巧用伸缩变换解决椭圆问题_图文

中学 生 数 学 ? 2 0 0 9年 l o月上 ? 第3 7 9期 ( 高中 )  

巧 罔 伸 缩 蜜 撅 解 决 椭 圆 问题 
安 徽 省灵璧 中学 ( 2 3 4 2 O O )   侯 立 刚  在伸 缩变 换 下 , 平 面 图形 要 发 生 相应 的变  化. 如圆在伸缩变换下 可变成椭 圆, 而 椭 圆在  伸缩 变换 下又 可 变 成 圆. 圆 是 我 们 相 当熟 悉 的  图形 , 它 的 许 多 性 质 的 推 导 和 证 明 都 比 较 容 
易, 在 圆 中 研 究 图 形 的 某 种 性 质 然 后 再 还 原 到  椭圆中, 从 而 得 到椭 圆 的 相 应 性 质 , 这 往 往 要 
0 ) 中 心 的一 条 弦 , M 是椭 圆上异于 A、 B 的 任 


_  

爹  
础 
名  
;  
( B) 一  b 2  
t  

鍪 

点, 且 AM 、 B M 与 坐标 轴 不 平行 ,   A M, 足 B M 分 
(   ) .  

别 表示 直 线 AM 、 B M 的斜率 , 则 是 A M? 正   一  
( A) 一 

比直 接在 椭 圆 中进 行计 算 和证 明简 单得 多.  


( c) 一 

( D) 一  a 2  

2 





2  

设椭 圆  +  一1 ( n> b >0 ) , 作 变 换  &   0  
{ 工  I  

f   一  ,  
分析  令  I “   则 椭 圆就 变 成 了 单 位 

j }   一z,  

于 是在 这 种伸 缩 变 换 下 , 椭 圆就 变 成 

 一 l  ,  
圆z  +  一 1 , 椭 圆一 k的点 A、 B、 M 分别 变 成  了单 位 圆上 的点 A   , B   , M  , 且 A   B   是单 位 圆 

l  一   ,  
了单 位 圆 . 2 7  +  一1 , 可 以很 容 易 地 证 明 这 种  伸缩 变换 具有 如下 一些 常用 的性 质 :   ( 1 )直线 仍 变成 直线 , 斜 率为 原来 的  .   ( 2 )两 条直 线 的平行 性 不变 . 特别地 , 平行  于纵 轴 ( 或在 纵轴 上 ) 的线 段 仍 平 行 于 纵 轴 ( 或 

的 直 径 , 于 是k   M   : k  一 一 1 , ? ? ? 詈 志 A M 。  
4 2志   一 一 1


从而 是 A Ⅵ?是 B M一 一  b 2


选( B) .  



在伸缩变换下, 过椭 圆 中心 的弦 变 成 

圆 的直径 , 利 用 直 径 上 的 圆 周 角 是 直 角 即 可 解 

在纵轴上) , 长度 为原来 的÷ , 平行于横轴 ( 或 
在横 轴 上 ) 的线 段仍 平 行 于 横轴 ( 或 在 横 轴  上) , 长度 为原 来 的  .   ( 3 )点 分线 段 的 比不 变 . 特 别地 , 线段 的中  点 变成对 应线 段 的 中点.   ( 4 )三 角 形 仍 变 成 三 角 形 , 面 积 为 原 来 
1  

决 本 题. 当然 , 本 题利 用特 例法 也行 .   例2   AB 是 任 一 不 过 椭 圆X   2   T
yZ
 

一 1  

( 。 >6 >0 ) 中心 0且不平行 于坐标轴 的弦, M  是 AB 的 中点 , 求证 : k   M? k A B 一 一  6 2
. 

f 三 一z   。  
分析 令 
l “ 

则 线段 AB 就变成 了单 

.  

的÷ .   ( 5 )两 曲线 的 位 置 关 系 不 发 生 变 化 , 即 公 

I  一   ,  
位 圆  +  一 1的 弦 A  B   , 点 M 就 变 成 了弦  A   B   的 中点 M  , 由于 0   M  上A   B   , 于是 愚   M ,  
?

共 点 的个 数 不发 生 变 化 . 如 若 直 接 与 曲线 相 交 
变换 后 它们 仍相 交.   决 椭 圆问题 的 简便性 .  


.  

k A , B , = =一 1 .  
?
? ? 

以下通 过 几 个 例 题 说 叫 利 用 伸 缩 变 换 解 
2   2  

詈 尼  ‘ 詈 忌 A B 一 一 1 ,  
足   . 忌 A B 一 一  .  





例1 若A B是过椭圆   以   +告 D   一1 ( n >6 > 

从而

? ?  

9 ? ? 电 子   箱 :   @   i   。   .   t .  

中学生数学 ? 2 0 0 9年 1 o月上 ? 第3 7 9 期( 高中)  



注  在 伸 缩 变 化 下 , 线 段 的 中 点 是 不 变 

即所 求 的切 线 L的 方程 是 

+ 

一1 .  

