东三校2015年高三第一次联合模拟考试理数_图文

2015.3 三校联考一模（数学理）答案
一．选择题：BCCBA BCAAC BC 二．填空题： 13. 900 三．解答题： 17.解： 14. 64 ? 15. 84 16.

?

4 5

，B，C 的对边分别为 a，b，c ， （Ⅰ）设 △ ABC 中角 A
则由已知：

1 bc sin ? ? 2 ， 0 ? bc cos ? ? 4 ， 2

??4 分

?? 6 分 , )． 4 2 ? ? ?π ?? 2?π （Ⅱ） f (? ) ? 2sin ? ? ? ? ? 3 cos 2? ? ?1 ? cos ? ? 2? ? ? ? 3 cos 2? ?4 ? ?2 ?? ? π? ? ? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin ? 2? ? ? ? 1． ??8 分 3? ? ? ? ? ? 2? π? ? ?? ? [ , ) ，? 2? ? ? [ , ) ，∴ 2 ≤ 2sin ? 2? ? ? ? 1≤ 3 ． 4 2 3 6 3 3? ? 5π π 即当 ? ? 时， f (? )max ? 3 ；当 ? ? 时， f (? )min ? 2 ． 12 4
所以：函数 f (? ) 的取值范围是 [2,3] 18.解： （1）由表知：①，②分别填 35 , 频率 组距
0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 20 25 30 35 40 45 50

可得 tan ? ? 1 ，所以： ? ? [

? ?

??12 分

0.300.补全频率分布直方图如下:

?? 2 分

??3 分
年龄(岁)

平均年龄估值为:

1 (45 ? 0.05 ? 55 ? 0.2 ? 65 ? 0.35 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.1) ? 33.5 （岁） ? 6 分 2

(2)由表知:抽取的 20 人中,年龄低于 30 岁的有 5 人, X 的可能取值为 0,1,2

P( X ? 0) ?

2 C 15

C2 20

?

21 38

P( X ? 1) ?

1 1 C5 C15 15 ? 2 38 C 20

P( X ? 2) ?

C52 2 ? 2 C20 38

??9 分

X 的分布列为 X P
0 1 2

21 38

15 38

2 38
??10 分

期望 E ( X ) ? 0 ?

21 15 2 1 ? 1? ? 2 ? ? （人） 38 38 38 2

??12 分

19.证明: (Ⅰ)取 PD 中点 M , 连接 MF , MA , 在△ CPD 中, F 为

1 1 PC 的中点, ? MF // DC ,正方形 ABCD 中 E 为 AB 中点,? AE // DC , 2 2

? AE//MF

故： EFMA 为平行四边形

? EF // AM

?? 2 分 ?? 4 分

又? EF ? 平面 PAD , AM ? 平面 PAD

? EF // 平面 PAD

(Ⅱ) 如图：以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系:

1 1 1 P(0, 0, 2), B(0,1, 0), C (1,1, 0), E (0, , 0), F ( , ,1) 2 2 2
由题易知平面 PAD 的法向量为 n ? (0,1,0) ，

?? 6 分

z

假设存在 Q 满足条件： 设 EQ ? ? EF , EF ? ( , 0,1), Q(

1 2

? 1

, , ? ) , ? ?[0,1] 2 2
Q

y
x

? 1 AP ? (0, 0, 2), AQ ? ( , , ? ), 设平面 PAQ 的法向量为 m ? ( x, y, z) , 2 2
1 ?? ? x ? y ? ?z ? 0 ? m ? (1, ?? , 0) 2 ?2 ? ?z ? 0
??10 分

?

cos ? m, n ??
1 2

m?n mn

?

?? 1 ? ?2

由已知：

?
1 ? ?2

?

5 5
??12 分

解得： ? ?

所以：满足条件的 Q 存在，是 EF 中点。

20.（1）有已知： c ? 2 ，

b2 ? 2 a

?a ? 2 2 b ,2 ? 4

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1 8 4
1 ?2 2?2 ? 2 2 2

??4 分

(2)当 AB 斜率不存在时： S ?AOB ?

?? 6 分

当 AB 斜率存在时:设其方程为： y ? 2 ? k ? x ? 2 ? ? k ?

