山东省2013年高二暑假作业(七)理科数学

2013 高二数学(理)暑假作业(七) 一、选择题

2?i 2 ) ? i A. ?3 ? 4i B. ?3 ? 4i
1.复数 ( 2. 设 全 集 U

C. 3 ? 4i D. 3 ? 4i 是 自 然 数 集 N , 集 合

A ? ?1 , ?2 ,B ? ? 3
为 A. ?0,1?

,x ? N? ,则如图所示的阴影部分的集合 ? x 1
C. ?2,3? D. ?0,1, 2?

B. ?1, 2?

3. 已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 y 1 3
? ? ?

2 5

3 7

则 y 与 x 的线性回归方程 y ? b x ? a 必过点( ) A.(1.5 ,4) B. (2,2) C.(1.5 ,0) D.(1,2)

? x ? ? 2 ? 3? ? 1 ? ? ( ? 为参数)与 y 坐标轴的交点是( 4. 曲线 ? 1? ? ? y? 1? ? ? 2) 1) A. (0, B. (0, C. (0, ? 4) 5 5
?



D. (0,

5) 9

5 .在△ABC 中, A ? 60 , b ? 6, c ? 10 ,则△ABC 的面积为 A. 15 6
2

B. 15 3

C. 15

D.30

6. 已知抛物线 y ? 4 x 的准线与双曲线

x2 ? y 2 ? 1, ? a>0 ? 交于 A,B 两点, F 为抛物 点 a2

线的焦点,若 ?FAB 为直角三角形,则双曲线的离心率是 A. 3 B. 6 C.2 D.3

7.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形且体积为 的俯视图可以是

1 ,则该几何体 2

8. 在各项都为正数的等比数列 {an } 中,首项 a1 ? 3 ,前三项和为 S3 ? 21 ,则 a4 = A.32 B.24 C.27 D.54

1 x 9.函数 f(x)=e - 的零点所在的区间是(

x

)

? 1? A.?0, ? ? 2? 10.

?1 ? B.? ,1? ?2 ?

? 3? C.?1, ? ? 2?

?3 ? D.? ,2? ?2 ?

如果上述程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入( A. k≤11 B.k≥11 C.k≤10 D.k≥10
2 2



11.在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为 1 的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是 A. ?

4 3

B. ?

5 4

C. ?

3 5

D. ?

5 3

12 在下列函数中,最小值是 2 2 的是 A. y ? 2 lg x ?

1 ( x ? 0) lg x

B. y ? sin x ?

2 x ? ? 0, ? ? sin x

C. y ?

x2 ? 5 x ?3
2

D. y ? e ? 2e
x

?x

二、填空题

1 1 , ) ,则 a ? b 的值为 . 2 3 ??? ? ??? ? 14.在复平面内,记复数 3 ? i 对应的向量为 OZ ,若向量 OZ 绕坐标原点逆时针旋转
13. 若不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集是 ( ?
2

???? ? 60? 得到向量 OZ ' 所对应的复数为___________________.
15.已知实数 x??0,10? ,执行如右图所示的程序框图,则输出的 x 不小于 47 的概率为

16.过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 B(2,1),则圆 C 的方程为 三、

解答题
x

17.已知函数 f ( x) ? a ?

1 . 2 ?1 (1)证明:不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数

(2)确定 a 的值, 使 f (x) 为奇函数; 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,直角梯形 ACDE 与等腰直角 ?ABC 所在平面互相 垂直, F 为 BC 的中点, ?BAC ? ?ACD ? 90? , AE ∥ CD , DC ? AC ? 2 AE ? 2 . (1)求证:平面 BCD ? 平面 ABC ; (2)求证: AF ∥平面 BDE ; (3)求四面体 B ? CDE 的体积. 19. 己知等比数列 ?an ? 所有项均为正数, a1 ? 1 , a43a, a5 首 且 , 3 成等差数列. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)数列 ?an?1 ? ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 2n ?1(n ? N * ) ,求实数 ? 的值.

20.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴
2

(垂足为 T) ,与抛物线交于不同的两点 P,Q 且 F P ? F2Q ? ?5 . 1 (I)求点 T 的横坐标 x0 ; (II)若以 F1,F2 为焦点的椭圆 C 过点 ? 1, ①求椭圆 C 的标准方程;

???? ???? ?

? ? ?

2? ?. 2 ? ?

, ②过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, F2 A ? ? F2 B , ? ?? ?1, 设 若 ? 2
的取值范围.

???? ?

???? ?

? B A ? 求T T

?? ??

2013 高二 数学(理)暑假作业(七)参考答案 一、选择题 1-5 ACABB 6-10 BABBD 11-12AD 二、填空题 13. ? 14 14. 2i 15.1/2

( 16. x ? 3)

2

? y2 ? 2

三、解答题 17. (1) 依题设 f (x) 的定义域为 (??,??)

1 ,设 x1 ? x2 , 2 ?1 2 x1 ? 2 x2 1 1 ? a ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? x = , 2 1 ?1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
原函数即 f ( x) ? a ?
x

? x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x) 总为增函数. (2) ? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? 则 2a ?

