2015-2016学年高中数学 章末综合能力测试2 新人教A版必修5

章末综合能力测试
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 8?a1+a8? 解析:由等差数列性质及前 n 项和公式,得 S8= =4(a3+a6)=4a3,所以 a6= 2 0.又 a7=-2,所以公差 d=-2,所以 a9=a7+2d=-6. 答案:A 2.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1=( ) 1 1 A. B.- 3 3 1 1 C. D.- 9 9 解析:设公比为 q,∵S3=a2+10a1,a5=9,
?a1+a2+a3=a2+10a1, ? ∴? 4 ?a1q =9, ? ?a1q =9a1, ? ∴? 4 ?a1q =9, ?
2

1 解得 a1= ,故选 C. 9 答案:C 3.若{an}是公差为 1 的等差数列,则{a2n-1+2a2n}是( ) A.公差为 3 的等差数列 B.公差为 4 的等差数列 C.公差为 6 的等差数列 D.公差为 9 的等差数列 解析:设数列{an}的公差为 d,则由题意知,d=1, 设 cn=a2n-1+2a2n,则 cn+1=a2n+1+2a2n+2, cn+1-cn=a2n+1+2a2n+2-a2n-1-2a2n=6d=6. 答案:C 4.在等差数列{an}中,a1>0,a18+a19=0,则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的是( ) A.S8 B.S18 C.S17 D.S9 解析:∵a1>0,a18+a19=0,∴a18>0,a19<0. ∴S18 最大. 答案:B 4 5.已知数列{an}满足 3an+1+an=0,a2=- ,则{an}的前 10 项和等于( ) 3 1 -10 10 A.-6(1-3 ) B. (1-3 ) 9 -10 -10 C.3(1-3 ) D.3(1+3 ) an+1 1 1 4 解析:由 3an+1+an=0,得 =- ,故数列{an}是公比 q=- 的等比数列.又 a2=- , an 3 3 3 1 ? ? ?10? 4?1-?- ? ? ? ? 3? ? -10 可得 a1=4.所以 S10= =3(1-3 ). 1? ? 1-?- ? ? 3? 答案:C

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6.数列{an}的通项公式是 an= 为( ) A.11 B.99 C.120 D.121 解析:∵an= 1

1

n+ n+1

(n∈N ),若其前 n 项的和 Sn 为 10,则项数 n

*

n+ n+1 n+1- n = ? n+1+ n?? n+1- n? = n+1- n, ∴Sn=( 2- 1)+( 3- 2)+…+( n+1- n), = n+1- 1=10, ∴ n+1=11. 解得 n=120.
答案:C 7.已知数列{an}的通项公式 an=log3

n * (n∈N ),设其前 n 项和为 Sn,则使 Sn<-4 成立 n+1

的最小自然数 n 等于( ) A.83 B.82 C.81 D.80 解析:Sn=log31-log32+log32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,解 4 得 n>3 -1=80.故选 C. 答案:C 1 1 1 1 8.数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和为( ) 2 4 8 16 1 2 1 A. (n +n+2)- n 2 2 1 1 B. n(n+1)+1- n-1 2 2 1 2 1 C. (n -n+2)- n 2 2 1 ? 1? D. n(n+1)+2?1- n? 2 ? 2? 1? ? 1 1 1 解析:Sn=?1 +2 +3 +…+n n? 2? ? 2 4 8 1? ?1 1 1 =(1+2+3+…+n)+? + + +…+ n? 2? ?2 4 8 1? ?1? ? ?1-?2?n? 2 ? ? ?? n?n+1? = + 2 1 1- 2 n?n+1? 1 1 2 1 = +1- n= (n +n+2)- n,故选 A. 2 2 2 2 答案:A 9.设数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=1 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn 等于( ) 2 n 7n n2 7 n A. + B. + 8 8 4 4