? ? ?

2? ? 2 ? ?

由?

? ? y ? kx ? ( 2 ? 2k )
2 2 ? ? x ? 2 y =8

得 2k 2 ? 1 x 2 ? 4

?

?

?

2 ? 2k kx ? 2

?

?

2 ? 2k

?

2

?8 ? 0

由已知： ? ? 16

?

2 ? 2k

?
2

2

k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 1? ? ? ?

?

2 ? 2k

?

2

? 4? ? ?

? 8 2k ? 2
即： k ? ?

?

?

?0

2 2

AB ? 1 ? k 2 ?

2 2 ? 2k ? 2 2k 2 ? 1

??8 分

O 到直线 AB 的距离： d ?

2 ? 2k 1? k 2
??10 分

? S ?ABC ?

1 4 AB d ? 2 2 ? 2 2 2k ? 1

k??

2 ? 2k 2 ? 1 ? 2 2

?2k 2 ?1??1,2?
?2 ? 4
2

? 2, ???
? 0, 2 ?

? ? ?2, 0 ? 2k ? 1 ?

? 此时 S ?AOB ? (0,2 2 ]

综上所求：当 AB 斜率不存在或斜率为零时：

?A0 B 面积取最大值为 2 2
21.解(1)由已知: f ( x) ? ln x ? 1 ? 2ax
/

??12 分
( x ? 0) ,切点 P(1, a)

1 分
3 分

切线方程: y ? a ? (2a ? 1)( x ? 1) ,把 (0, ?2) 代入得: a ? 1 (2)(Ⅰ)依题意: f ( x) ? 0 有两个不等实根 x1 , x2
/

( x1 ? x2 )
1 ? 2a ( x ? 0) x

设 g ( x) ? ln x ? 2ax ? 1 ①当 a ? 0 时:

则: g ( x) ?
/

g / ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 是增函数,不符合题意; ? 5 分
1 ?0 2a
? 1 2a
0 极大值

②当 a ? 0 时:由 g ( x) ? 0 得: x ? ?
/

列表如下:

x
g / ( x)
g ( x)

(0, ?

1 ) 2a

(?

1 , ??) 2a
?
↘

?
↗

1 1 1 ) ? ln(? ) ? 0 ,解得: ? ? a ? 0 2a 2a 2 1 综上所求: ? ? a ? 0 得证; 2
依题意: g ( ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x), f / ( x) 变化如下:

?8 分

x
f / ( x)
f ( x)

(0, x1 )
?
↘

x1
0

( x1 , x2 )
+ ↗

x2
0

( x2 , ??)
?
↘

由表可知: f ( x) 在 [ x1 , x2 ] 上为增函数,所以: f ( x2 ) ? f ( x1 ) 又 f / (1) ? g (1) ? 2a ? 1 ? 0 由(Ⅰ)知: ax1 ? , 故 x1 ? (0,1)

?10 分

?1 ? ln x1 1 2 , f ( x1 ) ? x1 ln x1 ? ax1 ? ? (x1 ln x1 ? x1 ) (0 ? x1 ? 1) 2 2 1 1 / 设 h( x) ? ( x ln x ? x) (0 ? x ? 1) ,则 h ( x ) ? ln x ? 0 成立,所以 h( x) 单调递减, 2 2 1 1 故: h( x) ? h(1) ? ? ,也就是 f ( x1 ) ? ? 2 2 1 综上所证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 成立. ?12 分 2
22.选修 4-1: 几何证明选讲 证明： （Ⅰ）连结 OE . ∵点 D 是 BC 的中点，点 O 是 AB 的中点，
F O M D C A E

1 ∴ OD // ? 2 AC ，
∴ ?A ? ?BOD, ?AEO ? ?EOD . ∵ OA ? OE ， ∴ ?A ? ?AEO ，∴ ?BOD ? ?EOD .

B

?3 分

在 ?EOD 和 ?BOD 中，∵ OE ? OB ， ?EOD ? ?BOD ， OD ? OD ，
? ∴ ?EOD ≌ ?BOD ，∴ ?OED ? ?OBD ? 90 ，即 OE ? ED .

