椭圆的定义及其标准方程教案

§2.1.1 椭圆的定义与标准方程
一、 教学目标: 1、知识目标:①掌握椭圆的定义。 ②体会椭圆的标准方程的推 导过程并掌握其标准方程。 2、能力目标:①培养学生的合作探究能力。②通过小组讨论、学 生展示培养学生的积极参与及协调合作能力。 3、情感目标:①通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感。 ② 培养学生团结协作精神。 二、教学重难点: 教学重点:①椭圆的定义。②椭圆的标准方程。 教学难点:椭圆的标准方程的推导过程。 三、教具: 三角板、画椭圆模具 四、学法指导: 为了充分调动学生的积极性,教会学生学习,本节课的主要学习方 法有: ①学生展示法 ②小组讨论法 ③发现总结法

五、教学过程: 1、创设情景、引入概念 请同学再列举一些椭圆形的例子,教师指出椭圆在生活中很常 见,今天我们就一起学习----椭圆(给出课题) 。 教师指出:通过前面的学习知道,圆是平面内与定点的距离等于 定长的点的轨迹, 那么椭圆又是满足什么条件的点的轨迹呢?我们一

起来探究。 2、尝试探究、形成概念 让学生拿出课前准备的纸板、细绳、图钉,设问:用这些工具如 何来画椭圆呢?教师让学生动手,使其尝试到成功的喜悦,同时提醒 学生注意绳长要大于两图钉之间的距离。 依据上面的作图实践的画法,请学生思考:椭圆是满足什么条件 的点的轨迹? 教师启发、提问,并由学生归纳出椭圆的定义。 定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数 2a(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。其中两个定点叫做焦点,两焦点的距离 叫做焦距,记为 2c。 提问:若令 M 为椭圆上任意一点,可否把定义用数学表达式写 出? 学生思考回答:|MF1|+|MF2|=2a 教师指出:此式称为定义式,其应用非常广泛。 3、标准方程的推导 依据实验的步骤来研究椭圆的方程 (1)建系:以 F1、F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的中垂线为 y 轴建立 直角坐标系。 (2)设点: 设 M(x,y)是椭圆上任意一点,因|F1F2|=2c,则 F1(-c,0), F2(c,0)(学生回答) (3) 列式 : 让学生自己列出: |MF1|+|MF2|=2a ,并将其坐标化后得:

?x ? c ?2 ? y 2
(4)化简:

?

?x ? c ?2 ? y 2

? 2a

教师:为体现数学的简洁美,应化简。采取什么样的方法呢? 学生回答:平方。 教师:这里有两个根式,如何平方更简捷? 学生思考得出:移项平方,再移项再平方的方法。 教师带领学生一起化简,得到: ?a 2 ? c 2 ?x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 ?a 2 ? c 2 ? 。 教师指出:此方程形式还不够简捷,仍有变形的必要。先化简
a 2 ? c 2 ,经过分析可令 b 2 ? a 2 ?c 2 ,则方程变为: b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,联

x2 y2 想到直线的截距式方程,可整理得: 2 ? 2 ? 1 a b

提问:a、b 的大小关系如何? 学生:a > b > 0 教师指出:方程
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 叫做椭圆的标准方程,其焦点 a2 b2

在 x 轴上,焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0)且 a 2 ? b 2 ? c 2 启发:若把坐标系中的 x 轴、y 轴的位置互换,椭圆的焦点位置 如何?方程形式又如何? 让学生合理猜想,得出:
y2 x2 ? ?1 a 2 b2

教师指出此方程同样可用上述方法进行推导。 思考:如何依据标准方程判断焦点的位置? 学生观察后可得出:含 x 2,y 2 的分式的分母谁大,焦点就在那个 轴上。

4、例题讲解: 例 1:已知椭圆的焦点在 x 轴上,焦距为 8,椭圆上一点到两个焦点的 距离之和为 10,求椭圆的标准方程. 先给学生提示,再让学生自己动手做,并抽取两位同学所做的 进行讲评,最后老师给出标准答案。 例 2:求下列椭圆的焦点和焦距 (1)
x2 y2 ? ? 1; 5 4

(2) 2 x 2 ? y 2 ? 16

分析:解题关键是判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上,方法是观察标 准方程中含 x 项与含 y 项的分母,哪项的分母大,焦点就在哪 条坐标轴上。学生先做,然后老师给出正解。 5、课堂练习:
( , - ) (1)椭圆两焦点坐标分别是(-2,0),(2,0)且经过点( ,求椭 5 2 3 2

圆标准方程 (2)椭圆两焦点为 F1(0,-4),F2(0,4),椭圆上一点 P 使三角形 PF1F2 的周长为 18,求其标准方程。 6、课堂小结: 先问学生:这节课学到哪些知识?可以解决哪些问题?让学生 自由发言,教师再作补充。 7、布置作业:教材 36 页 练习 2.1.1 1、2、3。

椭圆及其标准方程

授课人:王巧飞 2016 年 4 月 14 号


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