1 1 ? ?a ? x 2 ?1 2 ?1
?x

1 1 1 2x ? ?x ? x ? x ?1, 2x ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

1 1 1 ? a ? . ? f ( x) ? ? x . 2 2 2 ?1
18. (1)∵面 ABC ? 面 ACDE ,面 ABC ? 面 ACDE ? AC , CD ? AC , ∴ DC ? 面 ABC , 又∵ DC ? 面 BCD ,∴平面 BCD ? 平面 ABC . (2)取 BD 的中点 P ,连结 EP 、 FP ,则 FP 又∵ EA

1 DC , 2

1 DC ,∴ EA FP , 2 ∴四边形 AFPE 是平行四边形,∴ AF ∥ EP , 又∵ EP ? 面 BDE 且 AF ? 面 BDE ,∴ AF ∥面 BDE . (3)∵ BA ? AC ,面 ABC ? 面 ACDE = AC , ∴ BA ? 面 ACDE . ∴ BA 就是四面体 B ? CDE 的高,且 BA =2. ∵ DC = AC =2 AE =2, AE ∥ DC , 1 1 ∴ S梯形ACDE ? (1 ? 2) ? 2 ? 3, S?ACE ? ? 1 ? 2 ? 1, 2 2 1 4 ∴ S?CDE ? 3 ? 1 ? 2, ∴ VE ?CDE ? ? 2 ? 2 ? . 3 3
19 . Ⅰ ) 设 数 列 ?an ? 的 公 比 为 q , 由 条 件 得 q 3 ,3q 2 , q 4 成 等 差 数 列 , 所 以 (

6q 2 ? q 3 ? q 4
解得 q ? ?3, 或q ? 2 由数列 {an } 的所有项均为正数,则 q =2 数列 ?a n ?的通项公式为 an = 2
n?1

(n ? N *)

(Ⅱ)记 bn ? a n ?1 ? ?a n ,则 bn ? 2 n ? ? ? 2 n ?1 ? (2 ? ? )2 n ?1 若 ? ? 2, bn ? 0, S n ? 0 不符合条件; 若? ? 2, 则

bn ?1 ? 2 ,数列 ?bn ? 为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2, bn

(2 ? ? ) (1 ? 2 n ) ? (2 ? ? )(2 n ? 1) 1? 2 n 又 S n = 2 ? 1( n ? N *) ,所以 ? ? 1
此时 S n ? 20.解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 ) , 则 F P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 1 由 F P ? F2Q ? ?5 ,得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,① 1
2 2 2 2

又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立①、②易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

1 1 则 2 ? 2 ?1 ③ a b2 a 2 ? b2 ? 1 ④
2 将④代入③,解得 b ? 1 或 b ? ?
2

1 (舍去) 2

所以 a ? b ? 1 ? 2
2 2

故椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

x2 ? y 2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ?1 ? 0 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 2k 可得: y1 ? y2 ? ? 2 ⑤ k ?2 1 y1 y2 ? ? 2 ⑥ k ?2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将直线 l 的方程代入 将⑤式平方除以⑥式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

5 1 1 1 1 4k 2 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 ?0 2 ? 2 ? 2 k ?2

2 7 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 0 ? k2 ?
又 y1 ? y2 ? ?

2k 4(k 2 ? 1) ,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 , k2 ? 2 k ?2

16(k 2 ? 1)2 4k 2 ? 2 (k 2 ? 2)2 (k ? 2)2 16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 , ? ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2 1 2 7 1 1 7 1 2 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 令t ? 2 ,所以 0 ? k ? 所以 k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 ??? ??? 2 7 2 17 2 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2 7 1 169 ]. 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, 16 2 32 ??? ??? 13 2 所以 | TA ? TB |? [2, ]. 8
故 | TA ? TB |2 ? ( x1 ? x2 ? 4) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 方法二: 1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

??? ???

2 2 ) , B(1,? ), 2 2

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系,
4k 2 2k 2 ? 2 , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? k2 y1 ? y2 ? k 2 ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
可得: x1 ? x2 ? 将⑤式平方除以⑥式得:

⑤ ⑥

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 7 1 ?4 ? 0 ,解得 k 2 ? 故? ? 2 2 2 1 ? 2k ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) , ??? ??? 所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,
由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ?

1

又 x1 ? x2 ? 4 ?

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ?

2

16(1 ? k 2 )2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2

4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ? ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2 7 1 1 1 ? 1? 2 ? ,即 t ? ? 0, ? , 令t ? ,因为 k ? 所以 0 ? 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 8 ? 8? ??? ??? 2 5 2 17 ? 169 ? 2 所以 TA ? TB ? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) ? . ? 4, 2 2 ? 32 ? ? ?
所以 TA ? TB ? ? 2,

? 13 2 ? ? ? 8 ? ?

综上所述: | TA ? TB |? [2,

??? ???

13 2 ]. 8


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