www.122345.com:江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件3.3 导数的综合应用_图文

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§3.3 导数的综合应用 基础知识 自主学习 要点梳理 1.利用导数研究函数单调性的步骤 (1)求导数 f′(x);(2)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0;(3)根据(2)的结果确定函数 f(x)的单 调区间. 2.求可导函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2) 求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x) =0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那 么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. 3.求函数 f(x)在闭区间[a,b]内的最大值与最小值 (1)确定函数 f(x)在闭区间[a,b]内连续、可导; (2)求函数 f(x)在开区间(a,b)内的极值; (3)求函数 f(x)在[a,b]端点处的函数值 f(a),f(b); (4)比较函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)的大小,其中 最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 4.利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问 题的数学模型,写出相应的函数关系式 y=f(x); (2)求导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)判断使 f′(x)=0 的点是极大值点还是极小值点; (4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中 作答.一般地,对于实际问题,若函数在给定的定义 域内只有一个极值点,那么该点也是最值点. [难点正本 疑点清源 ] 运用导数不仅可以求解曲线的斜率,研究函数的单调性,确 定函数的极值与最值,还可利用导数研究参数的取值范围, 来讨论方程根的分布与证明不等式. 用导数研究参数的取值范围,确定方程根的个数,证明不等 式,其实质就是转化成函数的单调性、极值与最值的问题, 运用导数进行研究. 基础自测 1.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 在曲线 C:y=x3- 10x+ 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的 (-2,15). 切线斜率为 2,则点 P 的坐标为________ 解析 设 P(x0,y0)(x0<0),由题意知: 2 y? |x?x0 ? 3x0 ?10 ? 2, ∴x2 0=4.∴x0=-2,∴y0=15. ∴P 点的坐标为(-2,15). 2.奇函数 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx 在 x=1 处有极值,则 3a+b +c 的值为 0 . 3.若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则实数 a 的取值范 围为________ [-1,1] . 解析 ∵f′(x)=1+acos x, ∴要使函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则 1+a cos x≥0 对任意实数 x 都成立. ∵-1≤cos x≤1, ①当 a>0 时,-a≤acos x≤a,∴-a≥-1,∴0<a≤1; ②当 a=0 时适合; ③当 a<0 时,a≤acos x≤-a,∴a≥-1,∴-1 ≤a<0. 综上,-1≤a≤1. x2 4.经过点(3,0)的直线 l 与抛物线 y= 交于两点,且两个 2 交点处的切线相互垂直,则直线 l 的斜率 k= 1 -6 . 解析 设直线 l 的斜率为 k,则其方程为 y=k(x-3),设 直线 l 与抛物线的两个交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), x2 ? ?y= , 2 由? 得 x2-2kx+6k=0, ? ?y=k(x-3), 所以 x1x2=6k. ?x2? ∵y′=? 2 ?′=x, ? ? ∴抛物线在 A、B 两点的切线的斜率分别为 x1,x2,于是 1 有 x1x2=6k=-1,故 k=-6. 5.若函数 f(x)=x3-3x+a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的 取值范围是(-2,2) . 解析 由于函数 f(x)是连续的,故只需要两个极值异号 即可.f′(x)=3x2-3,令 3x2-3=0,则 x=±1,只需 f(-1)f(1)<0,即(a+2)(a-2)<0,故 a∈(-2,2). 题型分类 题型一 深度剖析 利用导数的几何意义解题 例 1 设函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d (a、b、c、d∈R)的图 2 象关于原点对称,且当 x=1 时 f(x)有极小值- . 3 (1)求 a、b、c、d 的值; (2)当 x∈[-1,1]时,问图象上是否存在两点使过此两点 处的切线互相垂直?试证明你的结论. 思维启迪:函数图象关于原点对称,则函数 f(x)是一个 奇函数.又在 x=1 处有极小值,则说明 f′(1)=0. 解 (1)∵f(x)的图象关于原点对称, ∴ f(- x)=-f(x), ∴- ax3+ bx2- cx+ d=-ax3-bx2- cx- d, ∴ bx2+ d= 0 恒成立, ∴ b= 0, d= 0.∴f(x)= ax3+ cx, ∴ f′ (x)= 3ax2+ c. 2 ∵当 x= 1 时,f(x)有极小值为- , 3 ?3a+ c= 0, ? 1 ? ?a= , ∴? 解得? 3 2 a+ c=- , ? ? 3 ? ?c=- 1. 1 ∴ a= , b= 0, c=- 1, d= 0. 3 (2)假设存在两点 A(x1, y1)、B(x2, y2),过此两点的切线互 相垂直. 2 由 f′ (x)= x2-1 得 k1= x2 - 1 , k = x 1 2 2- 1, 2 ∴ (x2 1- 1)(x2- 1)=- 1. 2 ∵- 1≤ x1≤1,-1≤ x2≤ 1,∴x2 - 1 ≤ 0 , x 1 2- 1≤0, 2 2 2 ∴ (x2 1- 1)(x2- 1)≥ 0,这与(x1- 1)(x2- 1)=- 1 矛盾. ∴不存在这样的两点使结论成立. 探究提高 探索性问题的求解应先假设要证的结论成立, 然后依据结

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