高中必修1-5错误解题分析系列-《6.1 两条直线之间的位置关系》

§6.1 两条直线之间的位置关系 一、知识导学 1. 平面的基本性质.公理 1: 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的 点都在这个平面内.公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理 3: 经过不在同一条直线上的三 点,有且只有一个平面.推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点,,有且只有一个平 面.推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论 3:经过两条平行直线,有且 只有一个平面. 2. 空间两条直线的位置关系,包括:相交、平行、异面. 3. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理 4:如果一个角的两边和另一个角的两 边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.推论:如果两条相交直线和另两条相交 直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 4. 异面直线.异面直线所成的角;两条异面直线互相垂直的概念;异面直线的公垂线及距 离. 5. 反证法.会用反证法证明一些简单的问题. 二、疑难知识导析 1.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点.强调任何一个平面. 2.异面直线所成的角是指经过空间任意一点作两条分别和异面的两条直线平行的直线所成 的锐角(或直角).一般通过平移后转化到三角形中求角,注意角的范围. 3.异面直线的公垂线要求和两条异面直线垂直并且相交, 4. 异面直线的距离是指夹在两异面直线之间公垂线段的长度.求两条异面直线的距离关键是 找到它们的公垂线. 5.异面直线的证明一般用反证法、异面直线的判定方法:如图,如果 b ? ? ,A ?? 且 A ? b ,a ? ? ? A ,则 a 与 b 异面. 三、经典例题导讲 [例 1]在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中,O 是底面 ABCD 的中心,M、N 分别是棱 DD 1 、 D 1 C 1 的中点,则直线 OM( ).

A .是 AC 和 MN 的公垂线. B .垂直于 AC 但不垂直于 MN. C .垂直于 MN,但不垂直于 AC. D .与 AC、MN 都不垂直. 错解:B. 错因:学生观察能力较差,找不出三垂线定理中的射影. 正解:A. [例 2]如图,已知在空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,G,H 分别是 BC,CD 上的点,且 GC
BG

?

DH HC

? 2 ,求证:直线 EG,FH,AC 相交于一

点. 错解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF ∥BD,EF= 2
又 GC
BG

1

BD,

?

DH HC

? 2 ,?

GH∥BD,GH=

1 3 BD,

?
?

四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T,
DH HC

? 2 ,F 分别是 AD.? AC 与 FH 交于一点.

? 直线 EG,FH,AC 相交于一点
正解:证明:? E 、F 分别是 AB,AD 的中点,

? EF
又 GC
BG

∥BD,EF=

1 2 BD,

?

DH HC

? 2,
1 3 BD,

?

GH∥BD,GH=

? 四边形 EFGH 是梯形,设两腰 EG,FH 相交于一点 T, ? EG ? 平面 ABC,FH ? 平面 ACD, ? T ? 面 ABC,且 T ? 面 ACD,又平面 ABC ? 平面 ACD=AC, ? T ? AC ,? 直线 EG,FH,AC 相交于一点 T.
[例 3]判断: a,b 是两条异面直线, 为空间任意一点, 若 P 则过 P 点有且仅有一个平面与 a,b 都平行. 错解:认为正确. 错因:空间想像力不够.忽略 P 在其中一条线上,或 a 与 P 确定平面恰好与 b 平行,此时就 不能过 P 作平面与 a 平行. 正解:假命题. [例 4] 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥ CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平面 α 相交于点 E,G,H,F.求证:E,F,G,H 四点必定共线(在同一条直线上) . 分析:先确定一个平面,然后证明相关直线在这个平面内,最 后证明四点共线. 证明 ∵ AB//CD, AB,CD 确定一个平面 β. 又∵AB ∩α=E,AB β ,? E ? α,E ? β, 即 E 为平面 α 与 β 的一个公共点. 同理可证 F,G,H 均为平面 α 与 β 的公共点. ∵ 两个平面有公共点, 它们有且只有一条通过公共点的公共直 线, ∴ E,F,G,H 四点必定共线. 点 评:在立体几何的问题中,证明若干点共线时,先证明这些点都是某两平面的公共点, 而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.