学 

的, 而在 圆中 , 圆心 与弦中点 的连线 垂直 于弦 .  

多   础 
知 
c ; ’  
t 

例 3若 A , B , c 是 椭 圆 紊 +  一 1 ( n > 6   性质 , 通 过 圆的切 线 方 程可 快 速地 求 出椭 圆 的 
z— , ● ●   ● n ●     令 , 、   , 一   6  , ● L  
,  
.  
— —

分  析 



利 用 在 伸 缩 变 换 下 切 线 仍 为 切 线 的 

上 的三点 , 则 s △ 仙   的最 大值是 基  >0)
Z l   l ’  

切 线方 程.  
2   2  

I   l

例 5   已 知 椭 圆 c:   x   T  y 一1 ( n >6 >O ) ,  

则 椭 圆 内 接 △ AB C 就 
,  
’ 

直线 L: Az +By +C一0 , 求证 : L与 C 相 交 的  充要条 件是 ( 口 A)   +( 6 B)   >C   .  

变成 了单位 圆  +  一1的内接△A   B   C   , 而  圆 的内接三 角形 以内接 正 三 角形 面积 为 最大 ,  


,  

,  

则 椭 圆 C和 直 线 L 就 
,  

故s A 舶   的 最 大 值 为 半, 从 而s △   。 的 最 大   值 是 半 
注  在 伸缩 变 换 下 , S △ 邶 c: S △ 枷  —a b ,   利用 圆 内接三角 形 的性 质 , 可 巧妙 地 解决 这 个 
问题 .  
分  析  yZ 例4   设 M( z 。 ,   。 ) 是椭 圆 c :   X 2   T   一1 ( 口   L   与 C  相交 ,  

Y ’  

分 别变成 了单 位圆 C   :   +Y  一1和 直 线 L   :   a Ax   +b B y   +C一0 , L与 C相 交的充 要条 件是 
l   r 、 I  

于是

d一 —  = 

√( a A)  十 ( b B)  

==  < 1 ,  

即 得  ( 口 A)  + ( 6 B)   >C   .  

, ● ● 。 . ● ● 口 ● ● ● 令   ●   ● , 、   ● ● ● ● 一 ● ● 6 ● ● L     >6 >O )   的一点 , 求 过 点 M 的切 线 L 的方 程 .  



此题若用判别 式, 不仅运算 繁琐 , 还 

要 讨论 B 的值 . 类 似 的 可 以得 到 L与 C相 切 、   相离 的充 要 条 件 分 别 是 ( a A) 。 +( b B) 。 一C   ,  
( 0 A)  + ( 6 B)   <C   .  

f   一z   ,  

l   j

一  

分 析  令 J “  

则 椭圆C 就 变 成了 单  

1 詈 一   ,  
位 圆C   :  。 +  一 1 , 点 M( x 。 , Y 。 ) 就 变成 了单  位 圆上 的点  ( z  ,   ) , 而 过 M  的 圆 的 切 线 

通过类 比 、 联想、 知 识 的迁 移 和应 用 等 方 

式, 体 会 知 识 之 间 的 有 机联 系 , 感 受 数 学 的 整  体性 , 进一步理解数学的本质 , 提 高 解 决 问 题  的 能 力. 圆与 椭 圆之 间 有 许 多 类 似 的性 质 , 利  用伸 缩 变 换 解 决 椭 圆 问 题 , 可 以达 到 驭 繁 就 
简、 化难 为易 的 目的.   ( 责审   余炯 沛)  

方程是 z   +j o y   一1 ,  
?

?

? 

詈‘ 以    +  。 D  D  一     .  

( 上接 第 1 6页 )  

c : 3 z 一1 +3  + 

> 

.  

查 了分 析 、 解 决 问题 的能力 , 有 良好 的 区分 度 .  
4 .策 略 4 — — 利 用 二 项 式 定 理 放 缩 
例 4   设  ≥ 2 且  ∈ N , 求证: 4  > 
9n  一 3  

— —  

评 注  此题 可 用 数学 归 纳法 证 明 , 但 用 二  项式定理放缩证明 , 更加简洁. 有 时在 证 明过 

程 中可对 称 的保 留前 若 干 项 和最 后 若 干项 , 如 
‘  

要证明 n ≥ 5时 , 2   ≥n   +7 2 +2 . 因2   一( 1 +1 )  

分析  因为 ≥2 , 所 以展开 式 中至 少有 三 

≥  +C   +C : +C :   +C :   +C : 一2 (   +C  
十 C: ) 一  +7 / 十2 .  

黪  豢  黪 

项, 可保 留前 三项进 行放缩 .  
证 明  因 为 4   一( 1 +3 )  ≥  + C   3   + 

( 责审   王  雷 )  

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