变化周期远大于 粒子穿越电场的时间,则在粒子穿越电场过程 中,电场可看做匀强电场处理. 五、实际应用(科学仪器原理)

电磁场在科学技术中的应用,主要有两类:一

类是利用电磁场的变化将其他信号转化为电

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信号,进而达到转化信息或自动控制的目的; 另一类是利用电磁场对电荷或电流的作用,来 控制其运动,使其平衡、加速、偏转或转动, 以达到预定的目的.例如:电磁流量计、霍尔 效应、磁流体发电机、磁电式仪表、质谱仪 、速度选择器等.

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带电粒子在电场中的加速和偏转

◆例1

如图甲所示,真空中的电极K连

续不断地发出电子(电子的初速度可忽略不 计),经电压为U的电场加速,加速电压U随时间 t变化的图象如图乙所示.每个电子通过加速

电场的过程时间极短,可认为加速电压不变.

电子被加速后由小孔S穿出,沿两个彼此靠近

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且正对的水平金属板A、B间中轴线从左边缘 射入A、B两板间的偏转电场,A、B两板长均 为L=0.20 m,两板之间距离d=0.050 m,A板的 电势比B板的电势高.A、B板右侧边缘到竖直 放置的荧光屏P(面积足够大)之间的距离b=0. 10 m,荧光屏的中心点O与A、B板的中心轴线

在同一水平直线上.不计电子之间的相互作用

力及其所受重力,求:

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(1)要使电子都打不到荧光屏上,则A、B两板 间所加电压U'应满足什么条件?

(2)当A、B板间所加电压U'=50 V时,电子打在

荧光屏上距离中心点O多远的范围内?

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【解析】(1)设电子的质量为m、电荷量为e, 电子通过加速电场后的速度为v,由动能定理
1 2 有eU=? mv 2 L 电子通过偏转电场的时间t=? v ,此过程中电子 1 2 1 eU ' L 2 的侧向位移y=? 2 at =? 2? v) md (?

L2U ' 联立上述两式解得y=? 4dU

要使电子都打不到屏上,应满足U取最大值80

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0

d V时仍有y>? 2

代入数据可得,U'至少为100 V. (2)当电子恰好从A板右边缘射出偏转电场时,
d 其侧移量最大ymax=? 2 =2.5

cm

电子飞出偏转电场时,其速度的反向延长线通

过偏转电场的中心,设电子打在屏上距中心点

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y max 的最大距离为Ymax,则由几何关系可知 Ymax =

?

?
L b? 2 L b? 2 解得:Ymax= L ymax=5.0 2

L 2

?

cm

L2U ' 由第(1)问中的y=? 可知,在其他条件不变的 4dU

情况下,U越大,y越小,所以当U=800 V时,电子

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通过偏转电场的侧移量最小
L2U ' -2 其最小侧移量ymin=? =1.25 × 10 4dU

m=1.25 cm

同理,电子打在屏上距中心点的最小距离

Ymin=

?y
L 2

b?

L 2

min

=2.5 cm

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所以电子打在屏上距中心点O在2.5 cm~5.0 cm的范围内. 【答案】(1)U'至少为100 V

(2)距中心点O在2.5 cm~5.0 cm的范围内

?

①带电粒子在电场中的偏转,

最常见的是做类平抛运动,应运用牛顿运动定

律及运动的合成和分解分析,推导其运动的规

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律. ②对于带电粒子在电场中的加速问题,首先要 从能量角度考虑,特别要注意动能定理的运 用.

③从中央垂直于电场方向射入(即沿x轴射入)

的带电粒子在射出电场时速度的反向延长线

交x轴上的一点,该点与射入点间的距离为带

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电粒子在x轴方向上位移的一半(带电粒子就 好像是从“中点”射出似的).
二 带电粒子在有界磁场中运动的临界 、极值问题

◆例2

(2011年高考· 广东理综卷)如图

甲所示,在以O为圆心,内外半径分别为R1和R2

的圆环区域内,存在辐射状电场和垂直纸面的

匀强磁场,内外圆间的电势差U为常量,R1=R0,R

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2

=3R0.一电荷量为+q,质量为m的粒子从内圆

上的A点进入该区域,不计重力.