∵ E 是圆 O 上一点，∴ DE 是圆 O 的切线. （Ⅱ）延长 DO 交圆 O 于点 F .

?? 5 分

∵ ?EOD ≌ ?BOD ，∴ DE ? DB .∵点 D 是 BC 的中点，∴ BC ? 2 DB . ∵ DE, DB 是圆 O 的切线，∴ DE ? DB .∴ DE ? BC ? DE ? 2DB ? 2DE .
2

?7 分

∵ AC ? 2OD, AB ? 2OF ， ∴ DM ? AC ? DM ? AB ? DM ? ( AC ? AB) ? DM ? (2OD ? 2OF ) ? 2DM ? DF . ∵ DE 是圆 O 的切线， DF 是圆 O 的割线，
2 ∴ DE ? DM ? DF ，∴ DE ? BC ? DM ? AC ? DM ? AB

??10 分

23.选修 4-4: 坐标系与参数方程 解： （Ⅰ）由 ? ? 2 cos? ，得： ? ? 2? cos? ，∴ x ? y ? 2 x ，即 ( x ? 1) ? y ? 1 ，
2 2 2 2 2

∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 .
2 2

?3 分

? 3 t?m ?x ? ? 2 由? ，得 x ? 3 y ? m ，即 x ? 3 y ? m ? 0 ， ? y ? 1t ? 2 ?
∴直线 l 的普通方程为 x ? 3 y ? m ? 0 .

?? 5 分

? 3 2 x ? t?m ? 3 ? ? 1 ?2 ? ? 2 2 2 ? （Ⅱ）将 ? 代入 ( x ? 1) ? y ? 1 ，得： ? t ? ?1， ? 2 t ? m ? 1? ? ? 1 2 ? ? ? ? ? y? t ? 2 ?
整理得： t ? 3(m ? 1)t ? m ? 2m ? 0 ，
2 2
2 2 由 ? ? 0 ，即 3(m ?1) ? 4(m ? 2m) ? 0 ，解得： ? 1 ? m ? 3 .

设 t1 , t 2 是上述方程的两实根，则 t1 ? t2 ? ? 3 (m ? 1), t1t2 ? m2 ? 2m ， 又直线 l 过点 P ( m,0) ，由上式及 t 的几何意义得

?8 分

| PA | ? | PB |?| t1t 2 |?| m2 ? 2m |? 1，解得： m ? 1 或 m ? 1 ? 2 ，都符合 ? 1 ? m ? 3 ，
因此实数 m 的值为 1或 1 ? 2 或 1 ? 2 .

??10 分

24.选修 4-5: 不等式选讲 解： （Ⅰ）当 x ? ?2 时， f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3 ，

f ( x) ? 0 ，即 ? x ? 3 ? 0 ，解得 x ? 3 ，又 x ? ?2 ，∴ x ? ?2 ；
1 时， f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ?3x ? 1 ， 2 1 1 1 f ( x) ? 0 ，即 ? 3 x ? 1 ? 0 ，解得 x ? ? ，又 ? 2 ? x ? ，∴ ? 2 ? x ? ? ； 2 3 3 1 当 x ? 时， f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 ， 2 1 ?3 分 f ( x) ? 0 ，即 x ? 3 ? 0 ，解得 x ? 3 ，又 x ? ，∴ x ? 3 . 2
当? 2 ? x ? 综上，不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ? ?,? ? ? (3,??) .

? ?

1? 3?

?? 5 分

? ? ? x ? 3, x ? ?2 ? 5 1 ?1? ? （Ⅱ） f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?? 3x ? 1, ?2 ? x ? ，∴ f ( x) min ? f ? ? ? ? . 2 2 ?2? ? 1 ? x ? 3, x ? ? 2 ?
2 ∵ ?x0 ? R ，使得 f ( x0 ) ? 2m ? 4m ，∴ 4m ? 2m ? f ( x) min ? ?
2

?8 分

5 ， 2

整理得： 4m ? 8m ? 5 ? 0 ，解得： ?
2

1 5 ?m? ， 2 2
??10 分

因此 m 的取值范围是 ? ?

? 1 5? , ?. ? 2 2?