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n 3n 2 C. + D.n +n 2 4 2 解析:由 a1, a3,a6 成等比数列可得 a2 则(1+2d) 3=a1·a6,设数列{an}的公差为 d(d≠0), 2 1 n?n-1? 1 n 7n =1×(1+5d),而 d≠0,故 d= ,所以 Sn=n+ × = + . 4 2 4 8 8 答案:A 10.已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,a1=2,若数列{1+an}也是等比数列,则 Sn 等于 ( ) A.2n B.3n n+1 n C.2 -2 D.3 -1 解析:设{an}的公比为 q, ∵数列{1+an}是等比数列, 2 ∴(1+a2) =(1+a1)(1+a3), 2 2 ∴(1+2q) =3(1+2q ),∴q=1,∴Sn=2n. 答案:A 11.设 y=f(x)是一次函数,若 f(0)=1,且 f(1),f(4),f(13)成等比数列,则 f(2)+ f(4)+…+f(2n)等于( ) A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4) 解析:设 y=kx+b(k≠0,k,b 为常数).∵f(0)=1,∴b=1.又∵f(1),f(4),f(13) 成等比数列, 2 ∴(4k+1) =(k+1)·(13k+1),∴k=2, ∴y=2x+1, ∴ f(2)+ f(4) +…+ f(2n) =2×2+ 1+2×4+ 1+…+2×2n +1= 2(2 +4 +…+2n)+ n =n(2n+3). 答案:A 12.某容器中盛满 10 kg 的纯酒精,倒出 2 kg 后再补上同质量的水,混合后再倒出 2 kg, 再补上同质量的水,倒出 n 次后容器中纯酒精的质量为( ) 4 4 ? ?n-1 kg B.8×? ?n kg A.8×? ? ?5? ?5? ? ? 4 ? ?n+1 kg D.8×?1?n-1 kg C.8×? ? ?5? ?5? ? ? 解析:可以求出第一次倒出后容器中的纯酒精质量为 10-2=8(kg);第二次倒出后容器 4 ?4?2 中的纯酒精质量为 8× (kg);第三次倒出后容器中的纯酒精质量为 8×? ? (kg),……,可归 5 ?5? ?4?n-1 纳出第 n 次倒出后容器中的纯酒精质量为 8×? ? (kg). ?5? 答案:A 二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,则 S19=________. 19?a1+a19? 解析: 由 a3+a7+2a15=40, 得 2a5+2a15=40, 从而得 a1+a19=20, 所以 S19= 2 =190. 答案:190 1 a9+a10 14.在等比数列{an}中,各项都是正数,且 a1, a3,2a2 成等差数列,则 =________. 2 a7+a8 1 解析:设等比数列{an}的公比为 q.∵数列{an}各项都是正数,故 q>0.由 a1, a3,2a2 成等差 2 a9+a10 a7q2+a8q2 2 2 数列,知 a3=a1+2a2, 即 a1q =a1+2a1q,q -2q-1=0,解得 q=1+ 2,∴ = a7+a8 a7+a8
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=q =3+2 2. 答案:3+2 2 15.某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一 * 天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于________. a1?1-qn? 解析: 每天植树的棵树构成以 2 为首项, 2 为公比的等比数列, 其前 n 项和 Sn= 1-q n 2?1-2 ? n+1 n+1 n+1 6 7 = =2 -2.由 2 -2≥100,得 2 ≥102.由于 2 =64,2 =128,则 n+1≥7,即 1-2 n≥6. 答案:6 1 n * 16.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=(-1) an- n,n∈N ,则(1)a3=________;(2)S1 2 +S2+…+S100=________. 1 1 n n-1 解析:∵an=Sn-Sn-1=(-1) an- n-(-1) an-1+ n-1, 2 2 1 n n-1 ∴an=(-1) an-(-1) an-1+ n. 2 1 当 n 为偶数时,an-1=- n, 2 1 当 n 为奇数时,2an+an-1= n, 2 1 1 ∴当 n=4 时,a3=- 4=- . 2 16 根据以上{an}的关系式及递推式可求. 1 1 1 1 a1=- 2,a3=- 4,a5=- 6,a7=- 8, 2 2 2 2 1 1 1 1 a2= 2,a4= 4,a6= 6,a8= 8. 2 2 2 2 1 1 1 ∴a2-a1= ,a4-a3= 3,a6-a5= 5,…, 2 2 2 1? ?1 1 1 ∴S1+S2+…+S100=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a100-a99)-? + 2+ 3+…+ 100? 2 2 2 2 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? =? + 3+…+ 99?-? + 2+…+ 100? 2 ? ?2 2 2 ? ?2 2 1? 1 ? = ? 100-1?. 3?2 ? 1 1? 1 ? 答案:(1)- (2) ? 100-1? 16 3?2 ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知{an}是一个等差数列且 a2+a8=-4,a6=2. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前 n 项和 Sn 的最小值. 解析:(1)设{an}的公差为 d. ∵a2+a8=2a5,a2+a8=-4, ∴a5=-2, 又∵a6=2,∴d=a6-a5=4.∴a1=-18. ∴an=a1+(n-1)d=4n-22.

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(2)Sn=na1+

2 2 =2(n-5) -50,∴n=5 时,Sn 取得最小值-50. 18.(本小题满分 12 分) 2 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,Sn=n +n. (1)求数列{an}的通项公式; ?1? (2)设? ?的前 n 项和为 Tn,求证:Tn<1.
?Sn?