(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出,求粒子在

A点的初速度v0的大小.

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(2)若撤去电场,如图乙所示,已知粒子从OA延 长线与外圆的交点C以速度v2射出,方向与OA 延长线成45°角,求磁感应强度的大小及粒子

在磁场中运动的时间. (3)在图乙中,若粒子从A点进入磁场,速度大小

为v3,方向不确定,要使粒子一定能够从外圆射

出,磁感应强度应小于多少?

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【解析】(1)电、磁场都存在时,只有电场力 对带电粒子做功,由动能定理
1 2 1 2 v v 1 0 qU=? 2 m? -? 2 m?
v0 = v12 ? 得:?

?

2qU m

.

(2)由牛顿第二定律

v2 2 qBv2=m? R

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如图丙所示,由几何关系确定粒子运动轨迹的 圆心O'和半径R

R2+R2=(R2-R1)2 联立解得磁感应强度大小

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B=?

2mv2 2qR0

2? R 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T= v2

?

由几何关系确定粒子在磁场中运动的时间t=
T ? 4

联立解得:t=?

2? R 0 2v 2 .

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(3)如图丁所示,为使粒子射出,则粒子在磁场
中的运动半径应大于过A点的最大内切圆半

R1 ? R2 径,该半径为Rc=?2

mv3 解得磁感应强度应小于Bc= 2qR0 .

?

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【答案】(1)?

2qU v ? m
2 1

(2)?

2mv2 2qR0

?

2? R 0 2v 2

(3)

?

mv3 2qR0

?

在解答带电粒子在有界磁场

中运动的极值问题时,注意下列结论的应用:

①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁 场中运动的轨迹与边界相切.

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②当速度v一定时,弧长越长,圆周角越大,则带
电粒子在有界磁场中运动的时间越长. ③当速率v变化时,圆周角越大,运动时间越长. ④如从一边界射入的粒子,从同一边界射出 时,速度与边界的夹角相等;在圆形磁场区域 内,沿径向射入的粒子,必定沿径向射出.

◆例3

在如图甲所示的平行金属板间,

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存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场,磁场的 磁感应强度B1=0.4 T,方向垂直纸面向里,电场

强度E=2.0×105 V/m,PQ为板间中线.紧靠平行
板右侧边缘的xOy坐标系的第一象限内有垂

直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B2=0.25
T,磁场边界AO与y轴的夹角∠AOy=45°.一束

带电荷量q=8.0×10-19 C的正离子从P点射入平

行板间,沿中线PQ做直线运动,穿出平行板后

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从y轴上坐标为(0,0.2 m)的Q点垂直y轴射入磁 场区,离子通过x轴时的速度方向与x轴正方向 的夹角在45°~90°之间.不计离子所受重力.



(1)离子运动的速度为多大? (2)离子的质量应在什么范围内?

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(3)若只改变AOy区域内磁场的磁感应强度大 小为B2',要使离子都不能打到x轴上,B2'应满足 什么条件?

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【解析】(1)带电粒子沿直线PQ运动有:qE=
qvB1 解得:v=5×105 m/s.

(2)进入磁场B2后垂直于OA射出时,离子通过x 轴的速度方向与x轴成45°,如图乙所示,根据
m1v 几何关系可知:r1= qB2 =0.2

?

m

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解得:m1=8.0×10-26 kg

垂直于x轴射出的带电粒子,根据图乙所示的
几何关系有: r2+r2cot 45°=0.2 m
m2v 且r2= qB2

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?

解得:m2=4.0×10-26 kg 所以4.0×10-26 kg≤m≤8.0×10-26 kg.

(3)质量为m1的粒子进入磁场B2'后,恰能与OA

相切时,如图丙所示,根据几何关系有:

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r3 r3+? sin45? =0.2

m

m1v 且r3= qB2 '

?