[例 5]如图, 已知平面 α , , α ∩β = . β 且 设梯形 ABCD 中, AD∥BC, AB 且 CD β ,求证:AB,CD, 共点(相交于一点).

l

α ,

l

分析:AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰,必定相交于一点 M,只要证明 M 在 l 上,而 l 是两个平面 α ,β 的交线,因此,只要证明 M∈α ,且 M∈β 即可. 证明: ∵ 梯形 ABCD 中,AD∥BC,

∴AB,CD 是梯形 ABCD 的两条腰. ∴ AB,CD 必定相交于一点, 设 AB ∩CD=M. 又∵ AB α ,CD β ,∴ M∈α ,且 M∈β . ∴ M∈α ∩β . 又∵ α ∩β = ,∴ M∈ , 即 AB,CD, 共点. 点 评:证明多条直线共点时,与证明多点共线是一样的. [例 6]已知:a,b,c,d 是不共点且两两相交的四条直线,求证:a,b,c,d 共 面. 分析:弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义:四条直线不共点,包括有三条 直线共点的情况;两两相交是指任何两条直线都相交.在此基础上,根据平面的性 质,确定一个平面,再证明所有的直线都在这个平面内. 证明 1? 若当四条直线中有三条相交于一点,不妨设 a,b,c 相交于一点 A ∴ 直线 d 和 A 确定一个平面 α . 又设直线 d 与 a,b,c 分别相交于 E,F,G, 则 A,E,F,G∈α . ∵ A,E∈α ,A,E∈a, ∴ a α . 同理可证 b α ,c α . ∴ a,b,c,d 在同一平面 α 内. 2? 当四条直线中任何三条都不共点时,如图. ∵ 这四条直线两两相交, 则设相交直线 a,b 确定一个平面 α . 设直线 c 与 a,b 分别交于点 H,K, 则 H,K∈α . 又∵ H,K∈c,∴ c α . 同理可证 d α . ∴ a,b,c,d 四条直线在同一平面 α 内. 点 评:证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是:首先由题给条件中的部分线(或点)确 定一个平面,然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内.本题最容易忽视“三线共点”这一 种情况.因此,在分析题意时,应仔细推敲问题中每一句话的 含义. [例 7] 在立方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)找出平面 AC 的斜线 BD1 在平面 AC 内的射影; (2)直线 BD1 和直线 AC 的位置关系如何? (3)直线 BD1 和直线 AC 所成的角是多少度? 解:(1)连结 BD, 交 AC 于点 O ? DD1 ? 平面AC,? BD就是斜线BD1在平面AC上的射影 . (2)BD1 和 AC 是异面直线. (3)过 O 作 BD1 的平行线交 DD1 于点 M,连结 MA、MC,则∠ MOA 或其补角即为异面直线

l

l

l

AC 和 BD1 所成的角. 不难得到 MA=MC,而 O 为 AC 的中点,因此 MO⊥ AC,即∠ MOA=90° , ∴异面直线 BD1 与 AC 所成的角为 90° . [例 8] 已知:在直角三角形 ABC 中, ? A 为直角,PA⊥平面 ABC,BD⊥PC,垂足为 D,求证:AD⊥PC 证明:∵ PA ⊥平面 ABC∴ PA⊥BA 又∵ BA⊥AC ∴ BA⊥平面 PAC ∴ AD 是 BD 在平面 PAC 内的射影 又∵ BD⊥PC ∴ AD⊥PC.(三垂线定理的逆定理) 四、典型习题导练 1.如图, P 是△ABC 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC 后,在包括 AB、 BC、CA 的六条棱所在的直线中,异面直线的对数为( ) A.2 对 B.3 对 C.4 对 D.6 对 2. 两个正方形 ABCD、ABEF 所在的平面互相垂直,则异面直线 AC 和 BF 所成角的大小为 . 3. 在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,体对角线 DB1 与面对角线 BC1 所成的角是 ,它们的距离是 .
BC ? ,CD ? ,DD1 ? 5, 2 2 4.长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 2 14

则 A1C和B1 D1 所成角的大小为_ ___. 5.关于直角 AOB 在定平面α 内的射影有如下判断:①可能是 0°的角; ②可能是锐角;③可能是直角;④可能是钝角;⑤可能是 180°的角. 其中正确判断的序号是_____.(注:把你认为正确的序号都填上). 6.在空间四边形 ABCD 中,AB⊥CD,AH⊥平面 BCD, 求证:BH⊥CD 7.如图正四面体中,D、E 是棱 PC 上不重合的两点;F、H 分别是棱 PA、PB 上的点,且与 P 点不重合. 求证:EF 和 DH 是异面直线.


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