n?n-1? d=2n2-20n

解析:(1)∵Sn=n +n, 2 2 ∴当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n +n-(n-1) -(n-1)=2n, 又 a1=2 满足上式, * ∴an=2n(n∈N ). 2 (2)证明:∵Sn=n +n=n(n+1), 1 1 1 1 ∴ = = - , Sn n?n+1? n n+1 1 ? ? 1? ?1 1? ?1 ∴Tn=?1- ?+? - ?+…+? - 2 2 3 n n + 1? ? ? ? ? ? ? 1 =1- . n+1 1 * ∵n∈N ,∴ >0,即 Tn<1. n+1 19.(本小题满分 12 分) x 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,点(n,Sn)在函数 f(x)=2 -1 的图象上,数列{bn}满足 bn * =log2an-12(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式. (2)当数列{bn}的前 n 项和最小时,求 n 的值,并求出前 n 项和的最小值. n * 解析:(1)由题意,得 Sn=2 -1(n∈N ), n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2 -2 =2 . 当 n=1 时,a1=S1=1,也适合通项. n-1 * ∴an=2 (n∈N ). (2)方法一:因为 bn=log2an-12=n-13,所以数列{bn}是等差数列.所以数列{bn}的前 n n?n-25? n2-25n 1? 25?2 625 项和 Tn= = = ?n- ? - . 2? 2 2 2? 8 所以 n=12 或 n=13 时,数列{bn}的前 n 项和最小,且最小值为-78. 方法二:由 bn=n-13 知, 当 1≤n≤12 时,bn<0;b13=0;当 n≥14 时,bn>0. 故当 n=12 或 13 时,数列{bn}的前 n 项和最小,且最小值 T12=T13=-78. 20.(本小题满分 12 分) 数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c 是不为零的常数,n=1,2,3,…),且 a1,a2,a3 成等 比数列. (1)求 c 的值; (2)求{an}的通项公式; ?an-c? (3)求数列? n?的前 n 项之和 Tn. ?n·c ? 解析:(1)a1=2,a2=2+c,a3=2+3c. 2 ∵a1,a2,a3 成等比数列,∴(2+c) =2(2+3c), 解得 c=0 或 c=2. ∵c≠0,∴c=2. (2)当 n≥2 时,由于 a2-a1=c,a3-a2=2c,…,an-an-1=(n-1)c,

2

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2 又 a1=2,c=2, 2 故有 an=2+n(n-1)=n -n+2(n=2,3,…). 当 n=1 时,上式也成立, 2 ∴an=n -n+2(n=1,2,3…). an-c ?1?n (3)令 bn= =(n-1)? ? , n·cn ?2? ?1?2 ?1?3 ?1?4 ?1?n 则 Tn=b1+b2+b3+…+bn=0+? ? +2×? ? +3×? ? +…+(n-1)? ? ,① 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?2? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn=0+? ?3+2×? ?4+…+(n-2)? ?n+(n-1)? ?n+1.② 2 ?2? ?2? ?2? ?2? 1 n - 1 n + 1 ? ?n-1 由①-②得 Tn=1-? ? - n =1- n . 2 2 ?2? 21.(本小题满分 12 分) 已知某大学有 1 000 名学生,他们每到周末或者自费去学电脑或者从事家教,第一个周 六学电脑和从事家教的各有 500 人,经调查显示,凡是在某周六学电脑的学生下周六 20%改成 从事家教;而从事家教的下周六有 30%改成学电脑,设 An 与 Bn 分别表示第 n 周学电脑与从事 家教的学生人数. (1)试用 An 表示 An+1; (2)从第几周开始,星期六学电脑的人数将超过 590 人? 解析:(1)由题意得 An+1=80%An+30%Bn, 1 又 An+Bn=1 000,消去 Bn,得 An+1= An+300. 2 1 (2)由(1),An+1= An+300, 2 1 ∴An+1-600= (An-600). 2 又∵A1=500, 1 ∴{An-600}是以-100 为首项, 为公比的等比数列. 2 1 ? ?n-1 ∴An-600=-100·? ? , ?2? 1 ? ? An=600-100·? ?n-1>590. ?2? 1 ? ?n-1 1 ∴? ? < , ?2? 10 ∴n-1>log210. * 又∵n∈N ,∴n≥5. ∴从第 5 周开始,星期六学电脑的人数将超过 590 人. 22.(本小题满分 12 分) 正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: 2 2 S2 n-(n +n-1)Sn-(n +n)=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; n+1 5 * (2)令 bn= . 2 2,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意的 n∈N ,都有 Tn< ?n+2? an 64 2 2 2 解析:(1)由 Sn-(n +n-1)Sn-(n +n)=0, 2 得[Sn-(n +n)](Sn+1)=0. 2 由于数列{an}是正项数列,所以 Sn>0,Sn=n +n. 于是 a1=S1=2,当 n≥2 时,
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∴an-a1=[1+2+…+(n-1)]c=

n?n-1? c.

an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上可知,数列{an}的通项 an=2n. n+1 (2)证明:由于 an=2n,bn= 2 2, ?n+2? an 1 n+1 1 ?1 ? 则 bn= 2 2- 2 . ? 2= n ? n + 2? ? 4n ?n+2? 16? ? Tn= ?1- 2 3
= 1? 16? 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2- 2+ 2- 2+…+ 2- 2+ 2- 2 4 3 5 ?n-1? ?n+1? n 1 ? 2 ?n+2? ? ?

1 1 1 1? ? 1 ?1+ 12? 1+ 2- 2- 2?< ? ? ? 16? 2 ?n+1? ?n+2? ? 16? 2 ? 5 = . 64

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