1? 2 解得:B2'= 4



? T=0.60 T

所以B2'≥0.60 T时所有的离子都不能打到x轴 上.

【答案】(1)5.0×105 m/s

(2)4.0×10-26 kg≤m

≤8.0×10-26 kg (3)B2'≥0.60 T
?

本题为一个多过程问题,既有

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复合场(速度选择器原理)中运动的过程,又有 带电粒子在磁场中运动的临界过程,应注意前 后过程的衔接与运动特点、规律的选择.带电

粒子在有界磁场中运动的临界状态一般为运
动轨迹与磁场边界相切.



带电粒子在组合场中的运动

◆例4 如图甲所示,在矩形ABCD区域

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内,对角线BD以上的区域存在有平行于AD向

下的匀强电场,对角线BD以下的区域存在有
垂直于纸面的匀强磁场(图中未标出),矩形AD 边长为L,AB边长为2L.一个质量为m、电荷量

为+q的带电粒子(重力不计)以初速度v0从A点

沿AB方向进入电场,在对角线BD的中点P处

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进入磁场,并从DC边上以垂直于DC边的速度 离开磁场(图中未画出),求:



(1)电场强度E的大小和带电粒子经过P点时

速度v的大小和方向.

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(2)磁场的磁感应强度B的大小和方向.

【解析】(1)画出粒子运动过程示意图如图乙
所示,带电粒子在电场中做类平抛运动,则

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水平方向:L=v0t

1 1 qE 2 竖直方向:? 2 L=? 2? mt

mv0 2 解得:E= qL

?

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在竖直方向粒子做匀变速运动,设P点竖直分
qE L 2 v y 速度为vy,则有2×? ×? =? m 2

解得:vy=v0 则P点的速度大小v=?2 v0

速度与水平方向的夹角为θ,则tan θ=? v0 =1,所 以θ=45°.

vy

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(2)粒子在磁场中做匀速圆周运动,设其轨道 半径为r,由几何关系可知:粒子在磁场中转过 的圆心角为45°,则

sin

L 45°= 2 r

?

得:r=?

2 L 2

粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供

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向心力,则
v2 qvB=m? r
2mv0 得B= qL ,磁场方向垂直纸面向外.

?

mv0 2 【答案】(1) qL

?

?2 0

v

速度与水平方向成4

5°角
2mv0 (2) qL

?

方向垂直纸面向外 本题重点考查带电粒子在匀

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?

强电场中的类平抛运动和匀强磁场中的匀速 圆周运动,以及运用数学知识解决物理问题的 能力.解题的关键是,画出粒子运动过程示意

图,求出粒子运动到P点的速度大小和方向,再 由几何关系求出粒子在磁场中做匀速圆周运
动的轨道半径,进而分析求解.

◆例5

(2011年高考· 新课标全国卷)如

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图甲所示,在区域Ⅰ(0≤x≤d)和区域Ⅱ(d<x≤

2d)内分别存在匀强磁场,磁感应强度大小分

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别为B和2B,方向相反,且都垂直于Oxy平面.一 质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子a于某时 刻从y轴上的P点射入区域Ⅰ,其速度方向沿x 轴正向.已知a在离开区域Ⅰ时,速度方向与x 轴正方向的夹角为30°;此时,另一质量和电荷 量均与a相同的粒子b也从P点沿x轴正向射入

1 区域Ⅰ,其速度大小是a的? .不计重力和两粒 3

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子之间的相互作用力.求:

(1)粒子a射入区域Ⅰ时速度的大小.
(2)当a离开区域Ⅱ时,a、b两粒子的y坐标之差.

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【解析】 (1)设粒子a在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C

(在y轴上),半径为Ra1,粒子速率为va,运动轨迹

与两磁场区域边界的交点为P',如图乙所示.由

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洛伦兹力公式和牛顿第二定律得:
va 2 qvaB=m Ra1

?

由几何关系得:

∠PCP'=θ


d Ra1=? sin?

式中θ=30°

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2dqB 解得:va=? m .

(2)设粒子a在Ⅱ内做圆周运动的圆心为Oa,半 径为Ra2,射出点为Pa(图中未画出轨迹),∠P' OaPa=θ'.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
va 2 qva(2B)=m R a2

?

Ra 2 则:Ra=? 2

C、P'和Oa三点共线,且由上式知Oa点必位于x

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3 =? 2 d的平面上,由对称性知,Pa点与P'点纵坐标

相同 即yPa=Ra1cos θ+h 式中,h是C点的y坐标

设b在Ⅰ中运动的轨道半径为Rb1,由洛伦兹力
m va 2 va 公式和牛顿第二定律得:q(? )B= Rb1 (? ) 3 3

?

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设a到达Pa点时,b位于Pb点,转过的角度为α.如

果b没有飞出Ⅰ,则:

? ?

t ?' Ta 2 =? 2?

t ? Tb1 =? 2?

式中,t是a在区域Ⅱ中运动的时间,而
2? R a 2 Ta2=? v

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2? R b1 Tb1= v 3

?

解得:α=30° 可见b没有飞出Ⅰ,Pb点的y坐标为
yPb =Rb1(2+cos ?

α)+h

由上式及题给条件得,a、b两粒子的y坐标之

差为:

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2 y yPb =? 3 ?Pa -? 3 (? -2)d.

2dqB 【答案】(1)? m

2 (2)? ( ?3 -2)d 3

?

本题情境新颖,可以说是对磁

偏转问题的成功创新,有力的考查了学生综合 运用力学、电磁学知识与方法及数学方法的

能力,是一道能有效区分学生能力与智力的好

题.解题的关键在于,画出带电粒子在两个磁

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场中运动的轨迹,并结合几何知识找到圆心Oa 点坐标,进而运用洛伦兹力公式、圆周运动公 式和牛顿第二定律分析求解.处理这类问题 时,应注意以下两个基本问题: ①带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,运 动时间t取决于其在磁场中运动轨迹所对应的

? ? 圆心角θ的大小,t=? T或t=? T. 360? · 2? ·

②无论粒子在确定的磁场中运动时间长短,运

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动轨迹如何,其轨道半径只取决于粒子的运动
mv 速度及粒子的比荷,即r= qB .

?



带电粒子在复合场中的运动

◆例6

(2011年高考· 福建理综卷)如图

甲,在x>0的空间中存在沿y轴负方向的匀强电

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场和垂直于xOy平面向里的匀强磁场,电场强 度大小为E,磁感应强度大小为B.一质量为m, 带电量为q(q>0)的粒子从坐标原点O处,以初 速度v0沿x轴正方向射入,粒子的运动轨迹见 图甲,不计粒子的重力. (1)求该粒子运动到y=h时的速度大小v. (2)现只改变入射粒子初速度的大小,发现初

速度大小不同的粒子虽然运动轨迹(y-x曲线)

不同,但具有相同的空间周期性,如图乙所示;

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同时,这些粒子在y轴方向上的运动(y-t关系)
2? m 是简谐运动,且都有相同的周期T= qB .

?

①求粒子在一个周期T内,沿x轴方向前进的距

离s.
②当入射粒子的初速度大小为v0时,其y-t图象

如图丙所示,求该粒子在y轴方向上做简谐运

动的振幅A,并写出y-t的函数表达式.

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【解析】(1)由于洛伦兹力不做功,只有电场
1 2 2 1 v 0 力做功,由动能定理,有:-qEh=? 2 mv -? 2 m?

解得:v=?

2qEh v0 ? . m
2

(2)①由题图乙可知,所有粒子在一个周期T内

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沿x轴方向前进的距离相同,即都等于恰好沿x
轴方向匀速运动的粒子在T时间内前进的距 离.设粒子恰好沿x轴方向匀速运动的速度大 小为v1,则:qv1B=qE 又s=v1T

2? m 式中:T= qB

?

2? mE 联立解得:s= qB2 .

?

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②设粒子在y方向上的最大位移为ym(图丙曲 线的最高点处),对应的粒子运动速度大小为v2 (方向沿x轴),因为粒子在y方向上的运动为简 谐运动,因而在y=0和y=ym处粒子所受的合外 力大小相等,方向相反,则:

qv0B-qE=-(qv2B-qE)
1 2 1 2 v v 2 0 由动能定理,有:-qEym=? 2 m? -? 2 m?

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1 又Ay=? 2 ym

m E 联立解得:Ay= qB (v0-? B)

?

可写出图丙曲线满足的简谐运动y-t函数表达 式为:
m qB E y= qB (v0-? m t). B )(1-cos?

?

【答案】(1)?

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2qEh v0 ? m
2

2? mE (2)① qB2

?

m ② qB (v0-

?

E ? ) B
m qB E y= qB (v0-? m t) B )(1-cos ?

?

?

带电粒子在复合场中做非匀

变速曲线运动时,运动情况及轨迹相对复杂,

要弄清复合场的组成,正确分析带电粒子的受

力及运动特征,根据轨迹特征看是否可以灵活

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选用不同的运动规律,多数情况下选用动能定 理或能量守恒定律列方程求解.
五 带电粒子在交变电场或交变磁场中 的运动

◆例7
0

如图甲所示,电子以水平初速度v

沿平行金属板中央射入,在金属板间加上如

图乙所示的交变电压.已知电子的质量为m,电

荷量为e;电压周期为T,电压为U0.

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(1)若电子在t=0时刻进入板间,在半周期内恰 好能从板的上边缘飞出,则电子飞出时速度多

大? (2)若电子在t=0时刻进入板间,能从板右边水

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平飞出,则金属板多长? (3)若电子能从板右边O'水平飞出,电子应从哪 一时刻进入板间,两板间距至少多大?

U0 1 1 2 2 v 0 【解析】(1)由动能定理得:e? 2 =? 2 mv -? 2 m?

得v=?

U0 v0 ? e m
2

.

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(2)电子能水平从右边飞出,经过时间应满足t= nT.又因水平方向匀速运动,所以板长为: l=v0t=nv0T (n=1,2,3,…).

(3)要电子从O'点水平飞出,电子进入时刻应

为:

T T 2n ? 1 t=? 4 +n? 2 =? 4 T

(n=0,1,2,3…)

1 T 2 eU 0T 2 在半周期内竖直位移y=? 2 a(? 4 ) ×2=? 16md

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d 电子不与板相碰,必须满足条件:y≤? 2 T eU 0 联立解得:d≥? 2 2m

? .
U0 m

【答案】(1)?
2n ? 1 (3)? 4 T

v0 2 ? e

(2)nv0T (n=1,2,3,…)
T eU 0 d≥? 2 2m

(n=0,1,2,3…)

?

?

先分析带电粒子的运动特点,

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紧抓“平行于两板飞出”的条件.注意合理运
用运动的对称性思想找到其中的规律,使问题 得以简化.

◆例8

在如图甲所示的边长为L的正方

形平面abcd内存在着垂直于该平面向外的匀 强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m、带

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电荷量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻平行
于ad边从a点射入磁场中.

(1)若带电粒子从b点射出磁场,求带电粒子在

磁场中运动的时间及初速度大小. (2)若磁场的磁感应强度按图乙所示的规律变

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化,规定磁场向外的方向为正方向,磁感应强 度的大小为B0,假使带电粒子能从ab边界射出

磁场,求磁感应强度B的变化周期T的最小值. (3)若所加磁场与第(2)问中的相同,要使带电
粒子从c点沿着bc方向射出磁场,求满足这一

条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入

磁场时的速度v0.

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【解析】(1)若带电粒子从b点射出磁场,则做
L T0 ? m 圆周运动的半径r=? = 2 .所需时间t=? 2 qB
v0 2 又m? =qv0B r

?

BqL 解得:v0=? 2m .

(2)要使粒子从ab边射出,其临界状态轨迹如

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图丙所示,则有:

sin

1 α=? 2 ,α=30°

在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中旋转

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5? m 5 150°角,运动时间t=? T= 12 0 6qB0

?

T 而t=? 2

所以磁场变化的最小周期

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5? m T= 3qB0 .

?

(3)若使粒子从c点沿着bc方向射出磁场,轨迹 如图丁所示.在磁场变化的半个周期内,粒子
T T0 在磁场中旋转的角度为2β,其中β=45°,即? =? 2 4

所以磁场变化的周期T=? qB0 每一个圆弧对应的弦长am为:

?m

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s=?

2 L n

(n=2,4,6,…)

s L 圆弧半径r=? n 2 =?
v0 2 又m? =qv0B r

BqL 联立解得:v0=? nm

(n=2,4,6…).
BqL ? 2m

【答案】(1)? qB

?m

5? m (2) 3qB0

?

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(3)? qB0
?

?m

BqL ? nm

(n=2,4,6…) 本题是带电粒子在交变的磁

场中运动的问题,处理这类问题要善于在画好 轨迹示意图的基础上,灵活寻找临界条件作为 突破口,因涉及到带电粒子运动的周期性和磁

场变化的周期性,这类问题往往都会有多解.

多解形成的原因一般包含以下几个方面:?

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①粒子电性不确定; ②磁场方向不确定;

③临界状态不唯一;
④粒子运动的往复性; ⑤粒子运动的周期性.



带电粒子运动的周期性问题

◆例9

如图甲所示,空间某平面内有一

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条折线是磁场的分界线,在折线的两侧分布着

方向相反、与平面垂直的匀强磁场,磁感应强

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度大小均为B.折线的顶角∠A=90°,P、Q是折 线上的两点,AP=AQ=L.现有一质量为m、电 荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出, 不计微粒所受的重力. (1)要使微粒从P点射出后,途经折线的顶点A 而到达Q点,则初速度v应满足什么条件?

(2)求第(1)问中微粒从P点到达Q点所用时间

的最小值.

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【解析】(1)根据运动的对称性,微粒能从P点 到达Q点,应满足:L=nx (n=1,2,3,…)

其中x为每次偏转圆弧对应的弦长,偏转圆弧
? 3? 对应的圆心角为? 2 或? 2 .

设圆弧的半径为R,则有2R =x
2

2

L ,可得:R=? 2n

v2 又qvB=m? R

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qBL 解得:v=? 2mn

(n=1,2,3,…).



(2)如图乙所示,当n取奇数时,微粒从P到Q过
? 3? 程中圆心角的总和为:θ1=n· ? ? 2 +n· 2 =2nπ

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m 2? m t1=2nπ·qB = qB · n,其中n=1,3,5,…

??

当n取偶数时,微粒从P到Q过程中圆心角的总 和为:
? ? θ2=n· ? ? =nπ 2 +n· 2

m ?m t2=nπ·qB = qB · n,其中n=2,4,6,…

??

2? m 欲使时间最小,取n=1或者2,此时tmin= qB .

?

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qBL 【答案】(1)v=? 2mn

(n=1,2,3,…)

2? m (2) qB

?

?

带电粒子在匀强磁场或周期

性变化的电场中运动时,往往出现周期性运 动.对于周期性运动的问题应特别注意以下两 点:①分情况(或分类)讨论,不能有某一情况的

遗漏;②若出现周期性的参数n时,应注意n的

取值可否从0开始,还是只能取奇数或偶数的

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问题.
七 带电粒子在磁场中的多解问题

◆例10

如图甲所示,光滑绝缘壁围成的

正方形匀强磁场区域的边长为a,磁场的方向 垂直于正方形平面向里,磁感应强度的大小为

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B.有一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子,
从下边界正中央的A孔垂直射入磁场.设粒子

与绝缘壁碰撞时无能量和电荷量损失,不计重
力和碰撞时间.



a (1)若粒子在磁场中运动的轨迹半径等于? 2 ,则

粒子射入磁场时的速度为多大?经多长时间

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粒子又从A孔射出?
a (2)若粒子在磁场中运动的轨迹半径等于? 4 ,则

判断粒子能否再从A孔射出?若能,求出经多长 时间粒子从A孔射出;若不能,说出理由. (3)若粒子在磁场中运动的轨迹半径小于a且

仍能从A孔垂直边界射出,粒子射入时的速度

应为多大?在磁场中的运动时间是多长?

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【解析】(1)粒子在磁场中运动的轨迹如图乙 所示.





v12 由qv1B=m r1

?

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a r1=? 2

qBa 得v1=? 2m

由几何关系可知粒子从A点射入再回到A点,
2? m 恰好运动一个周期,故t1=T= qB .

?

(2)能.粒子在磁场中运动的轨迹如图丙所示.

v2 2 由qv2B=m r2

?

a ,r2=? 4

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qBa 得v2=? 4m
2a 2? m (8 ? 4? )m 其运行时间t2= v2 +2 qB = qB .

? ? ?

(3)粒子在磁场中运动的轨迹有两种情形,如 图乙、丙所示.

a mv qBa 3 ①r3= 2 =? qB ,v3=? 4nm ,其中n=1、2、3… 2n

?

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2a 4n(2 ? ? )m 运行时间t3= v3 +2nT= qB ,其中n=1、2、3

?

?


a qBa mv4 ②r4= 2 =? 2(2n ? 1)m ,其中n=1、2、3… qB ,v4=? 2n ? 1

?

2? m 运行时间t4=(4n+1)T=(4n+1) qB ,其中n=1、2

?

、3…

【答案】见解析
?

带电粒子仅在磁场力作用下

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的运动是近几年高考的一个热点问题.由于粒 子本身的匀速圆周运动具有周期性,容易造成

多解.但有时由于条件的不确定性,也容易造
成多解,例如电性、粒子运动方向、临界条件

等.因此分析此类问题要全面、细致,由特殊
到一般,善于画出图形,要做到“图文并茂”.



粒子在复合场中的能量问题

◆例11 如图甲所示,足够长的两面均光

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滑的绝缘平板固定在区域足够大的正交的方 向竖直向上的匀强电场和方向水平向外的匀



强磁场中,匀强电场的场强大小为E,匀强磁场 的磁感应强度大小为B,平板与水平面间的夹 角为θ,带电荷量为+q的小物块静止在平板中 央.现沿平板斜向下的方向给物块一个瞬时速 度v0的同时,保持磁场(包括大小和方向)和电 场方向不变,使电场强度的大小变为3E(当地

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的重力加速度为g,设物块沿平板运动的过程
中电荷量不变),求: (1)小物块沿平板向下运动的最大位移.

(2)小物块沿平板运动的过程中机械能的增量.

【解析】(1)小物块静止在平板中央,有mg= qE,当场强大小变为3E时,小物块受到的电场 力为3qE,沿光滑平板下滑时的受力分析图如

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图乙所示,FN为板对小物块的弹力.显然,小物



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块受到的合力沿平板向上,故沿平板向下做匀 减速运动,当速度减至零时,位移有最大值.对小

物块下滑的运动应用动能定理得:

-2qEssin

1 2 v 0 θ=0-? 2 m?

又mg=qE

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联立解得:小物块沿平板向下运动的最大位移
v0 2 s= 4gsin? .

?



(2)小物块沿平板下滑至最低点后即沿平板向

上做匀加速运动,受力情况如图丙所示,在垂

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直平板方向上有2qEcos θ=FN+qvB.随着速度v 的增大,FN将减小,当FN=0时小物块开始离开 平板,此时的速度为小物块沿平板向上运动的
2Ecos? 最大速度vm=?B

对小物块沿平板向上的运动应用动能定理得

2qEs'sin

1 2 v m θ=? 2 m? -0

又mg=qE

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联立解得:小物块沿平板向上运动的最大位移
E 2 cos 2? s'= B2gsin?

?

机械能的增量取决于重力以外的力所做的功,

在小物块沿平板运动的全过程中,重力以外只
有电场力做功,因此机械能的增量ΔE=3qE(s'

-s)sin

E 2cos2? v0 2 θ=3qE( B2g - 4 g ).

?

?

v0 2 【答案】(1) 4gsin?

?

E 2cos2? v0 2 (2)3qE( B2g - 4 g )

?

?

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?

运用能量的观点处理复合场

中的问题,应抓住重要的功能关系和动能定理 求解.应明确:洛伦兹力不做功,电场力做功只

与初末位置的电势差有关,重力做功只与初末
位置的高度差有关.抓住这些特点对解决问题 往往起到“事半功倍”的效果.



带电粒子在电、磁场中运动的STS

问题

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◆例12

(2011年高考· 江苏物理卷)某种

加速器的理想模型如图甲所示:两块相距很近 的平行小极板中间各开有一小孔a、b,两极板 间电压uab的变化图象如图乙所示,电压的最大

值为U0、周期为T0,在两极板外有垂直纸面向

里的匀强磁场.若将一质量为m0、电荷量为q

的带正电的粒子从板内a孔处静止释放,经电

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场加速后进入磁场,在磁场中运行时间T0后恰 能再次从a孔进入电场加速.现该粒子的质量
1 增加了? m 0.(粒子在两极板间的运动时间不 100

计,两极板处无电场,不考虑粒子所受的重力)

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(1)若在t=0时将该粒子从板内a孔处静止释放,

求其第二次加速后从b孔射出时的动能. (2)现要利用一根长为L的磁屏蔽管(磁屏蔽管

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置于磁场中时管内无磁场,忽略其对管外磁场 的影响),使图甲中实线轨迹(圆心为O)上运动

的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出,
请在图上的相应位置处画出磁屏蔽管.

(3)若将电压uab的频率提高为原来的2倍,该粒

子应何时由板内a孔处静止开始加速,才能经

多次加速后获得最大动能?最大动能是多少?

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【解析】(1)质量为m0的粒子在磁场中作匀速
2? r v2 圆周运动,有:qvB=m0? ,T0=? v r

2? m 0 则T0= qB

?

1 当粒子的质量增加了? 100 m0,其周期增加ΔT= 1 ? 100 T0

则根据图乙可知,粒子第一次的加速电压u1=U
0

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24 粒子第二次的加速电压u2=? 25 U0

射出时的动能Ek2=qu1+qu2
49 解得:Ek2=? 25 qU0.

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(2)磁屏蔽管的位置如图丙所示. (3)在uab>0时,粒子被加速,则最多连续被加速 的次数

T0 N= 4 ,得N=25 ?T

?

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分析可得,粒子在连续被加速的次数最多,且u =U0时也被加速的情况时,最终获得的动能最 大.
1 19 粒子由静止开始加速的时刻t=(? 2 n+? 50 )T0

(n=

0,1,2,…)

1 3 23 最大动能Ekm=2×(? 25 +? 25 +…+? 25 )qU0+qU0

313 解得:Ekm=? 25 qU0.

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49 【答案】(1)? 25 qU0 1 19 (3)(? 2 n+? 50 )T0

(2)如图丙所示
313 ? 25 qU0

(n=0,1,2,3…)

?

电磁场在科学技术中的应用,

主要有两类:一类是利用电磁场的变化将其他

信号转化为电信号,进而达到转化信息或自动

控制的目的;另一类是利用电磁场对电荷或电

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流的作用,来控制其运动,使其平衡、加速、 偏转,以达到预定的目的.常见的有电磁流量 计、霍尔效应、磁流体发电机、磁电式仪表 、质谱仪、速度选择器等.其中速度选择器、 电磁流量计、磁流体发电机及霍尔效应都应 用了电场力与洛伦兹力平衡的力学思想.


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